Οι άρρητοι αριθμοί: Η ανακάλυψη των αρρήτων αριθμών

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΙΣΤΟΛΟΓΙΟΥ
Κάνετε αριστερό κλικ εδώ

Σχετικές αναρτήσεις:

1. Οι άρρητοι αριθμοί: Ο ορισμός της ισότητας αριθμών στον Ευκλείδη
2. Άρρητοι αριθμοί: Τα είδη και οι ιδιότητες των αρρήτων αριθμών

3. Άρρητοι αριθμοί: Το πλήθος των αρρήτων αριθμών - Πληθικοί αριθμοί απειροσυνόλων

4. Από τους φυσικούς αριθμούς στο σώμα των πραγματικών αριθμών -Πλήρη σώματα

Περιεχόμενα

1.  Μεγέθη σύμμετρα μεταξύ τους και μεγέθη μη σύμμετρα μεταξύ τους - Ύπαρξη μη ρητών αριθμών
2.  Ιστορική αναδρομή

3.  Το μέγιστο κοινό μέτρο δύο μεγεθών σύμμετρων μεταξύ τους 

4.  Μεγέθη μη σύμμετρα μεταξύ τους (ασύμμετρα μεγέθη)

5.  Παραδείγματα μεγεθών ασυμμέτρων μεταξύ τους  

6.  Οι συνέπειες της ανακάλυψης

1. Μεγέθη σύμμετρα μεταξύ τους και μεγέθη μη σύμμετρα μεταξύ τους - Ύπαρξη μη ρητών αριθμών

Θα ξεκινήσουμε με την έννοια των συμμέτρων μεταξύ τους ομοειδών μεγεθών¹. Θα αναφερθούμε σε σύμμετρα μεταξύ τους ευθύγραμμα τμήματα. Θα μπορούσαμε να αναφερθούμε σε επιφάνειες ή σε όγκους, ή σε βάρη ή σε χρονικά διαστήματα ή ακόμη σε σύμμετρα μεταξύ τους ομοειδή μεγέθη (οι αρχαίοι τα έλεγαν και ομογενή),  χωρίς να προσδιορίσουμε σε ποιο συγκεκριμένο είδος ομοειδών  μεγεθών αναφερόμαστε. Μετά την ανακάλυψη των αρρήτων (ασυμμέτρων)  αριθμών μπορεί να γίνεται αναφορά και σε σύμμετρους μεταξύ τους αριθμούς. Νωρίτερα όλοι οι αριθμοί που ήξεραν ήταν σύμμετροι προς τον αριθμό 1 και σύμμετροι μεταξύ τους.

Ας θεωρήσουμε δύο ευθύγραμμα τμήματα το α και το β. Λέμε ότι το α είναι σύμμετρο προς το β αν υπάρχει ένα ευθύγραμμο τμήμα έστω το ε του οποίου και το α και το β είναι ακέραια πολλαπλάσια.

Στην περίπτωση αυτή υπάρχουν δύο (θετικοί) ακέραιοι, έστω οι μ και ν για τους οποίους ισχύει

α = μ.ε  και  β = ν.ε

Το ε λέγεται κοινό μέτρο των α και β. Τα α, β μπορεί να μετρηθούν σε αυτήν την  περίπτωση με ακέραιους αριθμούς αν το ε ληφθεί ως μονάδα μετρήσεως των μηκών. Το ε μετρά, δηλαδή διαιρεί ακριβώς και τα δύο τμήματα.  Για αυτόν το λόγο λέμε  ότι τα δύο τμήματα έχουν κοινό μέτρο ή συμμετρούνται και τα καλούμε σύμμετρα μεταξύ τους.

Αν τα α, β είναι σύμμετρα μεταξύ τους, δηλαδή αν  α = μ.ε    και    β = ν.ε   με  μ και ν θετικούς ακέραιους όπου ε ευθύγραμμο τμήμα, τότε:

1. Το ε είναι μικρότερο ή ίσο του α και μικρότερο ή ίσο του β.

2.  α/μ = β/ν = ε

3. α/β = μ/ν

και ο λόγος των δύο τμημάτων α και β είναι ρητός ή αλλιώς σύμμετρος αριθμός  Ρητός  αριθμός  σημαίνει αριθμός που μπορεί αποδοθεί ως λόγος ακεραίων αριθμών, δηλαδή ως κλάσμα. Οι ρητοί αριθμοί ονομάζονται και σύμμετροι ως αριθμοί σύμμετροι προς τον αριθμό 1 ή ακόμη ως λόγος μεγεθών σύμμετρων μεταξύ τους επειδή ισχύει όπως είδαμε ότι οι λόγοι σύμμετρων μεγεθών είναι ρητοί αριθμοί και επειδή ακόμη ισχύει ότι

4. Αν  ο λόγος δύο μεγεθών είναι  ρητός αριθμός τότε τα δύο τμήματα είναι σύμμετρα μεταξύ τους.
 Πράγματι.

Αν  α/β = μ/ν  τότε  α/μ = β/ν  (μ, ν είναι θετικοί ακέραιοι)

και αν ονομάσουμε ε τα ίσα τμήματα α/μ και β/ν θα έχουμε

α = μ.ε  και  β = ν.ε  με  μ και ν θετικούς ακέραιους.

Αυτό όμως σημαίνει ότι αν ύπάρχουν τμήματα μη σύμμετρα ή αλλιώς ασύμμετρα μεταξύ τους, τότε ο λόγος τους δεν είναι σύμμετρος  ή αλλιώς ρητός αριθμός. Θα είναι αριθμός άρρητος (μη ρητός) ή άλλιώς ασύμμετρος (μη σύμμετρος). Ισοδύναμα αν το ένα από τα δύο αυτά τμήματα ληφθεί ως μονάδα μέτρησης των μηκών τότε το μήκος του άλλου τμήματος μετρημένο με αυτήν τη μονάδα δεν θα ισούται με κάποιον  ρητό ή αλλιώς σύμμετρο αριθμό αλλά θα είναι αριθμός ασύμμετρος ή αλλιώς άρρητος.

2. Ιστορική αναδρομή

1. Κατά τον sir Thomas Heath,  ο αριθμός «ρίζα 2» ενδιέφερε τους Πυθαγόρειους γιατί ήταν το μήκος της διαγωνίου του τετραγώνου που το  μήκος της πλευράς του ήταν ίσο προς ένα. Αυτό ήταν εύκολο να διαπιστωθεί και χωρίς να αποδειχθεί το πυθαγόρειο θεώρημα, αφού απλά σημαίνει ότι  το τετράγωνο με πλευρά ίση προς τη διαγώνιο  ενός τετραγώνου έχει διπλάσιο εμβαδό από το αρχικό τετράγωνο. Έτσι  μεταξύ των  πρώτων αριθμών  που ελέγχθηκαν αν ήταν άρρητοι ήταν ο αριθμός τετραγωνική ρίζα του 2  και κατά τον  sir Thomas Heath η απόδειξη ότι ο αριθμός αυτός είναι άρρητος έγινε από τους Πυθαγόρειους  με τη μέθοδο της εις άτοπον απαγωγής με τη βοήθεια θεωρημάτων της στοιχειώδους αριθμητικής σχετικών με τη διαιρετότητα.   

Αν ο «ρίζα 2» ήταν ρητός θα ήταν ίσος με ένα ανάγωγο κλάσμα αφού κάθε ρητός αριθμός γράφεται σαν  κλάσμα και κάθε κλάσμα ισούται με ένα ανάγωγο κλάσμα θα είχαμε

  «ρίζα 2» = μ /ν  και επομένως  2 =μ² /ν²     ή       μ²  =2.ν²  .     (1)

 Άρα ο 2 θα είναι διαιρέτης του μ και μ=2λ      
Αντικαθιστούμε στην (1) και βρίσκουμε
2 λ²  = ν²

και άρα ο 2 είναι διαιρέτης και του ν και επομένως κοινός διαιρέτης του μ και του ν  και αυτό αντίκειται στις υποθέσεις μας. 
Πρόκειται αναφέρει ο sir Thomas Heath, για την απόδειξη που  παραθέτει ο Αριστοτέλης και προσθέτει οτι έχει επίσης περιληφθεί στο τέλος του δεκάτου βιβλίου των «Στοιχείων» του Ευκλείδη . 

 Εξ άλλου, σύμφωνα με μία από τις τρεις εκδοχές ενός θρύλου, ένας από τους παλαιότερους μαθητές του Πυθαγόρα ο Ίππασος ο Κροτωνιάτης που αναφερόταν  όμως ως ο Μεταπόντιος, έφυγε στη θάλασσα και πνίγηκε σε ένα ναυάγιο επειδή έκανε γνωστή έξω από τους κύκλους των Πυθαγορείων την ανακάλυψη άρρητων και επομένως ασύμμετρων προς τη μονάδα αριθμών.

Οι συχνές αναφορές για τη μυστικότητα γύρω από τις γνώσεις και τις δοξασίες των Πυθαγορείων πρέπει να αντανακλούν το γεγονός ότι τουλάχιστον αρχικά η διδασκαλία και η επικοινωνία στις σχολές τους ήταν αποκλειστικά προφορική.

Υπάρχει όμως και  άλλη εκδοχή για το πώς διαπιστώθηκε για πρώτη φορά το άρρητο ενός αριθμού. Σύμφωνα με αυτήν την εκδοχή, παρατηρήθηκε αρχικά το ότι η διαγώνιος και  η πλευρά τετραγώνου είναι μεταξύ τους ασύμμετρες και περίπου ταυτόχρονα το ίδιο παρατηρήθηκε για τη διαγώνιο και την πλευρά κανονικού πενταγώνου. Αν έτσι είναι, τότε οι άρρητοι αριθμοί ανακαλύφθηκαν κατά την αναζήτηση κοινού μέτρου αυτών των μηκών με τον τρόπο που στο κυρίως κείμενο περιγράφουμε. Προσωπικά θεωρώ πιθανότερο το να έγινε η ανακάλυψη με αυτόν τον τρόπο. Η αριθμητική απόδειξη φαίνεται απλή είναι όμως εξαιρετικά αφηρημένη. Αντιθέτως η προσπάθεια να βρεθεί κοινό μέτρο της πλευράς και της διαγωνίου τετραγώνου ή κανονικού πενταγώνου οδηγούσε  και μέσω συλλογισμών και μέσω της εποπτείας του σχήματος, στην πεποίθηση ότι κοινό μέτρο αυτών των τμημάτων δεν υπάρχει, και μάλιστα είχε οδηγήσει σε αυτήν την πεποίθηση πριν αυτό αποδειχθεί πλήρως θεωρητικά. Και αυτό παρακινούσε σε προσπάθεια θεωρητικής κατανόησης.

Όπως και να έχει, η συστηματική θεωρία των ασύμμετρων  ή αρρήτων αριθμών  βασίστηκε στη δυνατότητα να υπάρχουν μεγέθη «ασύμμετρα»  μεταξύ τους με την έννοια που περιγράφεται σε αυτήν εδώ την ανάρτηση.

Την ανακάλυψη των ασυμμέτρων (αρρήτων) ακολούθησε η θεωρία αναλογιών διατυπωμένη κατά τρόπο που να καλύπτει και την περίπτωση ρητών και την περίπτωση άρρητων λόγων, θεωρία που αναπτύχθηκε από τον Εύδοξο τον Κνίδιο (περίπου 395 -340 π.Χ.) έναν από τους πιο καινοτόμους Έλληνες μαθηματικούς.
Η συστηματική θεωρία των ασυμμέτρων ξεκίνησε με τον Εύδοξο και ολοκληρώθηκε από τον Έλληνα μαθηματικό Θεαίτητο τον Αθηναίο (415 – 370 π.Χ.) μαθητή και συνεχιστή του Θεοδώρου του Κυρηναίου.  Ο Θεαίτητος ανέπτυξε και την πλήρη θεωρία των κανονικών πολυέδρων. Ήταν ιδιαίτερα προσφιλής  στον Πλάτωνα που του αφιέρωσε διάλογο που φέρει το όνομα του. Πέθανε πολύ νέος.  Ο Θεόδωρος ο Κυρηναίος υπήρξε μαθητής του Πρωταγόρα και δάσκαλος του Πλάτωνα (στα μαθηματικά). Δανείζομαι από σημείωμα του Δημήτρη Καλογερά ηλεκτρολόγου μηχανικού Ε.Μ.Π., μια φράση που αφορά ένα από από τα κανονικά πολύεδρα (πλατωνικά στερεά ονομάζονται επίσης, μου επησημαίνει). Ιδού λοιπόν η φράση.
 "Το κανονικό εικοσάεδρο δεν εμφανίζεται στην φύση, π.χ. ως κρύσταλλος κάποιου ορυκτού, συνεπώς αποτελεί γνήσια ανακάλυψη του ανθρώπινου νου"

Ο Εύδοξος  ανέπτυξε επίσης τη μέθοδο της εξάντλησης, αυστηρή μαθηματικά μέθοδο με την οποία χωρίς χρήση ορίων είναι δυνατόν να βρίσκεται και να αποδεικνύεται ότι  εμβαδά και όγκοι σύνθετων γεωμετρικών σχημάτων έχουν συγκεκριμένη αριθμητική τιμή. Το ζητούμενο εμβαδό αν επρόκειτο για εμβαδό επιπέδων σχημάτων, αναγόταν σε άθροισμα εμβαδών ευθυγράμμων σχημάτων (τριγώνων για παράδειγμα), όλο και μικρότερων που κάλυπταν  (εξαντλούσαν) το αρχικό σχήμα χωρίς να άλληλοεπικαλύπτονται και αυτό καθιστά τη μέθοδο της εξάντλησης, μέθοδο λογισμού απειροστών προδρομική του απειροστικού λογισμού. Η απόδειξη για την ορθότητα της ευρισκομένης τιμής του  αθροίσματος γινόταν με τη χρήση διπλής εις άτοπον απαγωγής και ήταν αυστηρότατη. Η μέθοδος χρησιμοποιήθηκε ευρηματικά και συστηματικά από τον Αρχιμήδη και γι αυτό θεωρείται ότι τα έργα του Αρχιμήδη εισήγαγαν μεθόδους που οδήγησαν στην ανάπτυξη του απειροστικού ή αλλιώς ολοκληρωτικού λογισμού. 
Επίσης ο Εύδοξος εισήγαγε τα μαθηματικά στη μελέτη της αστρονομίας και υπήρξε νομοθέτης στην πατρίδα του την Κνίδο. Συνδέθηκε  και με τον Πλάτωνα. Υπήρξε μαθητής και δάσκαλος στη σχολή του.
Το δέκατο βιβλίο των «Στοιχείων»  του Ευκλείδη περιέχει τη θεωρία των ασυμμέτρων  και είναι το τελειότερο σε μορφή. Η θεωρία των κανονικών πολυέδρων περιλαμβάνεται στο δέκατο τρίτο βιβλίο. Η θεωρία των αναλογιών αποτελεί το περιεχόμενο του πέμπτου βιβλίου και ο ορισμός της ισότητας λόγων που περιλαμβάνεται σε αυτήν, θεωρείται ως ένα από τα αριστουργήματα της μαθηματικής γραμματείας. "Η μέθοδος της εξάντλησης" περιλαμβάνεται στο δωδέκατο βιβλίο των «Στοιχείων».

Πρέπει να παρατηρηθεί ότι ο Θεόδωρος ο Κυρηναίος, ο Θεαίτητος, ο Εύδοξος, ο Ευκλείδης, και ο  Αρχιμήδης δεν ήταν Πυθαγόρειοι. 

3. Το μέγιστο κοινό μέτρο δύο μεγεθών σύμμετρων μεταξύ τους

Οι αρχαίοι είχαν αρχικά την αντίληψη ότι δύο οποιαδήποτε ομοειδή μεγέθη, όπως δύο ευθύγραμμα τμήματα για παράδειγμα, είναι πάντα σύμμετρα μεταξύ τους και επομένως δεδομένων δύο τμημάτων  α, β μπορεί πάντοτε να βρεθεί ένα τμήμα ε που μετρά ακριβώς και το α και το β. Έτσι αναζήτησαν τρόπο να βρίσκουν σε κάθε περίπτωση ένα κοινό μέτρο δύο οποιωνδήποτε τμημάτων. Και επειδή αν τα α, β είναι ακέραια πολλαπλάσια ενός τμήματος ε είναι και ακέραια πολλαπλάσια και του ε/2, του ε/3, του ε/4 ... και ούτω καθεξής, αναζήτησαν τρόπο να προσδιορίσουν το μέγιστο κοινό μέτρο δύο οποιωνδήποτε τμημάτων.

Η μέθοδος που ανέπτυξαν μοιάζει με τον αλγόριθμο που χρησιμοποιούσαν για να βρουν τον μέγιστο κοινό διαιρέτη δύο ακεραίων.  

Αν ήταν  α > β και το β μετρούσε ακριβώς το α τότε το β ήταν το μέγιστο κοινό μέτρο των α και β.  

Αν ήταν  α > β και το β δεν μετρούσε ακριβώς το α τότε  "διαιρούσαν" το α δια β και εύρισκαν το υπόλοιπο γ. Αυτό σημαίνει ότι εύρισκαν το μέγιστο ακέραιο κ με τον οποίο αν πολλαπλασιάσουν το τμήμα β δεν θα υπερβούν το τμήμα α και αφαιρούσαν από το α το τμήμα κβ. Το  υπόλοιπο ήταν το γ. Οι αρχαίοι αυτήν τη διαδικασία την ονόμαζαν ανθυφαίρεση.

Το αξίωμα του Ευδόξου εξασφαλίζει ότι παίρνοντας  διαδοχικά τα τμήματα β, 2β, 3β, 4β,  ....  θα βρούμε τμήμα  λ.β > α με ρβ < α  για κάθε θετικό ακέραιο ρ < λ . Το τμήμα (λ-1)β είναι το μέγιστο πολλαπλάσιο του β που δεν υπερβαίνει το α¹

Ανθυφαιρώντας το β από το α θα είχαμε:

1. α = κ.β + γ  με κ θετικό ακέραιο, γ < β  και γ < α/2

    [ Το γ είναι μικρότερο του κ.β    και     (κ.β + γ )=α ]

2. Αν επιπλέον τα α, β είναι σύμμετρα μεταξύ τους δηλαδή  αν

    α= μ.ε   και    β = ν.ε    με μ, ν ακέραιους ε ευθύγραμμο τμήμα τότε

   

    γ = (μ - κν).ε ,     ε ≤ γ<β ,       ε ≤ γ<α/2

Δηλαδή  αν το ε είναι κοινό μέτρο των α και  β τότε μετρά ακριβώς και το υπόλοιπο γ και είναι επομένως κοινό μέτρο των β, γ και είναι   ε ≤ γ<β    και    ε<α/2

Ισχύει προφανώς και ότι:

Αν κάποιο τμήμα ε είναι κοινό μέτρο των β, γ τότε είναι  και κοινό μέτρο των α, β.

Φυσικά αυτή η διαδικασία μπορεί να συνεχισθεί εξετάζοντας αν το γ μετρά το β. Αν το μετρά είναι το μέγιστο κοινό μέτρο των β, γ  και επομένως το μέγιστο κοινό μέτρο των α, β. Αν δεν το μετρά, τότε ανθυφαιρούμε το γ από το β και βρίσκουμε ένα τμήμα δ και συνεχίζουμε εργαζόμενοι με τα γ, δ. Το μέγιστο κοινό μέτρο των  γ, δ έστω το ε  θα  είναι και μέγιστο κοινό μέτρο των α, β και θα είναι

ε ≤ δ<γ/2<β/2     και   ε ≤ δ <γ/2<α/2² .

Αν αυτή η διαδικασία των ανθυφαιρέσεων συνεχιζόταν άκαρπα 2Ν φορές και μόνον κατά την επόμενη ανθυφαίρεση βρίσκαμε τμήμα έστω το ε΄ που μετρούσε ακριβώς το αμέσως προηγούμενό του, τότε το ε΄  θα ήταν το μέγιστο κοινό μέτρο των α, β και θα ήταν  

ε΄ <β/2^N  και    ε΄<α/2^N+1  .

Εδώ ας σταθούμε λίγο. Πόσο μακρυά μπορεί να πάει αυτή η διαδικασία;

Ας υποθέσουμε ότι τα α, β είναι σύμμετρα μεταξύ τους και είναι

α = μ.ε   και    β = ν.ε    με μ, ν ακέραιους ε ευθύγραμμο τμήμα  και  μ>ν.

Στην περίπτωση αυτή:

Αν ο ν διαιρεί τον μ,  τότε ο ν είναι ο Μ.Κ.Δ.(μέγιστος κοινός διαιρέτης)  των μ, ν  και το   β = νε είναι το μέγιστο κοινό μέτρο των α, β.

Αν ο ν δεν διαιρεί τον μ τότε η ανθυφαίρεση του β από το α θα μας δώσει όπως έχει ήδη αναφερθεί το

γ = (μ - κν)ε    

όπου ο κ είναι το πηλίκο της διαίρεσης του μ δια ν και ο (μ-κ.ν) είναι το υπόλοιπο  της ίδιας διαίρεσης.

Κάθε κοινός διαιρέτης των μ, ν διαιρεί και τον (μ - κ.ν) και κάθε κοινός διαιρέτης των ν, (μ - κ.ν) διαιρεί και τον μ. Οι  αριθμοί του ζεύγους [μ , ν] και οι αριθμοί του ζεύγους [ν , (μ -κ.ν)] έχουν τους ίδιους κοινούς διαιρέτες και επομένως τον ίδιο Μ.Κ.Δ.

Συνεχίζοντας, θα βρίσκουμε με  τις διαδοχικές ανθυφαιρέσεις ευθύγραμμα τμήματα της μορφής

υ.ε ,

όπου το πρώτο  υπόλοιπο υ₁= (μ - κ.ν) είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης μ διά ν,
το δεύτερο υπόλοιπο υ₂ είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του ν  διά  υ₁ ,  
το τρίτο  υπόλοιπο υ₃  θα είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης  του  υ₁ διά   υ₂ και ούτω καθεξής.

Οι αριθμοί  κάθε ζεύγους  διαδοχικών υπολοίπων έχουν τους ίδιους κοινούς διαιρέτες και επομένως τον ίδιο Μ.Κ.Δ.  με τους αριθμούς μ και ν. 

Η διαδικασία θα τελειώσει όταν βρούμε κάποιο υπόλοιπο, έστω το δ, που θα διαιρεί το αμέσως προηγούμενό του και θα είναι επομένως ο  Μ.Κ.Δ. των δύο τελευταίων υπολοίπων. 

Σύμφωνα όμως με όσα έχουμε πει ο δ θα είναι επίσης ο Μ.Κ.Δ. των μ, ν  και το τμήμα 

ε΄ = δ.ε

θα είναι το μέγιστο κοινό μέτρο των αρχικών  τμημάτων α και β.

Η όλη διαδικασία είναι πεπερασμένη αφού το πρώτο υπόλοιπο είναι μικρότερο του ν και κάθε υπόλοιπο είναι θετικό και μικρότερο κατά ακέραιο θετικό αριθμό από το αμέσως προηγούμενό του. Για αυτό, σε ν το πολύ διαιρέσεις θα έχουμε φτάσει σε υπόλοιπο 1 ή θα έχουμε φτάσει προηγουμένως σε υπόλοιπο που διαιρεί το αμέσως προηγούμενό του. Στην πράξη αυτή η διαδικασία θα ολοκληρωθεί με πολύ λιγότερες διαιρέσεις. Ο αριθμός των απαιτουμένων διαιρέσεων δεν υπερβαίνει τον ελάχιστο ακέραιο εκθέτη του 2, έστω τον ρ, για τον οποίο ισχύει  2^ρ > ν .^{( 2)}


Σημειώσεις

1. Η επίκληση  του αξιώματος του Ευδόξου είναι απαραίτητη για τη γενική περίπτωση δύο αυθαίρετων, δύο τυχαίων τμημάτων. Σε συγκεκριμένες περιπτώσεις, σαν αυτές που είχαν πρωτοαπασχολήσει τους μαθηματικούς (διαγώνιος και πλευρά τετραγώνου ή κανονικού πενταγώνου),  ήταν προφανές και το "πηλίκο" και το "υπόλοιπο" της ανθυφαίρεσης.

2. Εχοντας βρει το μέγιστο κοινό μέτρο ε δύο ευθυγράμμων τμημάτων α και β θα έχουμε

 α = με                β = νε,          α/ β = μ/ ν       (1)    

με μ,ν  θετικούς ακέραιους σχετικώς πρώτους μεταξύ τους .

Τώρα τα τμήματα   ε,  ε/2,  ε/3,  ........ ε/Ν,   ε/Ν+1,  ......
είναι προφανώς κοινά μέτρα των  τμημάτων α, β.  
Μάλιστα αυτά είναι όλα τα κοινά μέτρα των α,β. 
Γιατί αν χ είναι ένα κοινό μέτρο των α και β μικρότερο του ε , θα έχουμε

α = μ΄.χ        και        β = ν΄.χ  

Και αν  ο  θετικός ακέραιος δ  είναι ο Μ.Κ.Δ των μ΄, ν΄  θα ισχύει 
μ΄= δ.κ     και    ν΄= δ.λ με  τους   κ,λ    σχετικώς πρώτους,   και θα ισχύει ακόμη

α  = (κ.δ).χ  = κ.(δ.χ)         β = (λ.δ).χ = λ.(δ.χ)     α/ β = κ/ λ    (2)  

με  κ, λ     σχετικώς πρώτους μεταξύ τους.
Από τις (1) και (2) προκύπτει    (κ / λ)  =  (μ /ν )
Και επειδή τα δυό κλάσματα έχουν θετικούς όρους και είναι ανάγωγα, προκύπτει ότι
κ = μ,   λ = ν,   και     ε = δ.χ  ή ισοδύναμα

χ = ε /δ        με δ θετικό ακέραιο

4. Μεγέθη μη σύμμετρα μεταξύ τους (ασύμμετρα μεταξύ τους μεγέθη)

Σύμφωνα με τα παραπάνω,
αν δύο τμήματα είναι σύμμετρα μεταξύ τους, τότε  η διαδικασία εύρεσης του μέγιστου κοινού τους μέτρου περατώνεται με  πεπερασμένο αριθμό ανθυφαιρέσεων. 

Συμπέρασμα
"Δύο ευθύγραμμα τμήματα  δεν έχουν μεταξύ τους κοινό μέτρο και επομένως είναι μεταξύ τους ασύμμετρα, αν η διαδικασία  των διαδοχικών ανθυφαιρέσεων που ακολουθούμε για την εύρεση του μέγιστου κοινού τους μέτρου δίνει πάντοτε υπόλοιπο που δεν μετρά (δεν διαιρεί ακριβώς) το αμέσως προηγούμενό του υπόλοιπο".

Το  Συμπέρασμα αποτελεί τη δεύτερη πρόταση του δέκατου βιβλίου των "Στοιχείων" του Ευκλείδη
Η πρώτη πρόταση του δεκάτου βιβλίου  χρησιμοποείται για να αποδειχθεί η δεύτερη και μπορεί να διατυπωθεί ως εξής.
Αν από ένα μέγεθος αφαιρεθεί τμήμα μεγαλύτερο από το μισό του και το ίδιο γίνει και στο υπόλοιπο και η διαδικασία επαναληφθεί κατά τον ίδιο τρόπο κατάλληλα μεγάλο αριθμό φορών, το απομένον μέρος  μπορεί να γίνει μικρότερο από οποιοδήποτε (ομοειδές) μέγεθος.
Πρόκειται για πρόταση ισοδύναμη με το αξίωμα του Ευδόξου.
Στον Ευκλείδη η εύρεση του μέγιστου κοινού μέτρου δύο σύμμετρων μεταξύ τους μεγεθών δεν συνδέεται ρητά με τη διαδικασία εύρεσης του μέγιστου κοινού διαιρέτη δύο ακεραίων και η πρόταση
"η διαδικασία εύρεσης του μέγιστου κοινού μέτρου δύο σύμμετρων μεταξύ τους μεγεθών ολοκληρώνεται με πεπερασμένο αριθμό ανθυφαιρέσεων"
παρατίθεται τρίτη και  αποδεικνύεται με βάση την παραπάνω δεύτερη πρόταση με τη μέθοδο της εις άτοπον απαγωγής με χρήση και του αξιώματος του Ευδόξου. Παραθέτω μια παράφραση αυτής της απόδειξης
[Μετά από Ν+1 ανθυφαιρέσεις θα έφθαναν σε δύο τμήματα έστω τα α΄, β΄  (α΄>β΄) εκ των οποίων το μικρότερο θα είναι μικρότερο του β/2^N (α, β είναι τα αρχικά τμήματα και α>β).
Και αν τα αρχικά τμήματα α, β είχαν κοινό μέτρο έστω το ε, τότε αυτό το ε θα ήταν κοινό μέτρο και των α΄, β΄ και θα είχαμε

ε <β΄<β/2^N.

Και επειδή στην περίπτωσή που οι ενθυφαιρέσεις  συνεχίζονται ατελεύτητα χωρίς να βρίσκουμε υπόλοιπο που να διαιρεί το αμέσως προηγούμενό του ο θετικός ακέραιος Ν μπορεί  να γίνεται οσοδήποτε μεγάλος θα είχαμε

ε <β/2^N  για κάθε ακέραιο θετικό Ν ή αλλιώς   2^N.ε<β    για κάθε ακέραιο θετικό Ν  

Είναι όμως   Ν<2^N   και για αυτό θα ήταν  Ν.ε< 2^N.ε <β  για κάθε Ν όπερ άτοπον αφού 

κατά το αξίωμα του Ευδόξου το Ν.ε υπερβαίνει οποιοδήποτε ευθύγραμμο τμήμα για κατάλληλα μεγάλο Ν.]


 

5. Παραδείγματα μεγεθών ασυμμέτρων μεταξύ τους 

Ο Ευκλείδης είχεοδηγηθεί στη διατύπωση της δεύτερης πρότασης του 10ου βιβλίου των στοιχείων του  επειδή στην περίπτωση που αναζητούσαν  το μέγιστο κοινό μέτρο της διαγωνίου και της πλευράς ενός τετραγώνου ή της διαγωνίου και της πλευράς ενός κανονικού πενταγώνου αλλά και σε άλλες περιπτώσεις είχε ήδη διαπιστωθεί, ότι οι διαδοχικές ανθυφαιρέσεις έδιναν πάντοτε υπόλοιπο που δεν διαιρούσε το πρηγούμενο υπόλοιπο. 

Το πώς είχε διαπιστωθεί θα το δούμε σε μερικά παραδείγματα.

Ι. Στο τετράγωνο του σχήματος είναι: 

1. ΑΒ = ΒΓ = β  η πλευρά του τετραγώνου  

2. ΑΓ =  δ  η διαγώνιος του. 

3. Το Η  επί της ΒΓ και το Ζ επί της διαγωνίου ΑΓ. 

4. Η ΑΗ  διχοτόμος της γωνίας ΒΑΓ και η ΖΗ  κάθετος επί την ΑΓ.

5. AZ = AB = β

6. ΓΖ = (ΑΓ - ΑΖ)  = (δ - β) 

7. ΓΖ = ΖΗ = ΒΗ = (δ - β)

Επίσης:

1.  Από το τρίγωνο ΑΓΒ  έχω β<δ<2.β και επομένως η πλευρά β δεν διαιρεί ακριβώς τη διαγώνιο δ.

2. Αν οι δ, β έχουν κοινό μέτρο έστώ ε και είναι    δ = μ.ε    

    και    β = ν.ε     με   μ > ν,  

    θα είναι  ΖΓ = (δ - β) = (μ - ν).ε   

    Το ε διαιρεί επομένως  ακριβώς και το ΖΓ   και συνεπώς ισχύει   

    ε < ΖΓ < β/2 

3. Θα είναι επίσης    ΓΗ = (ΓΒ - ΗΒ) = [ ν - (μ-ν)].ε   και επομένως  το ε διαιρεί ακριβώς και το ΓΗ

Το  ε  θα είναι επομένως  κοινό μέτρο της διαγωνίου και της πλευράς ενός νέου τετραγώνου ΓΖΗΘ     του οποίου η πλευρά είναι μικρότερη του β/2

Μέχρι εδώ είδαμε ότι αν η διαγώνιος και η πλευρά του τετραγώνου είχαν κοινό μέτρο, αυτό το κοινό μέτρο θα ήταν επίσης κοινό μέτρο της διαγωνίου και της πλευράς ενός  άλλου τετραγώνου πλευράς μικρότερης του μισού της πλευράς του πρώτου τετραγώνου και η διαδικασία αυτή μπορεί να  συνεχίζεται απαράλλαχτα. Δεν μπορεί επομένως να βρεθεί σε κάποια ανθυφαίρεση υπόλοιπο ίσο με μηδέν.  

Επομένως  η διαγώνιος και η πλευρά τετραγώνου είναι τμήματα ασύμμετρα μεταξύ τους και ο λόγος τους είναι ασύμμετρος ή αλλιώς άρρητος αριθμός.

ΙΙ. Ας πάμε τώρα στο κανονικό πεντάγωνο  ΑΒΓΔΕ. Είναι

1. ΑΒ = ΑΕ = α, πλευρές του πενταγώνου.

2. ΕΒ =δ, διαγώνιος του πενταγώνου 

3. ΒΖ = ΑΒ =α  και  ΕΖ = (δ - α) .

4. γωνία ΕΑΒ = 108 μοίρες, γωνία ΑΒΖ =36 μοίρες, γωνία ΑΖΕ = 108 μοίρες

    γωνία ΕΑΖ = 36 μοίρες,  γωνία ΖΕΑ =36 μοίρες

5. ΑΗ = ΑΖ = ΕΖ = (δ - α)  και  (δ-α)=ΑΖ<ΑΕ=α   

6. Γωνία ΕΗΖ = γωνία ΕΖΑ = 108 μοίρες

7. Γωνία ΒΕΑ  = γωνία ΕΑΖ = γωνία ΕΖΗ =36 μοίρες

8. Γωνία ΒΖΑ = γωνία ΖΑΒ = γωνία ΑΖΗ = 72 μοίρες

Έχουμε:

1. Τρίγωνο ΑΕΒ: Η ΑΒ =α δεν διαιρεί ακριβώς την διαγώνιο ΕΒ = δ αφου είναι

    α<δ<2.α

2. Αν οι δ, α έχουν κοινό μέτρο έστώ ε και είναι    δ = μ.ε    

    και    β = ν.ε     με   μ > ν,  

    θα είναι  ΖΕ = (δ - α) = (μ - ν).ε   

    Το ε  διαιρεί επομένως  ακριβώς και το ΖΕ   και το  ε  θα είναι

    επομένως κοινό μέτρο της της πλευράς ΑΕ =α και της (δ-α)=ΖΕ=ΖΑ

   Τρίγωνο ΖΕΑ: Η ΖΕ δεν διαιρεί την ΑΕ αφού είναι ΖΕ < ΑΕ < 2.ΖΕ

3. Το ε θα είναι επίσης κοινό μέτρο και των ΕΖ , ΕΗ=(ΕΑ-ΕΖ)

    και ΕΗ δεν διαιρεί ακριβώς την ΕΖ.

4. Η διαδικασία μπορεί να συνεχισθεί απεριόριστα. 

    Τα υπόλοιπα των ανθυφαιρέσεων θα είναι πάντοτε

    πλευρές τριγώνων που έχουν ίσες γωνίες με το αρχικό

    και ποτέ ένα υπόλοιπο δεν θα διαιρεί το προηγούμενο

    του αφού τα διαδοχικά υπόλοιπα είναι οι άνισες πλευρές 

    ενός τριγώνου ισογώνιου με το ΑΕΒ.

Αυτό σημαίνει ότι

η διαγώνιος και η πλευρά ενός κανονικού πενταγώνου είναι μεταξύ τους ασύμμετρα μεγέθη και ο λόγος τους είναι αριθμός ασύμμετρος ή αλλιώς άρρητος.

ΙΙΙ. Στην  περίπτωση κανονικού δεκαγώνου, αν Α΄Β΄ είναι μια πλευρά του και Ο το κέντρο του περιγεγραμμένου του κύκλου, τότε το τρίγωνο ΟΑ΄Β΄ έχει ίσες γωνίες με το τρίγωνο ΒΑΖ του

παραπάνω σχήματος

και επομένως

η πλευρά Α΄Β΄ =α  του όποιου κανονικού δεκαγώνου και η ακτίνα  ΟΑ΄= R του περιγεγραμμένου του κύκλου είναι μεταξύ τους ασύμμετρες και ο λόγος τους είναι άρρητος αριθμός και ίσος προς τον  λόγο πλευράς και διαγωνίου κανονικού πενταγώνου.

IV. Η πλευρά κανονικού δεκαγώνου και η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου, έχουν τον μεταξύ τους λόγο ίσο προς τον λόγο της χρυσής τομής. Επομένως ο λόγος αυτός είναι αριθμός ασύμμετρος. 

Συνεπώς

αν ένα ευθύγραμμο τμήμα  διαιρεθεί σε δύο μέρη ούτως ώστε το μεγαλύτερο από τα δύο μέρη να είναι μέσο ανάλογο του όλου και του υπολοίπου, τότε καθένα από τα δύο μέρη είναι ασύμμετρο προς το άλλο και ασύμμετρο προς το αρχικό τμήμα . 

Αν α το ευθύγραμμο τμήμα, και β μέρος του ούτως ώστε β/α =(α-β)/β τότε

α/2<β<α και β² +α.β- α² = 0.

Επομένως ο λόγος β/α είναι ρίζα της εξίσωσης χ² + χ -1 = 0 ενώ ο λόγος α/β ρίζα της εξίσωσης  χ² - χ -1 = 0. Οι λόγοι (α-β)/β και β/(α-β) είναι αντιστοίχως ίσοι προς αυτούς τους λόγους.   

Οι ρίζες των δύο εξισώσεων δεν είναι ρητοί αριθμοί και αυτό μας δίνει έναν ακόμη τρόπο (σημερινό τρόπο) να συμπεράνουμε την τελευταία υπογραμμισμένη πρόταση¹.

V. Θα αναφερθούμε αμέσως σε δύο από τους πιο σημαντικούς για τα μαθηματικά αριθμούς,  για τον e και τον π. Είναι και οι δύο άρρητοι. Οι αρχαίοι τον e που ορίζεται ως όριο ακολουθίας ή ως όριο αθρoίσματος σειράς δεν τον είχαν ανακαλύψει και δεν τον ήξεραν. Με χρήση σημερινών μέσων η απόδειξη ότι είναι άρρητος είναι στοιχειώδης και απλή. Τον π, το λόγο της περιφέρειας κάθε κύκλου προς τη διάμετρο του, τον είχαν ανακαλύψει και τον είχαν καθορίσει αυστηρά. Δεν είχαν όμως αποδείξει ότι είναι άρρητος. Αυτό αποδείχθηκε για πρώτη φορά το 1761 από τον Ελβετό μαθηματικό, φυσικό και φιλόσοφο Johann Lambert. Η απόδειξή στηρίχτηκε στην ανάπτυξη της εφ(χ) σε συνεχές κλάσμα με άπειρους όρους. Ο  Lambert απέδειξε ότι το συγκεκριμένο συνεχές κλάσμα παριστάνει άρρητο αριθμό για κάθε ρητή τιμή του χ (χ σε ακτίνια), και παρατήρησε ότι εφ(π/4) = 1. Μια στοιχειώδης και σχετικά απλή απόδειξη του ότι ο π  είναι άρρητος δόθηκε το 1946 από τον Καναδοαμερικανό μαθηματικό Ivan  Niven. Ο Niven πέθανε το 1999. Η απόδειξη όμως αυτή΄, όπως και οι άλλες αποδείξεις που έχουν δοθεί,  δεν στηρίζεται  στον ορισμό του π και βασίζεται στη χρήση προχωρημένων μαθηματικών σχέσεων και εργαλείων. Επιπλέον είναι δύσκολο να δεί κάποιος το πώς μπορεί να οδηγηθεί σε αυτόν τον συγκεκριμένο  δρόμο που οδηγεί στην απόδειξη. Η απόδειξη του Niven παρατίθεται στην ανάρτηση για τα είδη και τις ιδιότητες των αρρήτων αριθμών.

VI. Στην αρχή του δέκατου βιβλίου των "Στοιχείων" του Ευκλείδη, αφού παρατεθούν οι ορισμοί των  "σύμμετρων" και των "ασύμμετρων" μεταξύ τους ευθυγράμμων τμημάτων, αναφέρεται ότι αποδεικνύεται ότι αν δοθεί ένα ευθύγραμμο τμήμα α, υπάρχουν άπειρα ευθύγραμμα τμήματα διαφορετικού μήκους το κάθε ένα, τα οποία είναι σύμμετρα προς το α, και επίσης άπειρα ευθύγραμμα τμήματα που το κάθε ένα από αυτά είναι ασύμμετρο προς το α. Η απόδειξη παρατίθεται στην πρόταση 10  του ίδιου βιβλίου. 

Ο λόγος τώρα του κάθε ενός από τα τελευταία ευθύγραμμα τμήματα προς το α είναι ένας διαφορετικός κάθε φορά ασύμμετρος ή αλλιώς άρρητος αριθμός. Ήξεραν επομένως οι αρχαίοι ότι υπάρχουν άπειροι άρρητοι αριθμοί και επομένως ένοιωθαν υποχρεωμένοι να αναπτύξουν τρόπους χειρισμού των αρρήτων. Το σχετικό ζητήμα αναφέρεται στην ανάρτηση "Ο ορισμός της ισότητας λόγων στον Ευκλείδη". Με τον ορισμό επιτεύχθηκε άριστος χειρισμόςτων ασυμμέτρων μεταξύ τους ομοειδών μεγεθών και των ασυμμέτρων ή αλλιώς αρρήτων αριθμών. Η διατύπωση του ορισμού αυτού αποτελεί μια μεγάλη στιγμή των μαθηματικών. 

Στην ανάρτηση για τα είδη και τις ιδιότητες των αρρήτων αριθμών αποδεικνύεται με περισσότερους από έναν τρόπους ότι υπάρχουν άπειροι άρρητοι αριθμοί και στην ανάρτηση που αναφέρεται στο πλήθος τους αποδεικνύεται ότι όλοι σχεδόν οι (πραγματικοί) αριθμοί είναι άρρητοι και εξηγείται και το τι σημαίνει το "όλοι σχεδόν" αυτής της πρότασης

Σημειώσεις

1. Αν το ανάγωγο κλάσμα μ/ν είναι ρίζα μιας πολυωνυμικής εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές τότε ο αριθμός ν είναι διαιρέτης του συντελεστή του μεγιστοβάθμιου πολυωνυμικού όρου και ο αριθμός μ διαιρέτης του σταθερού όρου. Οι μοναδικοί ρητοί που θα ήταν επομένως κατ' αρχήν δυνατό να είναι ρίζες της εξίσωσης   χ² + χ -1 = 0  ή  της εξίσωσης  χ² - χ -1 = 0 είναι ο 1 και ο -1. Εύκολα όμως διαπιστώνουμε ότι για χ=1 και για χ= -1, τα πρώτα μέλη των δύο εξισώσεων δεν μηδενίζονται. Συμπεραίνουμε έτσι ότι οι δύο εξισώσεις δεν έχουν ρητές λύσεις ή αλλιώς ότι οι λύσεις των δύο εξισώσεων είναι αριθμοί άρρητοι.

6. Οι συνέπειες της ανακάλυψης

    

Όταν οι αρχαίοι μαθηματικοί κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι υπάρχουν ευθύγραμμα τμήματα μη σύμμετρα μεταξύ τους αναστατώθηκαν.
Αν η διαγώνιος δ ενός τετραγώνου  δεν είναι σύμμετρη προς την πλευρά  α του ίδιου τετραγώνου, τότε ο λόγος δ/α δεν  είναι ρητός αριθμός, και αν ως μονάδα μετρήσεως των μηκών πάρουμε το μήκος της πλευράς του τετραγώνου τότε ο λόγος δ/α ισούται αριθμητικά με αριθμό προς τον οποίο  δεν είναι ίσος κανείς ρητός αριθμός. Αν όμως είναι α=1 ο αριθμός  αυτός που δεν είναι ρητός θα είναι ο ίσος με το  μέτρο της διαγωνίου. Οι αριθμοί που ήξεραν, οι ρητοί αριθμοί, δεν  ήταν αρκετοί για να μετρηθούν όλα τα μήκη. 
Αυτό αναστάτωσε περισσότερο τους Πυθαγόρειους που πίστευαν ότι τα πάντα εκφράζονται με αριθμούς. Και όταν έλεγαν αριθμούς εννοούσαν ακέραιους θετικούς αριθμούς μιας και οι ρητοί αριθμοί εκφράζονται μέσω των ακεραίων.

Και δεν ήταν μόνο αυτό. Για πολλά θεωρήματα είχαν δώσει αποδείξεις που στηρίζονταν στην εσφαλμένη υπόθεση ότι δύο ομοειδή μεγέθη, δύο ευθύγραμμα τμήματα για παράδειγμα, ήταν πάντοτε σύμμετρα μεταξύ τους. 
Για παράδειγμα για να αποδείξουν ότι τα εμβαδά δύο τριγώνων με  ένα ύψος του ενός ίσο με ένα ύψος του άλλου έχουν λόγο εμβαδών ίσο με το λόγο των πλευρών α και  α΄ που είναι κάθετες προς τα ίσα ύψη, υπέθεταν ότι οι δύο αυτές πλευρές είναι σύμμετρες μεταξύ τους δηλαδή ότι

α = μ.ε   και    α΄= μ΄.ε  για κάποιους ακέραιους θετικούς μ και μ΄    και επομένως ότι

α / μ   =  α΄/μ΄  = ε   και

α/α΄= μ/μ΄.

Έτσι διαιρούσαν την α σε μ ίσα τμήματα και ένωναν την απέναντι κορυφή με τα σημεία που διαιρούσαν την α στα μ ίσα τμήματα. Σχημάτιζαν έτσι μ τρίγωνα, καθένα με βάση  ίση προς α/μ= ε και κοινό ύψος  και επομένως ισοεμβαδικά. Αν Ε το εμβαδό κάθε ενός από τα μ αυτά τρίγωνα τότε το εμβαδό του πρώτου αρχικού τριγώνου είναι ίσο με μ.Ε .
Αναλόγως έβρισκαν ότι  το εμβαδό του δευτέρου αρχικού τριγώνου είναι μ΄.Ε  και επομένως ο λόγος των εμβαδών των αρχικών τριγώνων είναι ίσος προς μ.Ε/μ΄.Ε = μ/μ΄ = α/α΄
Η  "απόδειξη" αυτή αποδεικνυόταν τώρα λάθος ή ελλιπής αφού οι πλευρές α και α΄ μπορούσε να μην είναι σύμμετρες μεταξύ τους και έτσι  τα μαθηματικά έμεναν μετέωρα.
Και εδημιουργούντο ερωτήματα. Ίσχυαν γενικά τα θεωρήματα που πίστευαν  ότι είχαν "αποδείξει"  και τώρα ανακάλυπταν ότι η "απόδειξη" που είχαν δώσει στηριζόταν  σε λάθος υπόθεση ; Και αν ίσχυαν πώς θα το αποδείκνυαν;

Μπορεί να δημιουργήθηκε αναστάτωση με την ανακάλυψη ότι υπάρχουν και αριθμοί που δεν είναι ρητοί. Όμως με την ανακάλυψη και των αρρήτων αριθμών  το αριθμητικό σύστημα συμπληρώθηκε και δημιουργήθηκε πλήρες σύστημα αριθμών κατάλληλο για τη μέτρηση κάθε μεγέθους.  "Η θεμελιακή διαίσθηση για τους πραγματικούς αριθμούς", γράφει ο επί χρόνια καθηγητής στο πανεπιστήμιο της Καλιφόρνιας (UCLA) Γιάννης Μοσχοβάκης, "είναι ότι αφ' ενός η αριθμητική τους έχει  τους ίδιους νόμους με την αριθμητική των ρητών αριθμών, αφ' ετέρου οι πραγματικοί αριθμοί (ρητοί και άρρητοι αριθμοί ως ένα σύνολο), βρίσκονται σε ένα προς ένα αντιστοιχία με τα σημεία της "πλήρους" γεωμετρικής ευθείας έτσι που να μην υπάρχουν "κενά" ή "χάσματα" ανάμεσά τους". Επομένως με τους πραγματικούς αριθμούς μπορεί πλέον να μετρηθεί κάθε μήκος και κάθε μέγεθος.
Αυτό επιτεύχθηκε με την ανακάλυψη των αρρήτων και εκπληρώθηκε έτσι μια απολύτως αναγκαία προϋπόθεση για την περαιτέρω ανάπτυξη των μαθηματικών. Περαιτέρω η ανακάλυψη των αρρήτων ήταν αναγκαία και για την ανάπτυξη των  καθαρών μαθηματικών. Αν υπήρχαν μόνο οι ρητοί αριθμοί ο  (χ²- 2) θα ήταν διάφορος του μηδέν για κάθε χ και επομένως η συνάρτηση

φ(χ) =  1/(χ²- 2)    

θα έπρεπε να είναι συνεχής. Δεν συμπεριφέρεται όμως ως συνεχής ακόμη και αν ο χ παίρνει μόνο ρητές τιμές. Και αυτό είναι ένα μόνο παράδειγμα.
Μετά την ανακάλυψη των αρρήτων τα ελληνικά μαθηματικά είχαν περαιτέρω ανάπτυξη εκπληκτική. 
Βρέθηκε τρόπος χειρισμού των αρρήτων αλλά βρέθηκαν και τρόποι υπολογισμού ρητών προσεγγίσεών τους.  Σε ότι αφορά τον τρόπο χειρισμού τους, η λύση δόθηκε με κατάλληλο και ιδιοφυή ορισμό της ισότητας λόγων που η ορθότητά του επιβεβαιώνεται με την κατανόηση του τι σημαίνει αυτός ο ορισμός, και αποδεικνύεται με χρήση του αξιώματος του Ευδόξου, του ίδιου αξιώματος  που διευκόλυνε τη διαμόρφωση της γενικής θεωρίας για σύμμετρα και ασύμμετρα μεταξύ τους μεγέθη και για τους άρρητους  αριθμούς. Ο αναγνώστης μπορεί επισκεφθεί και να διαβάσει τη σχετική με το θέμα ανάρτηση αυτού  του ιστολογίου, κάνοντας κλικ στην υπογραμμισμένη φράση που βρίσκεται  λίγες σειρές παραπάνω. 
Πέρα από αυτό αναπτύχθηκαν θεωρίες και μέθοδοι που οδήγησαν στον προχωρημένο λογισμό. 
Και ο τρόπος απόδειξης με τη μέθοδο της εις άτοπον απαγωγής που χρησιμοποίησαν τους οδήγησε σε συμπέρασμα κατ' αρχήν αδιανόητο. Έφτασαν στο συμπέρασμα ότι υπάρχουν και άλλοι αριθμοί πέρα από τους αριθμούς που ήξεραν. Συμπέραναν ότι το αριθμητικό τους σύμπαν ήταν λειψό και το συμπλήρωσαν μεθοδικά και με πληρότητα. Τα μαθηματικά έφτασαν πολύ πέρα από την εμπειρία. Και η θεωρία βεβαίωσε απολύτως τους Έλληνες μαθηματικούς για κάτι για το οποίο η απλή εμπειρία δεν μπορούσε να δώσει ενδείξεις. Και στην ακρίβεια και την ορθότητα της θεωρίας έδωσαν ιδιαίτερη βαρύτητα.Έτσι τα ελληνικά μαθηματικά έγιναν εξαιρετικά αυστηρά και φαίνονται ακόμη και σήμερα εξαιρετικά προηγμένα και εξαιρετικά αυστηρά θεμελιωμένα και διατυπωμένα. Οι σημερινοί μαθηματικοί διερωτώνται: Πώς είναι δυνατόν να είχαν φθάσει τα ελληνικά μαθηματικά τόσο νωρίς σε τέτοια επίπεδα αυστηρότητας; Τα νεώτερα μαθηματικά έχουν σήμερα ξεπεράσει την αυστηρότητα των ελληνικών μαθηματικών  αλλά μέχρι τις αρχές του  δέκατου ένατου αιώνα δεν την είχαν φτάσει.

Αυτή η εξέλιξη των ελληνικών μαθηματικών οφείλεται στην συνήθεια των αρχαίων Ελλήνων να συσχετίζουν λογικά μεταξύ τους επί μέρους προτάσεις και να συμπεραίνουν καινούργιες προτάσεις κατά τρόπο ασφαλή, συνήθεια που είχαν καλλιεργήσει επί μακρόν (είχαν ήδη αρχίσει από την εποχή του Θαλή). 
Οφείλεται ειδικότερα και σε σημαντικό βαθμό η εξέλιξη αυτή και στις δύο ανακαλύψεις που σχετίζονται με τους άρρητους αριθμούς. Τις ανακαλύψεις αυτές τις έφερε η θεωρία. Η θεωρία διεύρυνε το μαθηματικό σύμπαν των αρχαίων Ελλήνων και η θεωρία έδωσε τρόπους να χειριστούν αυτό το διευρυμένο μαθηματικό σύμπαν. Και εξειδικεύτηκε βελτιώθηκε και εκλεπτύνθηκε η θεωρία  σε αυτήν την διαδικασία και απόκτησε ιδιαίτερο κύρος μεταξύ των απασχολουμένων με τις επιστήμες. 
Έτσι φτάσαμε στα "Στοιχεία" του Ευκλείδη, στις "Κωνικές Τομές" του Απολλώνιου, στους τριγωνομετρικούς πίνακες του Ίππαρχου του Μενέλαου και του Πτολεμαίου, στους υπολογισμούς του Αρχιμήδη. Έτσι έγινε δυνατό τα μαθηματικά να ξεφύγουν από υπολογισμούς επί της γης και να χρησιμοποιηθούν για να καθορισθεί η  θέση, το μέγεθος και η απόσταση, ακόμη και η κίνηση ουρανίων σωμάτων.  
Χωρίς τα ελληνικά μαθηματικά η ανάπτυξη της δυτικής επιστήμης θα ήταν αδιανόητη, γράφει ο Ράσσελ. Χωρίς καλή γνώση των ιδιοτήτων της έλλειψης, γνώση που προερχόταν από τη μελέτη των κωνικών τομών του Απολλώνιου, ο Κέπλερ δεν θα μπορούσε να ανακαλύψει τους νόμους κίνησης των πλανητών. Αν δεν είχαν ξεκινήσει ο Ίππαρχος και ο Πτολεμαίος την καταγραφή της θέσης του φαινομένου μεγέθους και της κίνησης των ουρανίων σωμάτων, δεν θα υπήρχαν ούτε οι πίνακές τους ούτε οι πίνακες του Τύχο Μπράχε που τα στοιχεία τους χρησιμοποίησε ο Κέπλερ.

Έχουμε ήδη πει ότι η  ανακάλυψη τρόπου χειρισμού των αρρήτων αριθμών που επιτεύχθηκε με κατάλληλο ορισμό της ισότητας λόγων είναι μια πολύ  μεγάλη στιγμή των μαθηματικών. Το ίδιο ακριβώς συμβαίνει  και με την ανακάλυψη των ασυμμέτρων μεγεθών και των άρρητων ή ασύμμετρων αριθμών. Αποτελεί μόνη της  μια πολύ μεγάλη στιγμή των μαθηματικών.

Βιβλιογραφία

1. Ευκλείδη: "Στοιχεία" Μετάφραση Ευάγγελου Σταμάτη

2. Thomas Heath: "Euclid, The Elements"

3. Σπύρου Κανέλλου:
    "Άλγεβρα για τα Λύκεια"
    "Επιπεδομετρία"

4. Χαουαρντ Ηβς: "Μεγάλες Στιγμές των Μαθηματικών"

5. Tom Apostol: "Mathematical Analysis"