31 Αυγ 2012

Άρρητοι αριθμοί: Το πλήθος των αρρήτων αριθμών -Πληθικοί αριθμοί απειροσυνόλων






Περιεχόμενα


1.  Μεγάλοι αλλά πεπερασμένοι αριθμοί 
2.  Ισοπληθικότητα απειροσυνόλων 
3.  Παραδείγματα αριθμήσιμων συνόλων 
4.  Σύνολα  υπεραριθμήσιμα
5.  Ο πληθικός αριθμός των άρρητων και των υπερβατικών αριθμών 
6.  Άπειρο πλήθος πληθικών αριθμών απειροσυνόλων
7.  Γκέοργκ Κάντορ (Georg Cantor)




1. Μεγάλοι αλλά πεπερασμένοι αριθμοί

Θα μιλήσουμε γενικά για πολύ μεγάλους αριθμούς. Ας ξεκινήσουμε όμως με τους μεγάλους και με τους πολύ μεγάλους αλλά πεπερασμένους αριθμούς. Ας πάρουμε τον αριθμό «ένα τρισεκατομμύριο»
Γράφεται 1.000.000.000.000 ή 1012.  Ένα τρισεκατομμύριο δευτερόλεπτα είναι περίπου 31.000 χρόνια. 1024  δευτερόλεπτα είναι ένα τρισεκατομμύριο τρισεκατομμύρια δευτερολέπτων, δηλαδή 31000 τρισεκατομμύρια χρόνια  Σύμφωνα με τη σημερινή αλλά μάλλον λάθος αντίληψη, η ηλικία του "σύμπαντος" είναι σημαντικά μικρότερη από  1024 δευτερόλεπτα.

Ο Αρχιμήδης δίνοντας ιδιαίτερη βαρύτητα στη δυνατότητα να μπορεί να γράφονται μεγάλοι αριθμοί έγραψε το έργο "Ψαμμίτης" στο οποίο έδειχνε ότι με κατάλληλη δική του μέθοδο, μέθοδο που ισοδυναμεί με τη δική μας θεσιακή μέθοδο χωρίς να έχει την απλότητά της και στην οποία χρησιμοποιείται εκθετικός συμβολισμός,  μπορούσε να γράψει αριθμούς μεγαλύτερους από τον αριθμό κόκκων άμμου που χωρούσε το "σύμπαν" όπως το μετρούσαν τότε και μάλιστα το "διευρυμένο σύμπαν" του Αρίσταρχου. Ο ίδιος έδωσε και "Το πρόβλημα των αγελάδων του θεού Ήλιου" που κατέληγε σε διοφαντική εξίσωση της οποίας η ελάχιστη ακέραια θετική λύση ήταν μεγαλύτερη από  10200000 . Η γραφή ενός τόσο μεγάλου αριθμού που δεν εμφανίζει κάποια κανονικότητα στην διαδοχή των ψηφίων του απαιτεί και σήμερα το γράψιμο περισσότερων ψηφίων από 200000 ψηφία. Είναι πρακτικά αδύνατο να βρεθεί και να γραφεί χωρίς τη χρήση υπολογιστών.  Οι σύγχρονοί του Αρχιμήδη δεν μπορούσαν ούτε να προσδιορίζουν με ακρίβεια ούτε να γράφουν τόσο μεγάλους αριθμούς. Αλλά ας συνεχίσουμε.

Ο αριθμός των μορίων μιας ουσίας σε ένα γραμμομόριο της ουσίας είναι περίπου 6,023. 1023 . Ένα γραμμομόριο νερού είναι 18 γραμμάρια νερό. Ο αριθμός των μορίων νερού που περιέχονται σε ένα ποτήρι νερό,  είναι και χίλιες φορές μεγαλύτερος από τον αριθμό ποτηριών νερού που περιέχουν όλες οι θάλασσες, όλοι οι ωκεανοί της γης.
Σύμφωνα με την κρατούσα αλλά  αβάσιμη «επιστημονική μυθολογία»,  η «ακτίνα» του «σύμπαντος» είναι περί τα  1026 μέτρα, ο αριθμός των αστέρων του «σύμπαντος» είναι περί τους 1023 , ο αριθμός των πρωτονίων και των νετρονίων σε όλο το "σύμπαν" είναι περίπου 1080 και η συνολική διάρκεια ζωής του "σύμπαντος" (άκουσον, άκουσον), παρελθούσα και μελλοντική είναι σημαντικά μικρότερη από 10150 δευτερόλεπτα. Ας πούμε αυτόν τον αριθμό Μ και ας σκεφτούμε τον αριθμό 10 με εκθέτη 10Μ ή και το παραγοντικό αυτού του τελευταίου αριθμού. Εκφράζουν αυτοί οι αριθμοί πλήθος που πρέπει να θεωρηθεί άπειρο για τα ανθρώπινα μέτρα.

Όσο όμως μεγάλο πλήθος αντικειμένων και αν μετρούν τέτοιοι ή και πολύ μεγαλύτεροι αλλά πεπερασμένοι αριθμοί , έχουν μια κοινή ιδιότητα με τους αριθμούς συνήθους μεγέθους. Αν από ένα πλήθος αντικειμένων Α, πλήθος που μετράται με έναν τέτοιο πεπερασμένο αριθμό, αφαιρεθεί έστω και ένα μόνο αντικείμενο θα προκύψει ένα πλήθος αντικειμένων Β μικρότερο. Αυτό σημαίνει ότι με οποιοδήποτε τρόπο και αν αντιστοιχήσουμε ένα προς ένα τα αντικείμενα του Β με τα αντικείμενα του Α θα περισσεύει πάντα ένα  αντικείμενο του Α. Στους πεπερασμένους αριθμούς πάντοτε το όλον υπερβαίνει το μέρος. Ωστόσο κρατάμε ότι αν δύο πεπερασμένα σύνολα είναι ισοπληθή τα στοιχεία του ενός μπορούν να αντιστοιχηθούν ένα προς ένα με τα στοιχεία του άλλου. Θα μας χρησιμεύσει για τον ορισμό της ισότητας πληθικών αριθμών απειροσυνόλων.



2. Ισοπληθικότητα απειροσυνόλων 

1. Ένα απειροσύνολο είναι σύνολο χωρίς πέρας. Ο αριθμός των στοιχείων του είναι μεγαλύτερος από οποιονδήποτε πεπερασμένο αριθμό. Πότε θα λέμε ότι δύο απειροσύνολα έστω το Α και το Β είναι ισοπληθή ή αλλιώς ότι έχουν τον ίδιο πληθικό αριθμό; Έχουμε επισημάνει έναν οδηγό για να δώσουμε έναν κατάλληλο ορισμό.

Λέμε ότι τα απειροσύνολα Α και Β έχουν τον ίδιο πληθικό αριθμό όταν όλα τα στοιχεία του Α και όλα τα στοιχεία του Β, μπορεί να αντιστοιχηθούν ένα προς ένα χωρίς να μείνει κανένα στοιχείο του Α ή του Β χωρίς αντίστοιχο στο άλλο σύνολο.

Εξυπακούεται ότι το ένα προς ένα σημαίνει ότι δεν θα υπάρχουν στοιχεία του Α που θα είναι το καθένα αντίστοιχο δύο ή περισσοτέρων στοιχείων του Β, ούτε στοιχεία του Β που να είναι το καθένα αντίστοιχο δύο ή περισσοτέρων στοιχείων του Α.1

Μπορούμε να το πούμε καθαρότερα και γενικότερα. Λέμε λοιπόν ότι το κενό σύνολο έχει τον ίδιο πληθικό αριθμό μόνο με το κενό σύνολο. Και λέμε ότι δύο μη κενά σύνολα Α και Β έχουν τον ίδιο πληθικό αριθμό όταν για κατάλληλη αντιστοίχηση των στοιχείων των δύο συνόλων ισχύουν και οι τρεις προτάσεις που ακολουθούν:
1. Κάθε στοιχείο του Α έχει ένα και μόνο ένα αντίστοιχο στοιχείο στο σύνολο Β
2.  Δύο οποιαδήποτε διαφορετικά στοιχεία του Α έχουν ως αντίστοιχα δύο διαφορετικά στοιχεία του Β.
3. Κάθε στοιχείο του Β είναι αντίστοιχο ενός στοιχείου του Α
Οι προτάσεις 2 και 3 εξασφαλίζουν ότο κάθε στοιχείο του  Β είναι αντίστοιχο ενός και μόνο στοιχείου του Α.

2. Είχαμε δει ότι στους πεπερασμένους πληθικούς αριθμούς το όλον υπερβαίνει πάντοτε το μέρος. Δεν συμβαίνει κατ’ ανάγκην αυτό με τους «αριθμούς» που μετρούν άπειρα πλήθη. Σε συγκεκριμένες περιπτώσεις ένας άπειρος πληθικός αριθμός που μετρά ένα πλήθος Α μπορεί να είναι μεγαλύτερος από τον πληθάριθμο που μετρά ένα πλήθος γνήσια μέρος του πλήθους Α, αλλά μπορεί να είναι και ίσος με αυτόν.

Στα απειροσύνολα το όλον μπορεί να είναι ισοπληθές με το μέρος. Μάλιστα κάθε απειροσύνολο είναι ισοπληθές με κάποια γνήσια υποσύνολά του. Ως άπειρο σύνολο μπορεί να ορισθεί κάθε σύνολο που  είναι ισοπληθές με κάποιο μέρος του. Μάλιστα ένα θεώρημα που ονομάζεται θεώρημα ισοπληθικότητας ή θεώρημα του Berstein, λέει ότι
"Αν το σύνολο Α είναι ισοπληθές με ένα γνήσιο υποσύνολο του συνόλου Β και το Β είναι ισοπληθές με ένα γνήσιο υποσύνολο του Α, τότε τα σύνολα Α και Β είναι ισοπληθή μεταξύ τους". 
Φυσικά τα σύνολα Α και Β είναι σε αυτήν την περίπτωση απειροσύνολα αφού για πεπερασμένα σύνολα οι υποθέσεις του θεωρήματος δεν μπορεί να συντρέχουν .
Είναι ένα πολύ χρήσιμο θεώρημα. Θα δώσω ένα παράδειγμα εφαρμογής του χωρίς απόδειξη.  Το σύνολο των πραγματικών αριθμών του κλειστού διαστήματος πραγματικών αριθμών [α, β] είναι ισοπληθικό με το σύνολο των πραγματικών αριθμών του ημιανοικτού διαστήματος [α, β) και επίσης με το σύνολο των πραγματικών αριθμών  του ανοιχτού διαστήματος (α, β). Αυτό μπορεί να αποδειχθεί όχι εύκολα, χωρίς χρήση του θεωρήματος του Berstein Μια απόδειξη παρατίθεται στο "Theory of Sets" του E. Kamke. Μπορεί όμως να αποδειχθεί εύκολα με χρήση αυτού του θεωρήματος αξιοποιώντας το ότι αν α< γ< δ< β τότε το [α, β] είναι ισοπληθικό με το [γ, δ] που είναι επίσης και υποσύνολο και  του [α,β)  και του (α, β) και ομοίως το [α,β) είναι ισοπληθικό με το [γ, δ)  ενώ το (α, β) είναι ισοπληθικό με το (γ, δ). Την ισοπληθικότητα δύο κλειστων ή δύο ανοικτών διαστημάτων την αποδεικνύουμε σε άλλη παράγραφο.

3. Το πιο προσιτό απειροσύνολο είναι το σύνολο των θετικών ακεραίων αριθμών. Θα το συμβολίζουμε Ν. Ο πληθάριθμός του υπερβαίνει κάθε πεπερασμένο αριθμό. Μπορούμε όμως και βάζουμε τα στοιχεία του σε μια συγκεκριμένη σειρά (τη φυσική σειρά) και είναι καθορισμένο το ποιος είναι ο πρώτος κατά σειρά θετικός ακέραιος αριθμός (είναι ο 1), το ποιος είναι ο προηγούμενος και ο επόμενος κάθε αριθμού και το ποια είναι η σειρά κάθε αριθμού. Ξέρουμε ότι ο χιλιοστός θετικός ακέραιος είναι ο αριθμός 1000.
To ότι είναι καθορισμένος ο επόμενος του πρώτου και ο προηγούμενος και ο επόμενος κάθε άλλου αριθμού, εξασφαλίζει ότι είναι καθορισμένη η τάξη κάθε αριθμού, και αυτό είναι το σημαντικό. Το ποιος είναι ο καθορισμένος επόμενος ενός αριθμού μπορεί να είναι δύσκολο ή και πρακτικά αδύνατο να βρεθεί σε συγκεκριμένες περιπτώσεις. Αυτό δεν έχει σημασία. Σημασία έχει ότι έχει καθορισθεί ο πρώτος αριθμός και ότι ο αριθμός ο επόμενος δεδομένου άλλου ή γενικότερα το στοιχείο το επόμενο δεδομένου άλλου είναι καθορισμένο μονοσήμαντα και το ίδιο ακριβώς συμβαίνει με το στοιχείο το αμέσως προηγούμενο του. Αυτά εξασφαλίζουν ότι είναι μονοσήμαντα καθορισμένη  η τάξη οποιουδήποτε στοιχείου.

Κάθε απειροσύνολο Β που έχει αυτές τις ιδιότητες θα δείξουμε στα παραδείγματα ότι έχει τον  πληθικό αριθμό με το σύνολο των θετικών ακεραίων αριθμών Ν, ακόμη και αν το Β είναι γνήσιο υποσύνολο του Ν αλλά ακόμη και αν το Ν είναι γνήσιο υποσύνολό του Β. Κάθε τέτοιο σύνολο το λέμε αριθμήσιμο αφού τα στοιχεία του μπορούν να αριθμηθούν. Πρώτο θα είναι το στοιχείο που σε μια ένα προς ένα αντιστοίχιση του συνόλου με τους ακέραιους θετικούς αριθμούς, είναι αντίστοιχο με τον αριθμό 1, δεύτερο θα είναι το στοιχείο το αντίστοιχο με τον αριθμό 2,  κ.ο.κ. Αντιστρόφως αν τα στοιχεία ενός απειροσυνόλου μπορεί να αριθμηθούν, τότε η αρίθμηση  δίνει μια ένα προς ένα αντιστοίχιση των στοιχείων του συνόλου με τους ακέραιους θετικούς αριθμούς 
Τα στοιχεία των πεπερασμένων συνόλων προφανώς μπορεί να αριθμηθούν. Τα πεπερασμένα σύνολα είναι αριθμήσιμα. Ο πληθικός αριθμός των πεπερασμένων συνόλων είναι ίσος με τον αριθμό των στοιχείων τους. Όλα τα απειρα αριθμήσιμα σύνολο έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων με το σύνολο των ακεραίων θετικών αριθμών.  Τον πληθικό αριθμό των αριθμήσιμων απειροσυνόλων τον συμβολίζουμε με το γράμμα α.



3. Παραδείγματα αριθμήσιμων συνόλων

1. Το σύνολο {α, β, 7}  έχει πληθικό αριθμό ίσο με 3. Τα στοιχεία του μπορεί να αριθμηθούν, μπορεί δηλαδή να καθορισθεί ποιο θα είναι πρώτο, ποιο θα είναι δεύτερο, ποιο θα είναι τρίτο.

2. Οι ζυγοί ακέραιοι θετικοί αριθμοί αποτελούν γνήσιο υποσύνολο του συνόλου Ν των θετικών ακεραίων αριθμών. Λέω όμως ότι το σύνολο των άρτιων ή αλλιώς ζυγών ακεραίων θετικών αριθμών είναι αριθμήσιμο. Αυτό σημαίνει ότι είναι ισοπληθικό με το σύνολο όλων των θετικών ακεραίων και επομένως ότι το πλήθος των ζυγών θετικών ακεραίων είναι ίσο με α .

Οι ζυγοί θετικοί ακέραιοι είναι οι αριθμοί
2.1, 2.2, 2.3, ….. 2.κ, …….. όπου ο κ είναι κάποιος ακέραιος θετικός αριθμός.

Στον ζυγό αριθμό 2.1 αντιστοιχούμε τον αριθμό 1 του Ν

Στον ζυγό αριθμό 2.2 αντιστοιχούμε τον αριθμό 2 του Ν

Στον ζυγό αριθμό 2.3 αντιστοιχούμε τον αριθμό 3 του Ν και γενικά

Στον ζυγό αριθμό 2.κ αντιστοιχούμε τον αριθμό κ του Ν  κ.ο.κ

Είναι φανερό ότι η αντιστοίχηση αυτή είναι ένα προς ένα και καλύπτει όλα τα στοιχεία και των δύο συνόλων. Επομένως τα δύο σύνολα είναι ισοπληθή και έχουν τον ίδιο πληθικό αριθμό, τον α.



Θα πείτε «και τι σημαίνει είναι ισοπληθή; Το Ν περιλαμβάνει όλους τους άρτιους και επιπλέον και όλους τους περιττούς, δηλαδή και όλους τους μονούς αριθμούς που είναι άλλοι τόσοι.»
Έτσι είναι . Όμως αφού τα στοιχεία τους μπορούν να αντιστοιχηθούν όλα ένα προς ένα, τα δυο σύνολα είναι ισοπληθή ουσιαστικά. Ο Χίλμπερτ είχε δώσει το εξής παράδειγμα.

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει ένα ξενοδοχείο με άπειρα αλλά αριθμημένα δωμάτια. Τα δωμάτια είναι αριθμημένα με ακέραιους θετικούς αριθμούς και η αρίθμηση είναι συνεχής. Υπάρχει το δωμάτιο με αριθμό 1, το δωμάτιο με αριθμό 2, το δωμάτιο με αριθμό 3 και ούτω καθεξής. Υποθέτουμε ακόμη ότι ο χρόνος που χρειάζεται για να μετακινηθεί κάποιος από ένα οποιοδήποτε δωμάτιο προς οποιοδήποτε άλλο ή προς το χώρο υποδοχής αλλά και αντιστρόφως είναι μηδέν. Όχι πολύ μικρός σχεδόν μηδέν, αλλά ακριβώς μηδέν. Υποθέτουμε τέλος ότι κάποια στιγμή που κάθε δωμάτιο είναι κατειλημμένο από έναν ένοικο εμφανίζονται άλλοι τόσοι υποψήφιοι ένοικοι. Υπάρχει τρόπος να εξυπηρετηθούν όλοι χωρίς να μείνουν δύο οποιοιδήποτε ένοικοι στο ίδιο δωμάτιο; Η απάντηση είναι ΝΑΙ. Το πώς το εξηγεί ο Χίλμπερτ.

Θα πει ο ξενοδόχος να μετακινηθεί κάθε ένοικος στο δωμάτιο που έχει αριθμό διπλάσιο από τον αριθμό του δωματίου του. Θα καταλάβουν έτσι οι ήδη διαμένοντες ένοικοι τα ζυγά και μόνο τα ζυγά δωμάτια με έναν ένοικο σε κάθε ζυγό δωμάτιο, και θα μείνουν ελεύθερα όλα τα μονά δωμάτια στα οποία θα τακτοποιηθούν ένας ένας, όλοι οι νέοι υποψήφιοι ένοικοι.



3. Οι θετικοί ακέραιοι που είναι πρώτοι αριθμοί αποτελούν ένα γνήσιο υποσύνολο του συνόλου των θετικών ακεραίων. Οι αρχαίοι Έλληνες διέκριναν αρκετά νωρίς τους ακέραιους αριθμούς τους μεγαλύτερους του 1, που είχαν μοναδικούς (θετικούς) διαιρέτες το 1 και τον εαυτό τους και θεωρώντας αυτήν την ιδιότητά τους σημαντική, έδωσαν σε αυτούς τους αριθμούς ένα όνομα. Τους ονόμασαν πρώτους και η έννοια του πρώτου αριθμού έπαιξε έναν εξαιρετικά σπουδαίο ρόλο στην ανάπτυξη της αριθμοθεωρίας. Στα στοιχεία του Ευκλείδη αποδεικνύονται οι βασικές προτάσεις οι σχετικές με τους πρώτους αριθμούς. Μας ενδιαφέρουν εδώ, δύο προτάσεις των στοιχείων.

Πρώτη πρόταση: Κάθε σύνθετος ακέραιος αριθμός έχει έναν τουλάχιστον διαιρέτη πρώτο αριθμό.
Δεύτερη πρόταση: «Οι πρώτοι αριθμοί είναι περισσότεροι από τους πρώτους αριθμούς κάθε συγκεκριμένου πλήθους πρώτων αριθμών». Αυτό είναι ισοδύναμο με την πρόταση «Ο αριθμός των πρώτων αριθμών είναι μεγαλύτερος από κάθε πεπερασμένο αριθμό»

Η πρώτη πρόταση αποδεικνύεται ουσιαστικά με την παρατήρηση ότι ο αμέσως μεγαλύτερος του 1 διαιρέτης ενός αριθμού είναι αριθμός πρώτος. Η δεύτερη αποδεικνύεται με τη βοήθεια της πρώτης. Ας το δούμε.

Αν α, β, γ είναι τρεις πρώτοι αριθμοί πρέπει να δειχθεί ότι υπάρχουν και άλλοι. Σχηματίζω τον αριθμό δ = (α.β.γ) + 1

Αν ο δ είναι πρώτος έχω ήδη έναν ακόμη πρώτο αριθμό.
Αν ο δ είναι σύνθετος έχει έναν θετικό διαιρέτη πρώτο έστω τον ε που είναι μικρότερός του. Ο ε δεν μπορεί να είναι ο α αφού ο δ διαιρούμενος δια α δίνει υπόλοιπο 1. Για τον ίδιο λόγο δεν μπορεί να είναι ούτε ο β ούτε ο γ. Άρα υπάρχει και σε αυτήν την περίπτωση ένας ακόμη πρώτος αριθμός ε πέραν των προτεθέντων α, β, γ. Μάλιστα ο ε είναι μικρότερος του δ και άρα πεπερασμένος όπως και ο δ.

Αφού λοιπόν από οποιουσδήποτε πρώτους αριθμούς υπάρχει τουλάχιστον ένας ακόμη, οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι ή αλλιώς το σύνολο των πρώτων αριθμών είναι απειροσύνολο.

Αν ένα απειροσύνολο Α είναι υποσύνολο του συνόλου των θετικών ακεραίων Ν, τότε τα στοιχεία του μπορούν να διαταχθούν κατά τη φυσική σειρά. Και στο Α κάθε θετικός ακέραιος που ανήκει στο Α θα προηγείται κάθε μεγαλύτερου του, και πρώτος θα τεθεί ο μικρότερος όλων των αριθμών του Α. Άλλωστε κάθε σύνολο θετικών ακεραίων έχει έναν θετικό ακέραιο μικρότερο από όλους τους άλους θετικούς ακεραίους που ανήκουν σε αυτό. Το στοιχείο αυτό θα αντιστοιχηθεί με τον αριθμό 1 του Ν.  Οι υπόλοποι θετικοί ακέραιοι που ανήκουν στο Α έχουν ένα ελάχιστο αριθμό. Ο αριθμός αυτός θα αντιστοιχηθεί με τον αριθμό 2 του συνόλου Ν όλων των  θετικών ακεραίων και συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο. Επομένως η σειρά κάθε στοιχείου του Α θα είναι καθορισμένη και η σειρά του καθορίζει και με ποιον αριθμό του Ν θα αντιστοιχηθεί σε μια ένα προς ένα αντιστοίχηση. Το χιλιοστό στοιχείο του Α θα έχει αντίστοιχο στο Ν τον αριθμό 1000. Επομένως κάθε απειροσύνολο υποσύνολο του συνόλου των θετικών ακεραίων είναι αριθμήσιμο. Ας το δούμε αυτό στο παράδειγμα των πρώτων αριθμών.

Πρώτο στη σειρά βάζουμε τον μικρότερο πρώτο θετικό αριθμό, τον 2.

Δεύτερο βάζουμε τον επόμενο πρώτο αριθμό τον 3.

Τρίτο βάζουμε τον 5, τέταρτο τον 7, πέμπτο τον 11, έκτο τον 13, έβδομο τον 17 και συνεχίζουμε επ’ άπειρον κατά τον ίδιο τρόπο. Κάθε πρώτου αριθμού υπάρχει ένας καθορισμένος και πεπερασμένος επόμενος πρώτος. Αυτό μας εξασφαλίζει μιαν αντιστοίχηση ενός προς ένα όλων των πρώτων αριθμών με όλους τους θετικούς ακεραίους. Στον πρώτο κατά σειρά πρώτο θετικό αριθμό αντιστοιχούμε τον αριθμό 1, στον δεύτερο κατά σειρά αντιστοιχούμε τον αριθμό 2, στον τρίτο κατά σειρά αντιστοιχούμε τον αριθμό 3…. Στον χιλιοστό κατά σειρά πρώτο αριθμό αντιστοιχούμε τον αριθμό 1000 και μπορούμε να συνεχίσουμε έτσι επ’ άπειρον . Μπορούμε μάλιστα να γράψουμε τους πρώτους κατά σειρά μεγέθους ως

p1, p2, p3, p4, ........  και ούτω καθεξής,

και αυτό εικονοποιεί την ένα προς ένα αντιστοίχηση.

Μπορεί να πει κάποιος: «Και πού ξέρουμε ποιος είναι τρισεκατομμυριοστός πρώτος αριθμός ή ποιος είναι ο πρώτος αριθμός που η σειρά του είναι 101.000.000.000.000 ; Και πού ξέρουμε ποιος είναι ο επόμενος του;»

Δεν  ξέρουμε. Ο μεγαλύτερος γνωστός πρώτος αριθμός είναι της μορφής (2p1) με p πρώτο θετικό ακέραιο και ισούται με  (243.112.6091). Όμως δεν ξέρουμε πόσοι είναι οι πρώτοι αριθμοί οι μικρότεροι από αυτόν και φυσικά δεν ξέρουμε τον αμέσως επόμενό του πρώτο αριθμό. Ξέρουμε όμως ότι οι μικρότεροι πρώτοι από αυτόν είναι καθορισμένοι και πεπερασμένοι κατά το πλήθος, άρα και η σειρά αυτού του πρώτου αριθμού είναι καθορισμένη. Και ξέρουμε ότι υπάρχουν πρώτοι αριθμοί μεταξύ κάθε αριθμού και του διπλασίου του και επομένως ότι υπάρχει και είναι καθορισμένος ο επόμενος πεπερασμένος πρώτος του μεγαλύτερου γνωστού πρώτου αριθμού. Και όχι μόνο, αλλά και οι επόμενοι του επόμενου είναι επίσης καθορισμένοι. Και όλη η ακολουθία πρώτων αριθμών σε αύξουσα σειρά μεγέθους είναι απολύτως καθορισμένη. Κάθε πρώτος αριθμός έχει καθορισμένη σειρά και μπορεί να αριθμηθεί με τον αριθμό που δείχνει τη σειρά του
Μπορούμε να το διατυπώσουμε  και με άλλο τρόπο. 
Αφού το σύνολο των πρώτων αριθμών είναι απειροσύνολο, υπάρχουν θετικοί πρώτοι αριθμοί περισσότεροι από τους θετικούς πρώτους αριθμούς που υπάρχουν μεχρι τον πεπερασμένο θετικό πρώτο αριθμό Π και επομένως υπάρχουν θετικοί πρώτοι  αριθμοί μεγαλύτεροι του Π.  Το σύνολο των πρώτων θετικών ακεραίων που είναι μεγαλύτεροι του συγκεκριμένου πρώτου θετικού ακεραίου Π  έχει ως υποσύνολο του συνόλου των φυσικών αριθμών ένα ελάχιστο στοιχείο , έστω τον αριθμό Β.  Ο Β είναι ο επόμενος του Π πρώτος αριθμός.  Εξ άλλου το σύνολο των θετικών πρώτων αριθμών που είναι μικρότεροι του δεδομένου πρώτου αριθμού Π είναι πεπερασμένο και επομένως έχει ένα μέγιστο στοιχείο , έστω τον πρώτο αριθμό Μ.  Ο  Μ είναι ο αμέσως προηγούμενος του Π πρώτος αριθμός. Τέλος οι θετικοί πρώτοι αριθμοί που δεν υπερβαίνουν τον δεδομένο θετικό πρώτο αριθμό Π είναι πεπερασμένοι κατά το πλήθος. Επομένως το πλήθος τους  ν   είναι καθορισμένο και ισούται με την τάξη του πρώτου αριθμού Π. Το τελευταίο μόνο του μας εξασφαλίζει ότι χρειαζόμαστε. Στον πρώτο θετικό ακέραιο  Π αντιστοιχείται σε μια αντιστοίχηση ένα προς ένα, ο θετικός ακέραιος   ν.  Ο Π είναι ο pν.

Αυτό ήταν και το ζητούμενο. Κατά τα λοιπά και σήμερα ο χρόνος που απαιτείται για να βρούμε τη σειρά πολύ μεγάλων πρώτων αριθμών είναι πεπερασμένος μεν, αλλά άπειρος για τα ανθρώπινα μέτρα, όσο προηγμένες μεθόδους και όσο προηγμένα τεχνολογικά μέσα και αν χρησιμοποιήσουμε. Και αυτό θα συμβαίνει και στο μέλλον, και το κοντινό και το πολύ μακρινό, μόνο που μπορεί να αφορά αριθμούς πολύ μεγαλύτερους από τους πιο μικρούς μεταξύ των μεγάλων αριθμών που φαντάζουν απρόσιτοι σήμερα.



4. Το σύνολο των ρητών αριθμών είναι αριθμήσιμο.

Περιλαμβάνει όλους τους θετικούς ακέραιους, όλους τους αρνητικούς ακέραιους και όλους τους κλασματικούς αριθμούς. Μόνο οι θετικοί κλασματικοί αριθμοί με παρονομαστή 2 είναι όσοι και οι θετικοί ακέραιοι. Όμως το σύνολο των ρητών αριθμών είναι ισοπληθικό με το σύνολο των θετικών ακεραίων. Για να το δείξουμε αυτό αρκεί να μπορέσουμε να βάλουμε όλους τους ρητούς αριθμούς σε μια σειρά, ούτως ώστε να καθορίζεται απολύτως η τάξη κάθε ρητού αριθμού. Και μπορούμε.

Κάθε ρητός αριθμός ισούται με ένα και μόνο ένα ανάγωγο κλάσμα, και κάθε ανάγωγο κλάσμα παριστάνει εξ ορισμού μονοσήμαντα, έναν ρητό αριθμό. Ανάγωγο κλάσμα σημαίνει κλάσμα που ο αριθμητής του και ο παρονομαστής του δεν έχουν κοινό διαιρέτη μεγαλύτερο του 1.
Ο ρητός 0,5 ισούται με το ανάγωγο κλάσμα 1/ 2,
Ο ρητός 1,13333333…. που έχει μετά το πρώτο δεκαδικό του ψηφίο άπειρα τριάρια και τίποτε άλλο, ισούται με το ανάγωγο κλάσμα 17/15,
το κλάσμα 3/15 ισούται με το ανάγωγο κλάσμα 1/5.
Για να βάλουμε σε μια σειρά τους ρητούς αριθμούς αρκεί επομένως να βάλουμε σε μια σειρά τα ανάγωγα κλάσματα.

Μπορούμε να ταξινομούμε τα ανάγωγα κλάσματα με βάση το άθροισμα αριθμητή και παρονομαστή. Θα προηγούνται τα κλάσματα πού έχουν μικρότερο αυτό το άθροισμα. Όταν δύο ανάγωγα κλάσματα έχουν το ίδιο άθροισμα αριθμητή και παρονομαστή, θα προηγείται το κλάσμα με τον μικρότερο αριθμητή. Αυτά όλα για τα θετικά ανάγωγα κλάσματα. Μετά όμως από κάθε θετικό ανάγωγο κλάσμα θα ακολουθεί το αντίθετό του. Αυτά αρκούν για να αποκτήσει κάθε ανάγωγο κλάσμα μια καθορισμένη σειρά και μέσω αυτής της σειράς να αντιστοιχηθεί με έναν και μόνο ακέραιο θετικό αριθμό.

Πρώτος θα είναι ο αριθμός 0, ίσος με το κλάσμα 0/1 (άθροισμα αριθμητή παρονομαστή ίσο προς 1)

Δεύτερος ο αριθμός 1 (1/1) και τρίτος ο αριθμός -1

Τέταρτος ο αριθμός 1/2 , πέμπτος ο -1/2, έκτος ο 2 (2/1) και έβδομος ο -2

Όγδοος ο 1/3, ένατος ο -1/3, δέκατος ο 3 (3/1) και ενδέκατος ο -3 (Το κλάσμα 2/2 έχει άθροισμα όρων ίσο προς 4 αλλά δεν είναι ανάγωγο και δεν μας απασχολεί. Άλλωστε ισούται με 1 και ο 1 έχει ήδη καταχωρηθεί)

12ος ο αριθμός1/4, 13ος ο -1/4, 14ος ο 2/3, 15ος ο -2/3, 16ος ο 3/2 , 17ος ο -3/2, 18ος ο 4 (4/1) και 19ος ο -4.

20ος ο 1/5, 21ος ο -1/5, 22ος ο 5 (5/1) και 23ος ο -5.

Είναι φανερό ότι κάθε ρητός αριθμός αποκτά με αυτήν την αρίθμηση μια καθορισμένη σειρά, και είναι φανερό ότι ο ρητός (ανάγωγο κλάσμα) καθορισμένης σειράς είναι καθορισμένος είτε μιλήσουμε για τον πρώτο κατά σειρά ρητό , είτε μιλήσουμε για τον δισεκατομμυριοστό κατά σειρά ρητό είτε για τον οποιασδήποτε σειράς ρητό αριθμό στην κατάταξή μας. Και ο αριθμός που δείχνει τη σειρά εν΄ος ρητου αριθμού ειναι ο αριθμός με τον οποίο αντιστοιχείται αυτός ο ρητός αριθμός σε μια αντιστοίχιση πλήεη και ένα προς ένα μεταξύ όλων των ρητών αριθμών αφ' ενός και ολών των ακεραίων θετικών αριθμών αφ' ετερου. Το ότι θα είναι πρακτικά αδύνατο να βρούμε ποιος ρητός αριθμός θα έχει σειρά 101000000000  για παράδειγμα, και επομένως θα αντιστοιχηθεί με αυτόν τον αριθμό (τον αριθμό  101000000000 ) στην κατάταξή μας, δεν έχει σημασία. Ο επόμενος και ο προηγούμενος κάθε ρητού αριθμού είναι καθορισμένοι και επομένως και σειρά κάθε ρητού αριθμού είναι καθορισμένη. Η αρίθμηση των ρητών που κάναμε είναι πλήρης και μονοσήμαντη και αποδεικνύει την ισοπληθικότητα των ρητών με τους ακεραίους.

5. Με παρόμοια αρίθμηση μπορουμε να αριθμήσουμε το σύνολο των διατεταγμένων ζευγών (μ, ν) θετικών ακεραίων αριθμών ή και αριθμήσιμων συνόλων. Μπορούμε να διατάξουμε τα διατεταγμένα ζεύγη ακεραίων θετικών αριθμών με βάση το άθροισμα (μ+ν)  των δεικτών των στοιχείων ορίζοντας ότι προηγούνται τα ζεύγη με μικρότερο άθροισμα και ότι αν δύο ζεύγη έχουν το ίδιο άθροισμα των αριθμών τους, θα προηγείται εκείνο που έχει μικρότερο τον πρώτο δείκτη. Είναι προφανές ότι πρώτο θα είναι το ζεύγος (1,1). Ακολουθούν κατά σειρά τα ζεύγη (1,2) (2,1) (1,3) (2,2) (3,1) (1,4) (2,3) (3,2),(4,1) ..... και έτσι επ' άπειρον. Είναι ακόμη φανερό ότι το επόμενο και το προηγούμενο κάθε ζεύγους είναι καθορισμένα και όλα αυτά συνεπάγονται ότι είναι καθορισμένο το ποια θα είναι η κατάταξη στη σειρά του ζεύγους (α,β). Μάλιστα μπορεί να υπολογισθεί. Ο αριθμός κατάταξης λ του ζεύγους (α,β) υπολογίζεται από τη σχέση

λ = α + (α + β - 1).(α + β -2). (1/ 2)

Το σύνολο των διατεταγμένων ζευγών θετικών ακεραίων ορίζεται ως το γινόμενο Ν.Ν = Ν2 και έχει πληθικό αριθμό α2 . Μόλις αποδείξαμε ότι α2 = α

Σε ότι αφορά το γινόμενο (Α x B) δύο αριθμήσιμων  συνόλων Α και B, αυτό είναι το  σύνολο των διατεταγμένων  ζευγών (ακ βλ) .με  πρώτο στοιχείο από το Α και δεύτερο στοιχείο από το Β και είναι προφανώς ισοπληθές με το σύνολο των διατεταγμένων ζευγών θετικών ακεραίων (κ, λ) και επομένως αριθμήσιμο.

6. Με βάση αυτό μπορούμε να βρούμε κάτι άλλο. Έστω Α η ένωση των αριθμήσιμων συνόλων

Α1, Α2, Α3,……. Αμ, ……… . Πρόκειται για αριθμήσιμο πλήθος συνόλων κάθε ένα από τα οποία είναι αριθμήσιμο. Λέω ότι η και η ένωση τους Α είναι σε κάθε περίπτωση σύνολο αριθμήσιμο.

Αυτό γιατί αν χ είναι ο πληθικός αριθμός της ένωσης Α τότε έχω

α ≤ χ ≤ α2 = α

και αυτό αποδεικνύει το ζητούμενο.

Μπορούμε να το δούμε και αλλιώς. Το νιοστό στοιχείο του συνόλου Αμ το καλώ αμν, και μπορώ να αντιστοιχώ σε αυτό το στοιχείο το διατεταγμένο ζεύγος (μ, ν). Το σύνολο που περιλαμβάνει όλα τα    αμν είναι επομένως αριθμήσιμο. Η ένωση Α είναι άπειρο σύνολο και υποσύνολο εν γένει του συνόλου που περιλαμβάνει όλα τα  αμν , (δεν περιλαμβάνει τα ακλ αν το ακλ είναι το ίδιο με κάποιο στοιχείο ενός συνόλου προηγουμένου του Ακ). Είναι επομένως η ένωση Α άπειρο σύνολο αλλά και υποσύνολο αριθμήσιμου συνόλου και για αυτό είναι σύνολο αριθμήσιμο.


7. Το σύνολο των αλγεβρικών αριθμών είναι ισοπληθικό με το σύνολο των θετικών ακεραίων και επομένως αριθμήσιμο. Αλγεβρικοί είναι οι αριθμοί που αποτελούν λύσεις ακέραιας αλγεβρικής εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές.

Για να το δείξουμε αυτό αρκεί να βάλουμε τους αλγεβρικούς αριθμούς σε μια σειρά ούτως ώστε κάθε αλγεβρικός αριθμός να έχει καθορισμένη τάξη.  Θα ορίσουμε έναν πρώτο κατά σειρά αλγεβρικό αριθμό και τη σειρά (τάξη)  κάθε άλλου.

Για να βάλουμε τους αλγεβρικούς αριθμούς σε μια σειρά θα εκμεταλλευθούμε το ότι οι αλγεβρικοί αριθμοί είναι ρίζες πολυωνυμικών εξισώσεων με ακέραιους συντελεστές. Θα βάλουμε σε μια σειρά τα πολύωνυμα με ακέραιους συντελεστές και σε μια σειρά τις ρίζες κάθε πολυωνύμου.

Για να κατατάξουμε τα πολυώνυμα περιοριζόμαστε σε πολυώνυμα με ακέραιους συντελεστές, με μέγιστο κοινό διαιρέτη των συντελεστών τους ίσο προς 1 και θετικό τον συντελεστή του μεγιστοβάθμιου όρου τους.  Ορίζουμε το ύψος h ενός τέτοιου πολυωνύμου ως το άθροισμα του βαθμού του και των απολύτων τιμών των συντελεστών των όρων του πολυωνύμου. Συμφωνούμε τα πολυώνυμα με μικρότερο h να προηγούνται από τα πολυώνυμα με μεγαλύτερο h. και μεταξύ δύο πολυωνύμων με το ίδιο h να προηγείται εκείνο που έχει μικρότερο βαθμό.

Οι ρίζες των πολυωνύμων θα κατατάσσονται από τη μικρότερη προς τη μεγαλύτερη. Το σύνολο των ριζών των ακεραίων πολυωνύμων με ακέραιους συντελεστές είναι ένωση των συνόλων των ριζών των ακεραίων πολυωνύμων με ακέραιους συντελεστές  ύψους 2, ύψους 3, ύψους 4, κ.ο.κ. Είναι ένωση αριθμήσιμου πλήθους συνόλων κάθε ένα από τα οποία είναι πεπερασμένο και επομένως τα στοιχεία του αριθμούνται. Το σύνολο όλων  των αλγεβρικών αριθμών είναι το σύνολο όλων αυτών των ριζών που είναι η ένωση αριθμήσιμου πλήθους συνόλων που τα στοιχεία κάθε ενός από αυτά μπορεί να αριθμηθούν.  Είναι επομένως σύνολο αριθμήσιμο.

Ας το δούμε και διαφορετικά
Θα παρατηρήσουμε ότι σε κάθε h, έχουμε πεπερασμένο αριθμό πολυωνύμων αφού ο βαθμός τους δεν υπερβαίνει το h, και οι συντελεστές τους είναι ακέραιοι και κανένας τους δεν υπερβαίνει το h.

Ας καταγράψουμε τους αλγεβρικούς αριθμούς που τους βρίσκουμε σε πολυώνυμα με ύψος 2. Τα μόνα πολυώνυμα με ύψος 2 είναι το πολυώνυμο χ και το «πολυώνυμο» 2.
Το δεύτερο δεν έχει ρίζες. Το πρώτο έχει μοναδική ρίζα το 0. Το 0 είναι επομένως ο πρώτος αλγεβρικός αριθμός στην κατάταξή μας.

Αν h = 3 τότε βρίσκουμε τα πολυώνυμα
x2, 2.x, (x+1), (x-1) και μοναδικές νέες ρίζες το -1 και το 1 που τους κατατάσσουμε ως δεύτερο και τρίτο κατά σειρά αλγεβρικούς αριθμούς. Είναι αλγεβρικοί αριθμοί πρώτου βαθμού.


Αν h=4 βρίσκουμε τα πολυώνυμα
x
2.x2 , x2+x, x2- x, x2+1, x2-1
3.x, 2.x+1, 2.x-1, x+2, x-2
4
και μοναδικές νέες πραγματικές ρίζες τους αριθμούς , -2, -½, 1/2, 2 όλες ρίζες πολυωνύμων πρώτου βαθμού που αποτελούν τους επόμενους αλγεβρικούς αριθμούς. Αν καταγράφαμε και μιγαδικούς αριθμούς θα καταγράφαμε και τους αριθμούς i, -i ως αλγεβρικούς αριθμούς δευτέρου βαθμού.

Αν h=5 βρίσκουμε τα πολυώνυμα
x4
2x3 ,
x3+x2 , x3- x2 , x3+x , x3-x , x3+1, x3-1
3 x2 , 2 x2+x , 2 x2-x , 2 x2 +1, 2x2 -1, x2+2x , x2 -2x,  x2 +2, x2 -2, x2 +x+1, x2 +x-1, x2 -x+1, x2-χ-1
4x, 3x+1, 3x-1, x+3, x-3
5
με μοναδικές πραγματικές νέες ρίζες τους αριθμούς -3, -1/3, 1/3, 3 (αλγεβρικοί πραγματικοί αριθμοί πρώτου βαθμού),
-(1/2).( 1+5 1/2 ), -21/2 , -(1/2).2 1/2 , -(1/2).(5 1/2 – 1), (1/2).(5 1/2 – 1), (1/2).2 1/2 , 2 1/2 , (1/2)( 1+51/2 ) (αλγεβρικοί πραγματικοί αριθμοί δευτέρου βαθμού)

Συνεχίζοντας έτσι και καταγράφοντας για κάθε ύψος h πεπερασμένο πλήθος αλγεβρικών αριθμών παίρνουμε μιαν απολύτως καθορισμένη ακολουθία αλγεβρικών αριθμών που θα περιλάβει όλους τους αλγεβρικούς αριθμούς αφού όλα τα πολυώνυμα με ακέραιους συντελεστές έχουν κάποιο ύψος και κάποιον βαθμό. Ο αντίστοιχος θετικός ακέραιος κάθε αλγεβρικού αριθμού καθορίζεται από τη σειρά που έχει ο αλγεβρικός αριθμός ως όρος της ακολουθίας.

Ας σημειωθεί ότι αν είχαμε συμπεριλάβει και τους μιγαδικούς αλγεβρικούς αριθμούς (μιγαδικούς αριθμούς που αποτελούν ρίζες εξισώσεων με ακέραιους συντελεστές), θα μπορούσαμε και πάλι να αριθμήσουμε το σύνολο όλων των αλγεβρικών αριθμών πραγματικών και μιγαδικών. Αυτό γιατί υπάρχει πεπερασμένο πλήθος εξισώσεων συγκεκριμένου ύψους και βαθμού με ακέραιους συντελεστές (αυτό δεν αλλάζει), και κάθε τέτοια εξίσωση έχει πεπερασμένο αριθμό ριζών (λύσεων) όχι μόνο στο σύνολο των πραγματικών αριθμών αλλά και στο σύνολο των μιγαδικών εν γένει αριθμών που περιλαμβάνει και τους πραγματικούς αριθμούς ως υποσύνολό του. Και πεπερασμένος αριθμός ριζών μπορεί πάντα να διαταχθεί σε μια συγκεκριμένη σειρά.


8. Θα αναφέρω μερικά παραδείγματα απειροσυνόλων ισοπληθικών με το σύνολο των θετικών ακεραίων και επομένως αριθμησίμων, χωρίς να καταδεικνύω πάντοτε τα όσα θα αναφέρω.

-Το σύνολο των σημείων ενός επιπέδου των οποίων και οι δύο συντεταγμένες είναι ρητοί  αριθμοί είναι αριθμήσιμο.  Το ίδιο συμβαίνει και με το σύνολο των σημείων του επιπέδου που οι συντεταγμένες τους είναι αλγεβρικοί αριθμοί. (Το σύνολο των  διατεταγμένων ζευγών στοιχείων ενός αριθμήσιμου συνόλου αποτελεί αριθμήσιμο σύνολο). Η  πρόταση σημαίνει ότι α2 = α .

-Το σύνολο των σημείων όλου του φυσικού χώρου των οποίων και οι τρείς συντεταγμένες είναι αλγεβρικοί αριθμοί είναι αριθμήσιμο. ( Το σύνολο των διατεταγμένων τριάδων στοιχείων ενός αριθμήσιμου συνόλου αποτελεί αριθμήσιμο σύνολο. Αυτό προκύπτει από το ότι οι διατεταγμένες τριάδες ακεραίων θετικών αριθμών μπορεί να διαταχθούν και να αριθμηθούν ως εξής. Μεταξύ δύο τριάδων ακεραίων θετικών αριθμών προηγείται εκείνη με το μικρότερο άθροισμα των τριών αριθμών. Αν δύο τριάδες έχουν το ίδιο άθροισμα  των τριών στοιχείων τους προηγείται εκείνη με το μικρότερο άθροισμα των δύο πρώτων στοιχείων τους. Αν και αυτά είναι ίσα προηγείται εκείνη που έχει μικρότερο το πρώτο στοιχείο της. Οι διατεταγμένες τριάδες (ακ βλ γμ)  διατάσονται με την ίδια σειρά που κατατάσονται  οι τριάδες ακεραίων θετικών αριθμών (κ, λ, μ). Η πρόταση  σημαίνει ότι  α3 = α

- Το σύνολο των σφαιρών όλου του φυσικού χώρου των οποίων και οι τρείς συντεταγμένες των κέντρων τους και η ακτίνα τους είναι αλγεβρικοί αριθμοί είναι αριθμήσιμο. Αυτό σημαίνει ότι α4 = α

- Αν η συνάρτηση f(x) είναι αύξουσα σε όλο το κλειστό διάστημα με άκρα τους αριθμούς α και β., τότε το σύνολο των σημείων ασυνεχείας της σε αυτό το διάστημα είναι το πολύ αριθμήσιμο. Το ίδιο ακριβώς συμβαίνει και όταν η συνάρτηση f(x) είναι φθίνουσα σε όλο το κλειστό διάστημα με άκρα τους αριθμούς α και β. Η φράση «το πολύ αριθμήσιμο» σημαίνει σύνολο ή πεπερασμένο ή άπειρο αριθμήσιμο. Θα πούμε μια ακόμη φράση.
" Μία συνάρτηση μονότονη στο κλειστό διάστημα [α, β], είναι σχεδόν παντου συνεχής σε αυτό το διάστημα."  Η φράση αυτή αποτελεί άλλη διατύπωση των αμέσως παραπάνω.

- Μια παρόμοια πρόταση. Κάθε μονότονη συνάρτηση f(χ) έχει πεπερασμένη παράγωγο σε κάθε σημείο χ με την πιθανή εξαίρεση των σημείων ενός συνόλου μέτρου μηδέν, ή με άλλα λόγια, σχεδόν παντού.
Σημειώνω ότι τα αριθμήσιμα σύνολα έχουν μέτρο μηδέν. (δες στη συνέχεια στον τίτλο την παράγραφο 4.1)



4. Σύνολα υπεραριθμήσιμα

Πάνω κάτω έχουμε πει ότι δεν υπάρχει απειροσύνολο με πληθικό αριθμό μικρότερο του α.
Αν ένα σύνολο Α είναι ισοπληθικό με κάποιο άπειρο υποσύνολο του συνόλου των θετικών ακεραίων έστω το Β, τότε:
α) Τα στοιχεία του Β είναι ακέραιοι θετικοί αριθμοί και μπορεί να μπουν στη φυσική σειρά και να αριμηθούν. Έστω Β1 ,Β2 .......Βμ........ τα στοιχεία του Β. Το σύνολο Β είναι αριθμήσιμο.
β) Αφού τα Α και Β είναι ισοπληθικά, τα στοιχεία του Α μπορούν να αντιστοιχηθούν ένα προς ένα με τα στοιχεία Β1 ,Β2 .......Βμ........ του Β .Το στοιχείο του Α που θα αντιστοιχηθεί με το Β1 θα αριθμηθεί ως Α1,το στοιχείο του Α που θα αντιστοιχηθεί με το Β2 θα αριθμηθεί ως Α2, κ.ο.κ. Συνεπώς και τα στοιχεία του συνόλου Α αριθμούνται. Συνεπώς και το σύνολο Α είναι αριθμήσιμο

Υπάρχουν όμως υπεραριθμήσιμα σύνολα, δηλαδή σύνολα με πληθικό αριθμό μεγαλύτερο του πληθικού αριθμού α του συνόλου Ν των θετικών ακεραίων. Θα δούμε παραδείγματα.


1. Το σύνολο R01 των πραγματικών αριθμών που είναι μεγαλύτεροι από το 0 και μικρότεροι από το 1, είναι υπεραριθμήσιμο και τα στοιχεία του δεν μπορεί να αριθμηθούν.
Αυτό σημαίνει ότι το R01 έχει πληθικό αριθμό μεγαλύτερο του α. Όλα αυτά είναι ισοδύναμα με την πρόταση,

«Με οποιοδήποτε τρόπο και αν αντιστοιχηθούν ένας προς έναν οι αριθμοί του R01 με τους ακέραιους θετικούς αριθμούς θα μείνουν αριθμοί του R01 που δεν θα έχουν αντιστοιχηθεί με κανέναν ακέραιο θετικό αριθμό.»

Έστω ότι έχουμε μιαν ένας προς έναν αντιστοίχιση. Ο πραγματικός αριθμός του R01 που αντιστοιχεί στον 1 θα είναι ο πρώτος αριθμός του, εκείνος που αντιστοιχεί στον αριθμό 2 θα είναι ο δεύτερος, ….. εκείνος που αντιστοιχεί στον 1000 θα είναι ο χιλιοστός και λοιπά. Οι αριθμοί αυτοί είναι οι αριθμημένοι αριθμοί του R01.

Τώρα τους πραγματικούς αριθμούς μεταξύ 0 και 1 θα τους έχουμε στο νου μας με το δεκαδικό τους ανάπτυγμα. Κάθε ένας τους έχει ακέραιο μέρος 0 και άπειρα δεκαδικά ψηφία, και κάθε δεκαδικό ψηφίο είναι ένας αριθμός ακέραιος από το 0 μέχρι το 9. Με την επιφύλαξη μιας εξαίρεσης που θα τη συζητήσουμε, δύο τέτοιοι αριθμοί που διαφέρουν έστω και σε ένα μόνο ψηφίο είναι διαφορετικοί μεταξύ τους. Να παρατηρήσω ακόμη ότι τα δεκαδικά ψηφία κάθε πραγματικού αριθμού μπορεί να αριθμηθούν. Πρώτο δεκαδικό ψηφίο, δεύτερο δεκαδικό ψηφίο και ούτω καθεξής.

Τώρα λέω ότι μπορώ να επιλέξω αριθμούς του R01 που δεν έχουν αριθμηθεί ως εξής:

Το πρώτο τους ψηφίο να είναι διαφορετικό από το πρώτο ψηφίο του πρώτου από τους αριθμημένους αριθμούς του R01 (του αριθμού που τον έχουμε αντιστοιχήσει με τον θετικό ακέραιο 1),

Το δεύτερό τους ψηφίο να είναι διαφορετικό από το δεύτερο ψηφίο του αριθμού που τον έχουμε αντιστοιχήσει με τον θετικό ακέραιο 2

Το τρίτο τους ψηφίο να είναι διαφορετικό από το τρίτο ψηφίο του αριθμού που τον έχουμε αντιστοιχήσει με τον θετικό ακέραιο 3,

............................................................................

.............................................................................

.............................................................................

Το χιλιοστό τους ψηφίο να είναι διαφορετικό από το χιλιοστό ψηφίο του αριθμού που τον έχουμε αντιστοιχήσει με τον θετικό ακέραιο 1000,

Και έτσι στη συνέχεια επ’ άπειρον.

Όλοι οι αριθμοί του που μπορούν να σχηματισθούν με αυτόν τον τρόπο είναι άπειροι, και είναι διαφορετικοί από τους αριθμημένους αριθμούς του R01.

Διαφέρουν με τον πρώτο αριθμημένο αριθμό του R01, τουλάχιστον στο πρώτο ψηφίο, με τον δεύτερο τουλάχιστον στο δεύτερο ψηφίο, με τον τρίτο τουλάχιστον στο τρίτο ψηφίο και πάει λέγοντας. Άρα οι αριθμοί που σχηματίζω με αυτόν τον τρόπο είναι αριθμοί του R01 και δεν περιλαμβάνονται στους αριθμούς του R01 που έχουν αριθμηθεί.

Και ερχόμαστε στην εξαίρεση. Είχαμε πει ότι δύο πραγματικοί αριθμοί που τα δεκαδικά τους αναπτύγματα διαφέρουν έστω και σε ένα ψηφίο, είναι διαφορετικοί μεταξύ τους. Αλλά αριθμοί που το δεκαδικό τους ανάπτυγμα τελειώνει με μια άπειρη ακολουθία 9 μπορεί να είναι ίσοι με αριθμό που το δεκαδικό του ανάπτυγμα τελειώνει με μια άπειρη ακολουθία 0. Για παράδειγμα τα αναπτύγματα 0,429999999…… και 0,430000000…… εκπροσωπούν και τα δύο τον αριθμό 43/100. Έχοντας αυτό κατά νου μπορούμε στη θέση του 0 να επιλέγουμε αριθμό διαφορετικό από το 0 και διαφορετικό από το 9, και όμοια στη θέση του 9.  Πιο απλά μπορούμε να να μεριμνούμε να μη σχηματίζονται τέτοιες ακολουθίες, αποκλείοντας έτσι το να έχουμε σχηματίσει αριθμό που υπάρχει μεταξύ των αριθμημένων αλλά με άλλο ανάπτυγμα.

Δείξαμε επομένως ότι το σύνολο των μεταξύ του 0 και του 1 πραγματικών αριθμών είναι υπεραριθμήσιμο και επομένως έχει πληθικό αριθμό μεγαλύτερο του α. Τον πληθικό αριθμό αυτού του συνόλου τον λέμε πληθάριθμο του συνεχούς και τον συμβολίζουμε c (από τη λέξη continum = συνεχές). Ισχύει
α < c.

Τα ψηφία του δεκαδικού αναπτύγματος κάθε πραγματικού αριθμού μεταξύ του 0 και του 1 έχουν πλήθος α και καθένα τους μπορεί να πάρει 10 τιμές ( τα ψηφία είναι ακέραιοι από το 0 έως το 9). Μπορούμε επομένως να θεωρήσουμε ότι το πλήθος των πραγματικών αριθμών που υπάρχουν μεταξύ του 0 και του 1 είναι 10α και να συμπεράνω έτσι ότι 10α = c.

Αντί το δεκαδικό ανάπτυγμα θα μπορούσαμε να έχουμε γράψει το δυαδικό ανάπτυγμα των ίδιων αριθμών χρησιμοποιώντας ως ψηφία μόνο τους αριθμούς 0 και 1. Θα είχαμε 2α δυαδικά αναπτύγματα που θα παρίσταναν πάλι όλους τους πραγματικούς αριθμούς μεταξύ 0 και 1. Μπορούμε επομένως να γράψουμε
 2α = c = 10α .
Αυτό μας επιτρέπει κάποιους υπολογισμούς. Είναι

c2= (2α )22α = c
c323.α2α = c
c ≤ a.c ≤ c2= c     άρα     a.c = c 
cα2α.α2α = c 

2. Ας θεωρήσουμε όλα τα υποσύνολα του συνόλου των θετικών ακεραίων αριθμών. Για το καθένα από αυτά μπορούμε να γράψουμε μια ακολουθία άπειρων αριθμών που ο καθένας τους θα ισούται με 0 ή με 1. Συγκεκριμένα για κάθε ν, ο νιοστός όρος αυτής της ακολουθίας θα ισούται με 0 αν ο θετικός ακέραιος ν δεν ανήκει σε αυτό το υποσύνολο και με 1 αν ανήκει. Αντιστοιχούμε έτσι ένα προς ένα τα υποσύνολα των θετικών ακεραίων με τα δυαδικά αναπτύγματα των πραγματικών αριθμών μεταξύ του 0 και του 1. Άρα μπορούμε να πούμε ότι
το σύνολο των υποσυνόλων του συνόλου των θετικών ακεραίων ( και γενικότερα κάθε αριθμήσιμου συνόλου), έχει πληθικό αριθμό ίσο με  2α = c.



3. Ας απαντήσουμε σε ένα άλλο ερώτημα. Το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών τι πληθικό αριθμό έχει; Είναι σχετικά εύκολο να δούμε ότι όσοι πραγματικοί αριθμοί υπάρχουν μεταξύ του 0 και του 1 υπάρχουν και μεταξύ δύο οποιωνδήποτε πραγματικών αριθμών και τόσοι είναι και όλοι οι πραγματικοί αριθμοί1.
Το πλήθος των πραγματικών αριθμών είναι c,
είναι δηλαδή όσο ο πληθάριθμος του συνεχούς

Αυτό σημαίνει ότι όσοι είναι οι πραγματικοί αριθμοί που βρίσκονται ανάμεσα στο 0 και στον αριθμό 10-100 ( 10-15 μέτρα είναι η θεωρητική διάμετρος του ηλεκτρονίου), τόσοι είναι και όλοι οι πραγματικοί αριθμοί από το μείον άπειρο έως το συν άπειρο.

4. Σε μια ευθεία μπορεί να ορισθούν ένα σημείο Α και ένα σημείο Β και μπορεί να ορισθεί η απόσταση ΑΒ ως μονάδα μέτρησης των μηκών. Έχοντας ορίσει αυτά αντιστοιχούμε στο τυχόν σημείο Μ της ευθείας τον πραγματικό αριθμό που έχει απόλυτη τιμή ίση με τον λόγο ΑΜ/ΑΒ και σημείο συν ή πλην αναλόγως του αν το Μ βρίσκεται στα δεξιά ή αριστερά του Α.
Η διαδικασία αυτή ορίζει μιαν ένα προς έναν αντιστοίχηση μεταξύ των σημείων μιας ευθείας και όλων των πραγματικών αριθμών. Το σύνολο των σημείων μιας ευθείας  έχει πληθικό αριθμό c.
Είναι εύκολο να σκεφθούμε ότι και
το πλήθος των σημείων ενός περατωμένου ευθύγραμμου τμήματος είναι επίσης c.

5. Σε κάθε σημείο του τριδιάστατου φυσικού χώρου αντιστοιχούμε τις συντεταγμένες του που είναι μια διατεταγμένη τριάδα πραγματικών αριθμών. Το πλήθος των σημείων όλου του φυσικού χώρου έχει πληθικό αριθμό  c3 . Όπως έχουμε δεί είναι
 c3 = c

Αυτό σημαίνει ότι όσα σημεία υπάρχουν σε ολόκληρο το σύμπαν, τόσα σημεία υπάρχουν και σε ένα ευθύγραμμο τμήμα που το μήκος του ισούται με ένα πολύ μικρό κλάσμα της θεωρητικής διαμέτρου του ηλεκτρονίου2, 2α .

Και αυτό αφορά όχι μόνο το ανθρωποκεντρικής θεώρησης "σύμπαν" της σημερινής κοσμολογίας (σύμπαν είναι ότι ο άνθρωπος αντιλαμβάνεται ότι υπάρχει με τις αισθήσεις του και με τα μέσα που επινοεί, κατασκευάζει και χρησιμοποιεί), αλλά και ένα πολύ ευρύτερο σύμπαν που μπορούμε να φανταστούμε (δεν λέω ότι υπάρχει). Το σύμπαν αυτό μπορούμε να το φανταστούμε σε έναν άπειρο και κατά τις τρεις διαστάσεις του χώρο και μπορούμε να φανταστούμε ότι περιλαμβάνει άπειρα σύμπαντα σαν το σύμπαν της σημερινής κοσμολογίας τα οποία είναι διάσπαρτα σε αυτόν τον απέραντο χώρο προς όλες τις κατευθύνσεις. Και αυτό το απέραντο σύμπαν αν υπήρχε θα είχε τόσα σημεία όσα υπάρχουν και σε ένα ευθύγραμμο τμήμα που το μήκος του ισούται με ένα πολύ μικρό κλάσμα της θεωρητικής διαμέτρου του ηλεκτρονίου.

6. Ξεφεύγοντας από το φυσικό χώρο πηγαίνουμε σε αφηρημένους μαθηματικούς χώρους αριθμήσιμα απείρων διαστάσεων (χώροι Χίλμπερτ). Κάθε «σημείο» ενός τέτοιου χώρου καθορίζεται από μιαν αριθμήσιμη ακολουθία αυθαίρετων πραγματικών αριθμών που αποτελούν τις συντεταγμένες του σημείου σε αυτόν τον απειροδιάστατο χώρο. Υπάρχουν επομένως  cα σημεία σε έναν χώρο Χίλμπετρτ.

Όμως  cα = (2α)α = 2α.α = 2α = c. 


Το τελευταίο  συνεπάγεται ότι   c = 2α   αα   cα = c

 και επομένως ότι            αα = c

Ακόμη ότι     c = 2α α!   αα = c

και επομένως ότι              α! = c





Σημειώσεις

1. Αν με R συμβολίσουμε το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών και με Rαβ όπου α<β, το σύνολο των πραγματικών αριθμών των μεγαλύτερων του α και μικρότερων του β τότε τα σύνολα R01, Rαβ, R(-1)1, και R είναι ισοπληθικά μεταξύ τους και έχουν όλα πληθικό αριθμό c. Θα τα δουμε ένα, ένα.

Αν 0 <χ<1 ο χ ανήκει στο R01 και αν ψ=α+χ.(β-α) τότε α<ψ<β και ο ψ ανήκει στο Rαβ. Η αντιστοίχηση του χ με το ψ με βάση αυτήν τη σχέση αντιστοιχεί έναν προς έναν τους αριθμούς του R01 με τους αριθμούς του Rαβ

Αν θέσω α=-1 και β=1 στα προηγούμενα βρίσκω μιαν ένα προς έναν αντιστοίχηση των αριθμών χ του R01 με τους αριθμούς ψ του R(-1,1) με βάση τη σχέση ψ=-1+2.χ ή ισοδύναμα με τη σχέση χ = (ψ+1)/2

Αν -1<χ<1 και ψ= χ/(1- απόλυτη τιμή του χ), το ψ μεταβάλλεται με το χ και παίρνει τις τιμές όλων των πραγματικών αριθμών όταν το χ μεταβάλλεται μεταξύ του -1 και του 1. Επιπλέον αυτή σχέση καθορίζει μιαν αμφιμονότιμη αντιστοίχηση μεταξύ των αριθμών του R(-1,1) και των αριθμών του συνόλου R όλων των πραγματικών αριθμών. Η σχέση που χρησιμοποιήσαμε δίνει χ = ψ/ (1 + απόλυτη τιμή του ψ) και για ψ αυθαίρετο πραγματικό αριθμό δίνει χ πραγματικό και καθορισμένο με τιμή μεταξύ του -1 και του 1.

Όλες αυτές οι αντιστοιχήσεις είναι πλήρεις και ένα προς ένα.

2. Είναι γνωστό ότι ο φυσικός χώρος είναι τριδιάστατος,  ότι μια ευθεία γραμμή αποτελεί μονοδιάστατο χώρο και ότι οι χώροι του Χίλμπερτ είναι αριθμήσιμα απειροδιάστατοι χώροι. Όλοι αυτοί οι χώροι όμως περιέχουν το ίδιο πλήθος σημείων και αυτό ακούγεται αντιφατικό. Δεν πρέπει όμως να είναι αντιφατικό και δεν είναι, αλλά δυστυχώς τη θεωρία τη σχετική με τις διαστάσεις χώρων (Dimension Theory) δεν την ξέρω.  Στην βιβλιογραφία  εντόπισα μόνο μια αναφορά σε σχετικό σύγγραμμα του Hurewicz  εκδόσεως 1941 που αν και το αναζήτησα επίμονα δεν μπόρεσα να το βρω κάπου. Αν κάποιος μπορούσε να βοηθήσει, η βοήθεια του θα ήταν ευπρόσδεκτη.

2α. ΄Εστω Α ένα σημείο του διαστήματος (0, δ) των πραγματικών αριθμών. Αν α είναι η τετμημένη του σημείου, τότε 0 <α<δ και αν β = α/δ τότε

0<β <1. Έστω β= 0, β1 β2 β3 β4 β5 β6 β7 β8 β9 β10 .……….

Στον β αντιστοιχώ το σημείο (χ΄, ψ΄, ζ΄) που ανήκει στο εσωτερικό του μοναδιαίου κύβου όπου



χ΄ = 0, β1 β4 β7 β10 .………
ψ΄ =0, β2 β5 β8 β11 .………

ζ΄= 0, β3β6 β9 β12 .………

Στο σημείο (χ΄, ψ΄, ζ΄) αντιστοιχώ το σημείο (χ,ψ,ζ) με

χ = -1+2.χ΄
ψ= -1+2.ψ΄
ζ = -1+2.ζ΄

και τέλος στο σημείο (χ,ψ,ζ) αντιστοιχώ το (Χ,Ψ,Ζ) του συνολικού τριδιάστατου χώρου, με

Χ = χ/(1- απόλυτη τιμή του χ)
Ψ = ψ/(1- απόλυτη τιμή του ψ)
Ζ = ζ/(1- απόλυτη τιμή του ζ)

Με την όλη διαδικασία στο σημείο Α με τετμημένη α του διαστήματος (0, δ) αντιστοιχώ το σημείο (Χ,Ψ,Ζ) του τριδιάστατου χώρου. Η μέσω αυτής της διαδικασίας αντιστοίχηση μεταξύ των σημείων του διαστήματος (0,δ) και των σημείων όλου του τριδιάστατου φυσικού χώρου αποδεικνύεται πλήρης και ένα προς ένα.


5. Ο πληθικός αριθμός των άρρητων και των υπερβατικών αριθμών

Ι. Βρήκαμε τον πληθικό αριθμό των ρητών, των αλγεβρικών και των πραγματικών αριθμών. Βρήκαμε ότι οι ρητοί αποτελούν αριθμήσιμο σύνολο και επομένως μπορεί να αριθμηθούν και κάθε ρητός αριθμός να έχει μια συγκεκριμένη σειρά. Αν ήταν δυνατόν να αριθμηθούν και οι άρρητοι αριθμοί, τότε θα μπορούσαμε να αριθμήσουμε και τους πραγματικούς αριθμούς που αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους μαζί.

Πράγματι θα μπορούσαμε να θέσουμε πρώτο πραγματικό αριθμό τον πρώτο ρητό, και δεύτερο τον πρώτο άρρητο. Τρίτο θα μπορούσαμε να βάλουμε τον δεύτερο ρητό αριθμό και τέταρτο πραγματικό αριθμό,τον δεύτερο άρρητο. Και γενικά ως τάξεως (2ν-1) πραγματικό αριθμό θα μπορούσαμε να θέσουμε τον νι-οστό ρητό αριθμό και ως όρο τάξεως 2ν τον νι-οστό άρρητο. Κατ’ αυτόν τον τρόπο αλλά και με άλλους, θα μπορούσαμε να αριθμήσουμε και όλους τους πραγματικούς αριθμούς αν μπορούσαμε να αριθμήσουμε τους άρρητους. Έχουμε δει όμως ότι δεν μπορούμε να αριθμήσουμε όλους τους πραγματικούς αριθμούς, άρα δεν μπορούμε να αριθμήσουμε όλους τους άρρητους. Οι άρρητοι αριθμοί αποτελούν υπεραριθμήσιμο σύνολο. Ο πληθικός τους αριθμός υπερβαίνει τον α τον πληθικό αριθμό όλων των αριθμήσιμων συνόλων.

ΙΙ. Ότι είπαμε για τους άρρητους και τους ρητούς μπορούμε να το πούμε και για τους αλγεβρικούς και τους υπερβατικούς αριθμούς. Οι υπερβατικοί είναι οι μη αλγεβρικοί, οι αλγεβρικοί είναι αριθμήσιμοι, και αλγεβρικοί και υπερβατικοί αριθμοί μαζί συνιστούν τους πραγματικούς αριθμούς που αποτελούν υπεραριθμήσιμο σύνολο. Άρα και οι υπερβατικοί αριθμοί αποτελούν υπεραριθμήσιμο σύνολο.

ΙΙΙ. Δεν είπαμε όμως ακόμη τον πληθικό αριθμό ούτε των αρρήτων ούτε των υπερβατικών αριθμών. Πάντως των ρητών αριθμών ο πληθικός αριθμός είναι α και των πραγματικών είναι c. Αν χ είναι ο πληθικός αριθμός των αρρήτων τότε όπως έχουμε δείξει είναι α < χ . Ξέρουμε και ότι
α + χ = c.

Αφού όμως είναι α < χ, σύμφωνα με θεώρημα της συνολοθεωρίας θα είναι α + χ = χ . Το συμπέρασμα είναι ότι χ = c.

 Οι άρρητοι έχουν τον ίδιο πληθικό αριθμό με τους πραγματικούς. Και φυσικά το ίδιο ισχύει και για τους υπερβατικούς αριθμούς. Το σύνολο των υπερβατικών αριθμών είναι και αυτό ισοπληθές με το σύνολο των πραγματικών αριθμών.

Σε αυτό το συμπέρασμα μπορούμε να καταλήξουμε και διαφορετικά.
Ας πούμε Α το σύνολο των αλγεβρικών αριθμών, Υ το σύνολο των υπερβατικών αριθμών και Π το σύνολο των πραγματικών.
Είναι Α + Υ = Π .
Το Α έχει πληθικό αριθμό α,  το Π έχει πληθικό αριθμό  c και το Υ είναι υπεραριθμήσιμο. Αντιστοιχώ σε κάθε στοιχείο του Α ένα στοιχείο  του Υ με τον περιορισμό σε διαφορετικά στοιχεία του Α να αντιστοιχούν διαφορετικά στοιχεία του Υ, και έστω Β το υποσύνολο του Υ που αποτελείται από όλα τα στοιχεία του Υ στα οποία αντιστοιχήθηκαν τα στοιχεία του Α.  Έχω

1. Το Β είναι αριθμήσιμο, το Υ υπεραριθμήσιμο και συνεπώς το (Υ-Β) είναι υπεραριθμήσιμο.
2. Α + Υ = (Α+ Β) + (Υ-Β) = Π  και το (Α+Β) είναι αριθμήσιμο ως ένωση δύο α;ριθμήσιμων συνόλων.
3. Μπορώ επομένως να έχω μία 1 προς 1 αντιστοίχηση των στοιχείων του (Α+Β) και του Β (χωρίς διπλές αντιστοιχήσεις και χωρίς αναντιστοίχητα στοιχεία).
4. Μπορώ επομένως να έχω  1 προς 1 αντιστοίχηση των στοιχείων του [(Α+Β) + (Υ-Β)] και του [Β + (Υ-Β)] (χωρίς διπλές αντιστοιχήσεις και χωρίς αναντιστοίχητα στοιχεία).
5. Άρα το (Α+Υ) = [(Α+Β) + (Υ-Β)] είναι ισοπληθικό με το [Β + (Υ-Β)] = Υ και τελικά,
6. Το Π = (Α+Υ) είναι ισοπληθικό με το Υ (Οι πραγματικοί είναι όσοι και οι υπερβατικοί)

Φυσικά αντί με τους αλγεβρικούς, τους υπερβατικούς και τους πραγματικούς θα μπορούσα να κάνω τους ίδιους συσχετισμούς με τους ρητούς, τους άρρητους και τους πραγματικούς και θα εύρισκα ότι οι πραγματικοί είναι όσοι και οι άρρητοι.



ΙV. Τώρα είναι α< c. Πόσο μεγαλύτερος όμως είναι ο c από τον α. Μπορούμε να θυμίσουν με ότι c =  10α < ή ισο του αα < ή ίσο του cα = c. (Θυμίζω ότι  cα = (2α)α = 2α.α = 2α = c). 

1. Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι c = 10α = αα = cα. Μας αρκεί η λιγότερο ισχυρή σχέση c = 10α . Ας συγκρίνουμε το 10νμε το ν.

Για ν = 1, ο λόγος τους είναι 10

Για ν = 10,  ο λόγος τους είναι  109

Για ν = 100,  ο λόγος τους είναι  1098

Για ν = 1.000.000,  ο λόγος τους είναι  10999994

Για ν = α,  ο λόγος τους είναι  (10α / α) = (αα / α)  = αα-1  = αα = c

2. Μπορούμε να το δούμε και διαφορετικά. Ας πάρουμε τους αλγεβρικούς αριθμούς που αποτελούν αριθμήσιμο σύνολο. Αν ε είναι ένα αυθαίρετο μήκος μπορούμε να καλύψουμε

τον πρώτο αλγεβρικό αριθμό με ένα ανοικτό διάστημα εύρους μικρότερου του ε/2
τον δεύτερο με ένα ανοικτό διάστημα εύρους μικρότερου του ε/ 22
τον τρίτο με ένα ανοικτό διάστημα εύρους μικρότερου του ε/ 23
τον τέταρτο με ένα ανοικτό διάστημα εύρους μικρότερου του ε/ 24
τον νι-οστό με ένα ανοικτό διάστημα εύρους μικρότερου του ε/ 2ν
και ούτω καθεξής επ’άπειρον.

Έτσι όλοι οι αλγεβρικοί αριθμοί θα καλυφθούν με ανοικτά διαστήματα συνολικού μήκους μικρότερου του

ε/2 + ε/ 22 + ε/ 23 + …. + ε/ 2ν +…… = ε.


Όλοι επομένως οι αλγεβρικοί αριθμού μπορεί να καλυφθούν με ανοικτά διαστήματα που έχουν αθροιστικά συνολικό μήκος μικρότερο του ε και το ε είναι αυθαίρετο. Επομένως το άθροισμα μπορεί είναι μικρότερο από οποιοδήποτε μήκος. Το σύνολο αριθμήσιμου πλήθους σημείων επί μιας ευθείας μπορεί να καλυφθεί με ανοικτά διαστήματα αθροιστικού μέτρου ίσου προς μηδέν.

Αυτά σημαίνει η φράση «σχεδόν όλοι οι πραγματικοί αριθμοί είναι υπερβατικοί» ή άρρητοι. Και αυτά σημαίνουν ανάλογες φράσεις που έχουμε αναφέρει.

3. Ο Κάντορ μελετώντας τα σημειοσύνολα έδωσε μια ακόμη σχετική εικόνα. Αν από όλα τα σημεία του φυσικού χώρου (πληθικός αριθμός = c), αφαιρέσουμε ένα αριθμήσιμο σύνολο σημείων παντού πυκνών μέσα στο σύνολο των σημείων του φυσικού χώρου ( για παράδειγμα το σύνολο των σημείων των οποίων και οι τρεις συντεταγμένες είναι αλγεβρικοί αριθμοί), τότε το σύνολο των σημείων που απομένει (πληθικός αριθμός c), είναι συνεκτικό. Αυτό σημαίνει ότι δύο οποιαδήποτε σημεία του μπορεί να συνδεθούν με μια συνεχή γραμμή που θα περνά μόνο από σημεία του χώρου τα οποία δεν έχουν αφαιρεθεί. Το ίδιο ακριβώς συμβαίνει και σε ένα απεριόριστο επίπεδο, αλλά και σε αφηρημένους Νι-διάστατους μαθηματικούς χώρους με Ν πεπερασμένο θετικό ακέραιο μεγαλύτερο του 3.



6. Πληθάριθμοι μεγαλύτεροι του c - Άπειρο πλήθος πληθικών αριθμών απειροσυνόλων 

Βρήκαμε τους πληθικούς αριθμούς των συνόλων που αφορούσε το θέμα μας. Δεν είναι όμως άσκοπο να απαντηθεί ένα ακόμη ερώτημα. Υπάρχουν σύνολα με πληθικό αριθμό μεγαλύτερο του c; Μπορούμε να δώσουμε αμέσως μια απάντηση.

Το σύνολο όλων των πραγματικών συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής που μπορεί να ορισθούν σε ένα διάστημα πραγματικών αριθμών, έστω το [α, β] έχει πληθικό αριθμό μεγαλύτερο του c. 


Ας δούμε το γιατί. Οι σταθερές συναρτήσεις οι ορισμένες στο [α,β] έχουν πλήθος c. Και  η τιμή μιας συνάρτησης στο αυθαίρετο σημείο ξ του διαστήματος [α,β] μπορεί να ορισθεί κατα c διαφορετικούς τρόπους και πρέπει να ορισθεί σε c το πλήθος σημεία. Το σύνολό μας έχει επομένως πληθικό αριθμό που δεν είναι μικρότερος του c. Αρκεί να αποδείξουμε ότι δεν είναι ίσος με c. 
Ας αντιστοιχήσουμε σε κάθε συνάρτηση ορισμένη στο [α,β] ένα σημειίο  του διαστήματος με τον περιορισμό ότι σε δύο διαφορετικές συναρτήσεις θα αντιστοιχούμε πάντοτε δύο διαφορετικά σημεία. Θα δείξουμε ότι με όποιον τρόπο και αν γίνει η αντιστοίχιση θα υπάρχουν πάντοτε συναρτήσεις ορισμένεςσε αυτό το διάστημα που δεν τις έχουμε  αντιστοιχήσει με κάποιο σημείο του διαστήματος .  ¨
Για κάθε ξ του [α,β], έστω Φξ(χ)  η συνάρτηση που έχει αντστοιχηθεί με το σημείο ξ. Κατασκευάζω συνάρτηση σ(χ) που στο κάθε σημείο ξ διαφέρει από τη  συνάρτηση Φξ(χ). Είναι δηλαδή  για κάθε ξ

σ(ξ) διάφορο του Φξ(ξ)   (1)

Η σ(χ) μπορεί να ορισθεί σε κάθε σημείο κατά c τρόπους. Επομένως στα c κατά το πλήθος σημεία μπορεί να ορισθεί κατά cc τρόπους.

Έχει αντίστοιχηθεί κάποια  σ(χ) με κάποιο σημείο του [α,β]; Αν μία σ(χ) έχει αντιστοιχηθεί με ένα σημείο ξ του διαστήματος τότε θα έχουμε 

σ(χ) = Φξ(χ) και ειδικότερα  σ(ξ) = Φξ(ξ)    (2)

Αυτό όμως αντίκειται στην  σχέση (1) , δηλαδή αντίκειται στον τρόπο ορισμού της σ(χ). Η σ(χ) δεν έχει αντιστοιχηθεί με κανένα σημείο του διαστήματος [α,β]

Συνεπώς, με οποιαδήποτε αμφιμονότιμη αντιστοίχηση συναρτήσεων ορισμένων στο [α,β] με όλα τα σημεία του [α,β] τυπάρχουν συναρτήσεις ορισμένες στο [α,β] που δεν έχουν αντιστοιχηθεί με κανένα σημείο του διαστήματος. Οι συναρτήσεις που μπορεί να ορισθούν στο όποιο διάστημα είναι περισσότερες από τα σημεία του διαστήματος. Το πλήθος των σημείων του διαστήματος είναι c. Αν f είναι το πλήθος των συναρτήσεων που μπορεί να ορισθούν σε ένα διάστημα έχω
f  > c
Ποια είναι η στενότερη σχέση μεταξύ των f και c;
Σε κάθε σημείο μια συνάρτηση μπορεί να ορισθεί κατά c τρόπους, και στα c σημεία κατά cc τρόπους. Άρα
f = cc
Επειδή όμως c = 2α βρίσκω
f = cc = (2α)c= 2αc = 2c .(Ο  α.c   δεν υπολείπεται του c και δεν υπερβαίνει τον   c2 = c  άρα και α.c= c)
Και επειδή
f = 2c  10c  αc  cc = f
έχω
2c = 10c = αc = cc = f        Έχω  και          c! 

Ισχύει ακόμη  c α 10 = 2 = f


Η σχέση 2c = σημαίνει ότι και
το σύνολο των συναρτήσεων μιας μεταβλητής που μπορεί να ορισθούν σε ένα διάστημα πραγματικών αριθμών, έστω το [α, β] και παίρνουν μόνο δύο τιμές ( ας πούμε τις τιμές 0 και 1) έχει επίσης πληθικό αριθμό f, ( αφού   2c= f )

Είναι αξιοσημείωτο όμως ότι
το σύνολο των συνεχών πραγματικών συναρτήσεων μιας μεταβλητής που μπορεί να ορισθούν σε ένα διάστημα πραγματικών αριθμών, έστω το [α, β] έχει πληθικό αριθμό c. Αυτό γιατί μια συνεχής συνάρτηση ορίζεται πλήρως αν ορισθεί μόνο για ρητά χ, δηλαδή μόνο  σε α  το πλήθος σημεία. Επομένως αφού σε κάθε σημείο μπορεί να ορισθεί κατά c τρόπους, στα α κατά το πλήθος σημεία μπορεί να ορισθεί κατά  cα = c τρόπους

Έχουμε  όμως αποδείξει την ύπαρξη πληθικού αριθμού μεγαλύτερου του c. Τώρα θα αποδείξουμε κάτι πολύ γενικότερο.  Θα αποδείξουμε ότι,

Αν Α ένα άπειρο σύνολο με πληθικό αριθμό χ, τότε το σύνολο όλων των υποσυνόλων του Α έχει πληθικό αριθμό μεγαλύτερο του χ.

 Για να την αποδείξουμε αυτήν την πρόταση αρκεί να αποδείξουμε ότι με οποιοδήποτε τρόπο και αν αντιστοιχήσουμε σε κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α ένα υποσύνολο του Α αντιστοιχώντας σε δύο διαφορετικά σημεία του Α δύο διαφορετικά υποσύνολά του, θα παραμείνει τουλάχιστον ένα υποσύνολο του Α που δεν θα είναι αντίστοιχο κανενός στοιχείου του Α.

Έστω λοιπόν ότι στο στοιχείο χ του Α αντιστοιχούμε ένα υποσύνολό του Α, έστω το Β. Το στοιχείο χ του Α μπορεί να είναι και στοιχείο του συνόλου Β στο οποίο αντιστοιχεί, ή μπορεί να μην είναι.

Έχοντας δεδομένη την αντιστοίχιση σχηματίζω ένα υποσύνολο του Α, έστω το Ψ ως εξής. Το Ψ αποτελείται από όλα τα στοιχεία του Α που δεν είναι και στοιχεία του συνόλου στο οποίο αντιστοιχούν και μόνον από από αυτά. Αν δεν υπάρχουν τέτοια στοιχεία το Ψ θα είναι το κενό σύνολο.

Λέω ότι αυτό το σύνολο Ψ που ορίστηκε με αυτόν τον τρόπο είναι προφανώς και εξ ορισμού υποσύνολο του Α και δεν είναι αντίστοιχο κανενός στοιχείου του Α.

Διότι αν το Ψ ήταν αντίστοιχο ενός στοιχείου του Α, έστω του ζ θα υπήρχαν δύο δυνατότητες
1. το ζ να ανήκει στο Ψ
2. το ζ να μην ανήκει στο Ψ.
Άλλες δυνατότητες δεν υπάρχουν.

Η πρώτη δυνατότητα αντιφάσκει με το ότι το Ψ περιλαμβάνει μόνο στοιχεία που δεν ανήκουν στο υποσύνολο του Α με το οποίο αντιστοιχούν.

Η δεύτερη δυνατότητα αντιφάσκει με το ότι στο Ψ περιέχονται όλα τα στοιχεία του Α που δεν ανήκουν στο υποσύνολο του Α με το οποίο αντιστοιχούν.

Η υπόθεση επομένως ότι το Ψ (υποσύνολο του Α) είναι αντίστοιχο ενός στοιχείου του Α σε μια δεδομένη αντιστοίχιση ένα προς ένα μεταξύ όλων των στοιχείων του Α αφ’ ενός και των υποσυνόλων του Α αφ’ ετέρου οδηγεί σε κάθε περίπτωση σε αντίφαση.
Επομένως σε κάθε περίπτωση και για κάθε τέτοια αντιστοίχιση, ένα τουλάχιστον υποσύνολο του Α, (και συγκεκριμένα το Ψ), δεν είναι αντίστοιχο κανενός στοιχείου του Α. Τα υποσύνολα κάθε συνόλου είναι περισσότερα από τα στοιχεία του συνόλου.

Ας δούμε τώρα τι σημαίνει και τι συνεπάγεται και με ποια θέματα σχετίζεται  η πρόταση που αποδείξαμε . Έχουμε λοιπόν:

1. Αν ένα πεπερασμένο σύνολο Β έχει ν στοιχεία , τότε έχει 2ν υποσύνολα και είναι 2ν > ν.

2. Έχουμε δει ότι το σύνολο των θετικών ακεραίων (πληθικός αριθμός α) έχει σύνολο υποσυνόλων με πληθικό αριθμό ισο με 2α και ότι 2α = c > α.

3. Με ανάλογες σκέψεις μπορούμε να θεωρήσουμε ότι αν το απειροσύνολο Α έχει πληθικό αριθμό x τότε το σύνολο των υποσυνόλων του έχει πληθικό αριθμό ίσο με 2x  . Η πρότασή μας σημαίνει ότι
2x  > x    
για κάθε χ που είναι πληθικός αριθμός συνόλου.
Αυτό σημαίνει ότι από κάθε πληθικό αριθμό απειροσυνόλου υπάρχει μεγαλύτερος, δηλαδή από κάθε άπειρο υπάρχει μεγαλύτερο άπειρο. Θα υπάρχουν επομένως άπειρα κατά το πλήθος μεγέθη απείρου, που μπορούν να συγκριθούν ανά δύο και είναι άνισα ανά δύο. Το μικρότερο άπειρο είναι ο πληθάριθμος των  αριθμήσιμων συνόλων.

4. (Χωρίς απόδειξη)
Περαιτέρω  αν   2χ = Χ 
και ο πληθικός αριθμός ψ είναι  άπειρος και μικρότερος του χ,
και ο α ειναι ο πληθάριθμος των αριθμήσιμων  συνόλων
και ο Ν είναι ακέραιος θετικός αριθμός μεγαλύτερος του 1
τότε

2χ = Νχ = αχ ψχ = χχ = Χ      και   χ! = Χ
 

Επίσης  αν  ζ είναι πληθικός αριθμός πεπερασμένος ή άπειρος μεγαλύτερος του μηδέν και μικρότερος του άπειρου πληθικού αριθμού χ ισχύει

χζ = χ


Εκτός αυτού αν  χ πληθάριθμός απείρου συνόλου και ψ  πληθάριθμος απείρου  ή πεπερασμένου μη κενού συνόλου και είναι  ψ  ≤ χ   τότε  ισχύει

χ + ψ = χ       και      χ.ψ = χ

5. Δεν ξέρουμε αν μεταξύ του απείρου με πληθικό αριθμό χ και του απείρου με πληθικό αριθμό 2χ  , υπάρχει άπειρο με ενδιάμεσο πληθικό αριθμό. Ξέρουμε ότι η απάντηση στο πρόβλημα αυτό δεν μπορεί να συναχθεί με βάση τα αξιώματα που έχουν τεθεί στη συνολοθεωρία. Πρέπει όμως να παρατηρηθεί ότι το πρόβλημα του αν υπάρχουν τέτοια σύνολα και το πρόβλημα του αν η απάντηση σε αυτό το ερώτημα μπορεί να συναχθεί από ένα συγκεκριμένο σύνολο αξιωμάτων, αποτελούν δύο διακριτά μεταξύ τους προβλήματα.

6. Μια ειδική περίπτωση του τελευταίου ζητήματος είναι το λεγόμενο πρόβλημα του συνεχούς. Υπάρχει άραγε σύνολο με πληθικό αριθμό μεταξύ του α (του πληθάριθμου των αριθμήσιμων συνόλων) και του c που είναι ο πληθάριθμος του συνεχούς; Ο Κάντορ έδωσε μια όχι πλήρη απάντηση σε αυτό το ερώτημα. Δεν υπάρχει κλειστό σύνολο με πληθικό αριθμό μεταξύ του α και του c, είναι η απάντησή του1.



Σημειώσεις

1. Ένα σημειοσύνολο ή αριθμοσύνολο ονομάζεται κλειστό αν περιλαμβάνει όλα τα σημεία συσωρεύσεώς του. Σε οσοδήποτε μικρή περιοχή γύρω από  ένα σημείο συσωρεύσεως ενός συνόλου Α υπάρχουν άπειρα στοιχεία του Α (αυτός είναι ο ορισμός του σημείου συσωρεύσεως). Ένα σημείο συσωρεύσεως του συνόλου Α μπορεί να ανήκει ή να μην ανήκει στο Α και αυτό δίνει περιεχόμενο στον ορισμό του κλειστού συνόλου. Μερικά παραδείγματα:

Το σύνολο των πραγματικών αριθμών που είναι μεγαλύτεροι το 0 και δεν υπερβαίνουν το 1 δεν είναι κλειστό γιατι το 0 είναι σημείο συσωρεύσεως αυτού του συνόλου και δεν ανήκει σε αυτό.

Το σύνολο Β των ρητών αριθμών που δεν είναι μικρότεροι από το ο και δεν υπερβαίνουν το 1 δεν είναι κλειστό γιατι οι άρρητοι που είναι μεγαλύτεροι από το 0 και μικρότεροι από το 1 είναι σημεία συσωρεύσεως του Β και δεν άνήκουν σε αυτό.

Το σύνολο Γ των πραγματικών αριθμών που δεν είναι μικρότεροι από το ο και δεν υπερβαίνουν το 1 είναι κλειστό .


Ο Georg Cantor


Η θεωρία των υπερπεπερασμένων (απείρων) πληθικών αριθμών, αναπτύχθηκε από τον Γκέοργκ Κάντορ (Georg Cantor)
Ο Κάντορ γεννήθηκε στην πόλη του Αγίου Πέτρου της Ρωσίας στις 3 Μαρτίου 1845. (Το Αγία Πετρούπολη αποτελεί εσφαλμένη απόδοση στα ελληνικά του ονόματος της πόλης) .
Ο Κάντορ ήταν ο μεγαλύτερος από 6 παιδιά. Ο πατέρας του ήταν ένας πετυχημένος και κοσμοπολίτης Δανός έμπορος που αγαπούσε τις τέχνες, ενώ τον διέκρινε παράλληλα και έντονο θρησκευτικό συναίσθημα.  Η μητέρα του Μαρία Μπομ ήταν Ρωσίδα ουγγρικής καταγωγής γεννημένη  και πολιτογραφημένη στη Ρωσία, και προερχόταν από οικογένεια μουσικών που περιελάμβανε βιρτουόζους του βιολιού.
Ο Κάντορ έγινε Προτεστάντης όπως ο πατέρας του ενώ ο ίδιος διέκρινε στον εαυτό του κλίση προς τις καλές τέχνες που θεωρούσε ότι είχε κληρονομήσει από τη μητέρα του. Σχολείο πρωτοπήγε στην πόλη του Αγίου Πέτρου όπου είχε γεννηθεί  και έμεινε με τους γονείς του μέχρι την ηλικία των 11 ετών. Το 1856 εξ αιτίας προβλημάτων υγείας του πατέρα του η οικογένειά τους μετακόμισε νοτιότερα στο Βισμπάντεν της Γερμανίας . 
Έχει γραφεί ότι «στη Γερμανία έζησε το υπόλοιπο της ζωής του ενθυμούμενος τα παιδικά του χρόνια στη Ρωσία με νοσταλγία» και ότι «στη Γερμανία δεν αισθάνθηκε ποτέ άνετα» [I Grattan-Guinness, Towards a biography of Georg Cantor, Ann. of Sci. 27 (1971)]. Στη Γερμανία όμως σπούδασε, στη Γερμανία εξελίχθηκε επαγγελματικά και στη γερμανική γλώσσα δίδαξε και έγραψε.
Ασφαλώς είχε μάθει και τη ρωσική γλώσσα που ήταν η γλώσσα της μητέρας του και η γλώσσα της πόλης και του σχολείου των παιδικών του χρόνων που ασφαλώς θα τα θυμόταν με νοσταλγία. Όμως πρέπει σε ότι αφορά τα μαθηματικά να σημειώσουμε ότι αν και οι προβληματισμοί των Ρώσων μαθηματικών ήταν εξ ίσου πλούσιοι με των Γερμανών και οι εργασίες τους εξ ίσου σημαντικές, ο ίδιος την επιστήμη του τη διδάχτηκε στα γερμανικά και με τους γερμανικούς επιστημονικούς όρους και ορολογία ήταν εξοικειωμένος. Και τις μεθόδους και τους προβληματισμούς των Γερμανών μαθηματικών είχε γνωρίσει κατά τις σπουδές του. Από την άλλη πλευρά πρέπει να πούμε ότι στη Γερμανία δε μπόρεσε να  βρει την κατανόηση που χρειαζόταν. Αντίθετα βρήκε ισχυρή αντίθεση στις ιδέες του και σε σημαντικό βαθμό άρνηση αναγνώρισης της αξίας των εργασιών του.
Στις σπουδές του στη Ζυρίχη και στο Βερολίνο αρίστευσε και γρήγορα κατευθύνθηκε σε έρευνα επί θεμάτων σχετικών με τη θεωρία αριθμών, τις απροσδιόριστες εξισώσεις και τις τριγωνομετρικές σειρές. Μελέτησε τους άρρητους αριθμούς που τους όρισε με συγκλίνουσες ακολουθίες ρητών αριθμών αναπτύσσοντας δικό του τρόπο θεμελίωσης. Προσδιόρισε  τα συνεχή και τα μη συνεχή σύνολα, επεσήμανε χάσματα σε συνεχή σύνολα όπως το σύνολο των ρητών αριθμών  και την ανάγκη και τη μέθοδο εξάλειψης τους. Διατύπωσε και την απαίτηση πληρότητας των πραγματικών αριθμών. Και είχε παντού παρουσιάσει πρωτότυπη δουλειά και σημαντικά αποτελέσματα.
Το 1874 άρχισε να μελετά τους πληθικούς αριθμούς απειροσυνόλων, θέμα που αποτελούσε άγνωστο έδαφος για όλους τους μαθηματικούς . Γρήγορα έφθασε σε πολύ σημαντικά και εντυπωσιακά αποτελέσματα. Δημιούργησε νέα μαθηματικά που επηρέαζαν τη θεμελίωση και τον τρόπο παρουσίασης όλων των άλλων κλάδων. Και δημιούργησε την αριθμητική του απείρου. 
Αυτά όμως αποδείχθηκαν  για τη ζωή του όχι καλή τύχη. Οι ιδέες του έγιναν δεκτές από σημαντικούς μαθηματικούς της εποχής του (Βάιερστρας, Ντέντεκιντ και άλλοι) αλλά προκάλεσαν την αντίδραση άλλων μαθηματικών και κυρίως του Κρόνεκερ. Ο Κρόνεκερ εκμεταλλεύτηκε την επιρροή που ασκούσε ως καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Βερολίνου όχι μόνο για να εμποδίσει τον Κάντορ να κερδίσει μια αξιόλογη θέση εκεί  αλλά και για να μειώσει την αξία των εργασιών του χρησιμοποιώντας μη αποδεκτούς χαρακτηρισμούς, και για να δυσκολέψει την έκδοση των έργων του. Η πολεμική αυτή εναντίον του, ανάγκασε τον Κάντορ να εγκαταλείψει το Βερολίνο και να δεχθεί μια θέση στο Χάλλε σε εκπαιδευτικό ίδρυμα όχι πρώτης κατηγορίας. Το χειρότερο όμως ήταν ότι, ίσως γιατί ήταν αρκετά ευαίσθητος, υπόφερε και δεν μπορούσε να αντέξει ούτε την περιθωριοποίησή του, ούτε αυτήν την  πολεμική. Το 1884 έπαθε τον πρώτο νευρικό κλονισμό και από τότε είχε αρκετές υποτροπές. Είχε όμως και κάποιες αναγνωρίσεις.
Το 1904 του επιδόθηκε μετάλλιο από τη Βασιλική Μαθηματική Λέσχη του Λονδίνου και το 1905 από αντίστοιχη λέσχη του Εδιμβούργου. Το 1913 σε ηλικία 68 ετών αποσύρθηκε από την εκπαίδευση. Πέθανε κατά τη διάρκεια του Α΄παγκοσμίου πολέμου, στις 6 Ιανοαρίου 1918 στο Χάλλε σε κατάσταση μεγάλης φτώχειας. Ήταν 73 ετών.
Σήμερα η θεωρία των συνόλων  έχει περάσει σε κάθε κλάδο των μαθηματικών και είναι ιδιαίτερα σημαντική για την Ανάλυση και την Τοπολογία αναφέρει ο Χάουαρντ Ηβς. Οι φράσεις "Το έργο του έδωσε στα μαθηματικά τη σημερινή τους μορφή" και "Το έργο του ανακίνησε τα θεμέλια των μαθηματικών και επέδρασε αποφασιστικά στη διαμόρφωση της μαθηματικής σκέψεως και εκφράσεως" έχουν επίσης χρησιμοποιηθεί για την αξιολόγηση της επίδρασής του. Προσθέτω ότι το έργο του ήταν εντελώς πρωτότυπο και ότι η πρωτοτυπία χαρακτηρίζει και τις αποδεικτικές του μεθόδους (μερικές εμφανίζονται στο κείμενο αυτής της ανάρτησης).  Και ακόμη προσθέτω ότι οι σύγχρονες ιδέες για τη θεμελίωση των πραγματικών αριθμών από τις εργασίες του ξεκινούν, και ότι η αριθμητική του απείρου που εισήγαγε πηγαίνει πέρα από οτιδήποτε είχε φανταστεί προηγουμένως οποιοσδήποτε. 
Στο Χάλλε υπάρχει μνημείο του και στην Πόλη του Αγίου Πέτρου (Αγία Πετρούπολη), στο σπίτι που γεννήθηκε και πέρασε τα παιδικά του χρόνια έχει εντειχισθεί πλάκα που αναφέρεται σ' αυτόν. Και σε έναν  κρατήρα της σελήνης έχει δοθεί το όνομά του.



Βιβλιογραφία


1. Χαουαρντ Ηβς: "Μεγάλες Στιγμές των Μαθηματικών"

2. Κάντορ: "Θεωρία Υπερπερασμένων Αριθμών"

3. Kamke: "Theory of Sets"

4. Γιάννη Μοσχοβάκη: "Σημειώσεις Συνολοθεωρίας"

5. Spivak: "Λογισμός"

6. Tom Apostol: "Mathematical Analysis"

7. A. Kolmogorov - S. Fomin: "Introductory Real Analysis"




Ανδρέας Κουμερτάς