Από τους φυσικούς αριθμούς στο σώμα των πραγματικών αριθμών

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΙΣΤΟΛΟΓΙΟΥ

Κάνετε αριστερό κλικ εδώ

Αυτή η σελίδα δεν έχει ολοκληρωθεί και από  1 - 1 - 2015 δεν ενημερώνεται πλέον με νεότερο υλικό. Έχει αντικατασταθεί από άλλη σελίδα με τίτλο 

"Από τους φυσικούς αριθμούς στου σώμα των πραγματικών  αριθμών - Πλήρη σώματα" 
που ενημερώνεται και θα ενημερώνεται  με νέες καταχωρήσεις μέχρι  την ολοκλήρωσή της.

Κάνετε με το ποντίκι  αριστερό κλικ στην υπογραμμισμένη φράση για να μεταφερθήτε στη νεότερη και πληρέστερη ανάρτηση

Σχετικές αναρτήσεις

1.  Οι άρρητοι αριθμοί: Η ανακάλυψη των αρρήτων αριθμών 

2.  Οι άρρητοι αριθμοί: Ο ορισμός της ισότητας λόγων στον Ευκλείδη  

3.  Οι άρρητοι αριθμοί: Τα είδη και οι ιδιότητες των αρρήτων αριθμών 


4. Οι άρρητοι αριθμοί: Το πλήθος των αρρήτων αριθμών -Πληθικοί αριθμοί απειροσυνόλων  

5. Από τους φυσικούς αριθμούς στου σώμα των πραγματικών αριθμών - Πλήρη σώματα

Εισαγωγή

Επιχειρώ την σκιαγράφηση μιας κατασκευής του σώματος ή πεδίου των πραγματικών και των μιγαδικών αριθμών ξεκινώντας από το σύνολο των φυσικών αριθμών . Η πορεία είναι από το σύνολο Ν των φυσικών αριθμών, στο σύνολο Ζ των ακεραίων, από εκεί στο σώμα των ρητών Q και σε περιορισμένες επεκτάσεις του (σώμα ευκλείδειων αριθμών, σώμα αλγεβρικών αριθμών), και στη συνέχεια προς το σώμα των πραγματικών αριθμών R και προς το σώμα των μιγαδικών αριθμών C. Το δυσκολότερο βήμα είναι από το  Q στο R, δηλαδή η κατασκευή των πραγματικών αριθμών από τους ρητούς αριθμούς.
Ο αναγνώστης ας έχει υπόψη του ότι ιστορικά η πορεία ήταν από το Ν στο Q(+) από το Q(+) στο  R(+)  και από εκεί στο R και στο C και ότι η πορεία από το Ν έως το R(+)  είχε γίνει από τους αρχαίους Έλληνες. Το δυσκολότερο και το σημαντικότερο βήμα στην ιστορική πορεία ήταν από το Q(+) στο R(+). Το σύνολα Q(+) , R(+) είναι τα σύνολα των θετικών ρητών και των θετικών πραγματικών αριθμών.

Περιεχόμενα

1.  Η έννοια του σώματος ή πεδίου αριθμών

2.  Διατεταγμένα σώματα

3.  Το σύνολο Ν των φυσικών αριθμών

4.  Από το σύνολο Ν των φυσικών αριθμών στον δακτύλιο - kκεραία περιοχή  Ζ των ακεραίων αριθμών

5.  Από τον δακτύλιο Ζ των ακεραίων, στο σώμα Q των ρητών αριθμών - Πρώτα σώματα

6   Ποια πρώτα σώματα υπάρχουν; - Η μοναδικότητα του σώματος Q των ρητών αριθμών

7.  Πεπερασμένες , άπειρες αλγεβρικές, και υπερβατικές επεκτάσεις του σώματος Q των ρητών αριθμών.

ΜΕΤΑΦΕΡΘΗΤΕ ΕΔΩ

Περιεχόμενα

1.  Η έννοια του σώματος ή πεδίου αριθμών - Διατεταγμένα σώματα

2.  Το σύνολο Ν των φυσικών αριθμών

3.  Από το σύνολο Ν των φυσικών αριθμών στον Δακτύλιο - Ακεραία περιοχή  Ζ των ακεραίων αριθμών

4.  Από το δακτύλιο Ζ των ακεραίων, στο σώμα Q των ρητών αριθμών - Πρώτα σώματα

5   Ποια πρώτα σώματα υπάρχουν; - Η μοναδικότητα του σώματος Q των ρητών αριθμών

6.  Πεπερασμένες , άπειρες αλγεβρικές, και υπερβατικές επεκτάσεις του σώματος Q των ρητών αριθμών. - Αλγεβρικοί και Ευκλείδιοι αριθμοί
7.    Πλήρη αριθμητικά συστήματα:
7.1  Η έννοια της πληρότητας σώματος αριθμών
7.2  Οι πραγματικοί αριθμοί ως τομές ρητών αριθμών  (τομές Ντέντεκιντ)
7.3  Τομές Ντέντεκιντ, και ρητές προσεγγίσεις  πραγματικών αριθμών.
7.4  Πράξεις πραγματικών αριθμών - πρόσθεση
7.5  Πράξεις πραγματικών αριθμών - πολλαπλασιασμός
8.    Οι πραγματικοί αριθμοί
8.1  Το σώμα των πραγματικών αριθμών ως διατεταγμένο σώμα
8.2  Οι ρητοί πραγματικοί αριθμοί ως πρώτο σώμα και ως υποσώμα  του σώματος των πραγματικών αριθμών.
9.    Η πληρότητα του σώματος των πραγματικών αριθμών και οι συνέπειες της
9.1  Το σώμα των πραγματικών αριθμών είναι πλήρες.
9.2  Άνω και κάτω φραγμένα σύνολα πραγματικών αριθμών. Η ύπαρξη ελαχίστου ή μεγίστου
9.3  Δεύτερη πρόταση ως  αξίωμα της πληρότητας. 
9.4  Αξιωματική θεμελίωση των πραγματικών αριθμών
9.5  Η ύπαρξη τετραγωνικής ρίζας των θετικών πραγματικών αριθμών. Η ύπαρξη αρρήτων αριθμών
9.6  Το σώμα των πραγματικών αριθμών είναι αρχιμήδειο
9.7  Η μοναδικότητα του σώματος R των πραγματικών αριθμών.  

10.  Οι πραγματικοί αριθμοί ως πλήρες και διατεταγμένο σώμα
10.1 Η ύπαρξη νιοστής ρίζας
10.2 Η σύγκλιση μονότονων και φραγμένων ακολουθιών
10.3 Το θεώρημα των εγκιβωτισμένων διαστημάτων και το αντίστροφό του
10.4 Δεύτερος τρόπος πλήρωσης του συνόλου των ρητών αριθμών
10.5  Η αμφιμονότιμη αντιστοίχηση μεταξύ των πραγματικών αριθμών αφ' ενός και των σημείων μιας ευθείας αφ' ετέρου11.   Βασικές ακολουθίες (ακολουθίες Cauchy)
11.1 Η σύγκλιση βασικών ακολουθιών σε πλήρη σώματα 

11.2 Ισοδυναμία της πρότασης για τα εγκιβωτισμένα διαστήματα και της πρότασης για τη σύγκλιση βασικών ακολουθιών 
11.3 Τρίτος τρόπος κατασκευής των πραγματικών αριθμών από τους ρητούς αριθμούς
11.4 Σώματα πλήρη κατά Dedekind (πλήρη σώματα), και σώματα  πλήρη κατά Cauchy..
12.   Επεκτάσεις του σώματος R των πραγματικών αριθμών.
12.1 Το σώμα C των μιγαδικών αριθμών.

ΜΕΤΑΦΕΡΘΗΤΕ ΕΔΩ

1. Η έννοια του σώματος ή πεδίου αριθμών


Η έννοια του σώματος αναφέρεται σε σύνολα στα οποία έχουν ορισθεί δύο εσωτερικές διμελείς πράξεις και αφορά τις ιδιότητες αυτών των πράξεων.

Εσωτερική διμελής πράξη σε ένα σύνολο είναι η αντιστοίχηση ενός στοιχείου του συνόλου σε κάθε διατεταγμένο ζεύγος (α β) στοιχείων του.
Η πράξη γίνεται μεταξύ των στοιχείων α και β με αυτήν τη σειρά, πρώτο το α δεύτερο το β. Αν την πράξη τη συμβολίσουμε με αστεράκι (*) και καλέσουμε γ το στοιχείο του Α που θα είναι το αποτέλεσμα της πράξης μεταξύ των α και β (με αυτήν τη σειρά), θα έχουμε
α * β = γ
Για παράδειγμα αν η πράξη είναι η γνωστή μας αφαίρεση θα έχουμε
α – β = γ
Τα παραπάνω σημαίνουν και ότι οι άρρητοι αριθμοί  μόνοι, και οι υπερβατικοί αριθμοί μόνοι δεν μπορεί να είναι σώματα ως προς τις γνωστές μας πράξεις της πρόσθεσης και  του πολλαπλασιασμού αφού το άθροισμα και το γινόμενο υπερβατικών ή αρρήτων αριθμών μπορεί να μην είναι ούτε υπερβατικός ούτε άρρητος αριθμός.
Ας έρθουμε όμως στο τι είναι σώμα ή αλλιώς πεδίο αριθμών.

Σώμα ή πεδίο είναι ένα σύνολο έστω το Σ, στο οποίο έχουν ορισθεί δύο εσωτερικές διμελείς πράξεις εκ των οποίων η πρώτη είναι προσθετική (θα τη συμβολίζουμε με +, το γνωστό μας σύμβολο της πρόσθεσης χωρίς όμως αυτό σημαίνει ότι η πράξη ταυτίζεται απαραίτητα με την πρόσθεση που ξέρουμε) και η δεύτερη είναι πολλαπλασιαστική (θα τη συμβολίζουμε χωρίς σύμβολο, με απλή παράθεση των αριθμών μεταξύ των οποίων εκτελείται η πράξη ή με μια τελεία χωρίς αυτό να σημαίνει ότι ταυτίζεται απαραίτητα με τον γνωστό μας πολλαπλασιασμό), που έχουν τις εξής ιδιότητες που ισχύουν για οποιαδήποτε στοιχεία του Σ.

Α. Για την πρώτη πράξη

1. Είναι προσεταιριστική.
Δηλαδή ισχύει (α+β)+γ = α+(β+γ)
2. Είναι αντιμεταθετική.
Δηλαδή α+β = β+α
3. Έχει ουδέτερο στοιχείο.
Το ουδέτερο στοιχείο της προσθετικής πράξης θα το συμβολίζουμε 0 και ισχύει
α+0 = α για κάθε α
4. Κάθε στοιχείου υπάρχει το συμμετρικό του ως προς το ουδέτερο στοιχείο της προσθετικής πράξης.
Δηλαδή για κάθε στοιχείο του Σ έστω το α, υπάρχει ένα στοιχείο του Σ έστω το α΄ ούτως ώστε να ισχύει
α+α΄= 0
Τα στοιχεία α και α΄ ονομάζονται αντίθετα μεταξύ τους και γράφουμε το α΄ως –α. Ισχύει α΄= -α και α = -α΄. Ορίεται ότι  α-β = α+β΄.

Οι τέσσερις αυτές ιδιότητες της προσθετικής πράξης καθιστούν εξ ορισμού το σύνολο Σ (προσθετική) αντιμεταθετική ομάδα ως προς αυτήν την πράξη. Την αντιμεταθετική ομάδα τη λέμε και αβελιανή ομάδα.
Θα παρατηρήσω επίσης ότι από την ιδιότητα Α3  προκύπτει ότι κάθε σώμα περιλαμβάνει ρητά στοιχεία.

Β. Για τη δεύτερη πράξη:

1. Είναι επιμεριστική ως πρώτη πράξη
Δηλαδή ισχύει α.(β+γ) = α.β + α.γ
2. Είναι προσεταιριστική.
Δηλαδή ισχύει (α.β).γ = α.(β.γ)
3. Είναι αντιμεταθετική
Ισχύει α.β = β.α
4. Έχει ουδέτερο στοιχείο διαφορετικό από το 0.
Το ουδέτερο στοιχείο της πολλαπλασιαστικής πράξης το συμβολίζουμε 1 και ισχύει ότι το 1 δεν είναι ίσο με το 0 και ακόμη ότι
α.1 = α και αποδεικνύεται ότι α.0 = 0 για κάθε στοιχείο α
5. Κάθε στοιχείου του Σ εκτός του ουδέτερου στοιχείου της προσθετικής πράξης υπάρχει το συμμετρικό του ως προς το ουδέτερο στοιχείο της πολλαπλασιαστικής πράξης.
Δηλαδή για κάθε στοιχείο του Σ εκτός του 0, έστω το α (α διάφορο του 0), υπάρχει ένα στοιχείο του Σ έστω το α΄ ούτως ώστε να ισχύει α.α΄= 1
Τα στοιχεία α και α΄ονομάζονται και αντίστροφα μεταξύ τους. Ορίζεται ότι
α΄=α^-1    και ισχύει ότι  α = (α΄)^-1
και γράφουμε α.β^-1  ή α/β αντί α. β΄
Αποδεικνύεται ότι σε ένα σώμα δεν υπάρχουν δύο στοιχεία που δίνουν γινόμενο 0 χωρίς να είναι ούτε το ένα, ούτε το άλλο 0. Δηλαδή αν (α.β) = 0 και το β δεν είναι ίσο με 0 τότε α = 0. Λέμε ότι ένα σώμα δεν έχει διαιρέτες του 0.
Η απόδειξη είναι άμεση.
Αφού το β δεν είναι 0 υπάρχει το β^-1 και η σχέση (α.β) = 0 μας δίνει
(α.β). β^-1  = 0   ή   α.(β. β^-1) = 0     ή α.1 = 0   και τελικά α = 0

Επίσης σε ένα σώμα ισχύει ο νόμος της διαγραφής αν α.β = α.γ και το α δεν είναι 0 τότε β = γ
Η απόδειξη βασίζεται σε αυτό που μόλις αποδείξαμε.

Οι ιδιότητες Β (2,3,4,5) καθιστούν το σύνολο

Σ₀= Σ-{0} που απομένει αν από το Σ αφαιρεθεί το ουδέτερο στοιχείο της πρώτης πράξης, (πολλαπλασιαστική) αντιμεταθετική ομάδα ως προς την δεύτερη πράξη. 

Θα παρατηρήσω ότι και η ιδιότητα Β4 συνεπάγεται άμεσα ότι κάθε σώμα έχει ρητά στοιχεία.

Πρέπει να σημειωθεί ότι αυτές οι ιδιότητες δεν είναι όλες ανεξάρτητες μεταξύ τους. Σε μια αυστηρή αξιωματική θεμελίωση κάποιες θα περίσσευαν, τουλάχιστον στη μορφή που τις παραθέτω. Στην μορφή αυτή θα προέκυπταν ως θεωρήματα από ασθενέστερες συνολικά προτάσεις. Για παράδειγμα η πρόταση Α2 μπορεί να εξαχθεί ως θεώρημα από τις υπόλοιπες. Είτε όμως αυτές οι προτάσεις θεωρηθούν ως αξιώματα του σώματος, είτε μερικές από αυτές ως θεωρήματα που προκύπτουν από ένα σύνολο αξιωμάτων ασθενέστερο συνολικά από το σύνολο αυτών των προτάσεων, οι προτάσεις αυτές περιγράφουν ιδιότητες όλων των σωμάτων και οπωσδήποτε η επιβεβαίωση της ισχύος τους αρκεί για να δειχθεί ένα σύνολο ως σώμα.
Περαιτέρω πρέπει να σημειωθεί ότι όλες οι παραπάνω ιδιότητες καθορίζουν όλους τους κανόνες λογισμού μεταξύ των στοιχείων ενός συνόλου για τις ρητές πράξεις , την ισχύ των ταυτοτήτων που ξέρουμε, την ορθότητα των μεθόδων που χρησιμοποιούμε για να λύνουμε εξισώσεις ή συστήματα εξισώσεων. Μας εξασφαλίζουν και την ύπαρξη του σώματος των ρητών αριθμών. Δεν μας εξασφαλίζουν όμως, ούτε την ύπαρξη στο σώμα και αρρήτων αριθμών ούτε τη δυνατότητα μέτρησης της διαγωνίου τετραγώνου με μονάδα μέτρησης το μήκος της πλευράς του ούτε τη δυνατότητα μέτρησης του μήκους της περιφέρειας κύκλου με μονάδα μέτρησης το μήκος της ακτίνας του ούτε την ανάπτυξη των μεθόδων προχωρημένου λογισμού.



2. Διατεταγμένα σώματα

Τα σώματα διακρίνονται σε διατεταγμένα σώματα και σε μη διατεταγμένα.

Ένα σύνολο Σ είναι διατεταγμένο σώμα αν είναι σώμα και επί πλέον υπάρχει ένα γνήσιο υποσύνολό του έστω το Ρ με τις εξής ιδιότητες.

Ι) Για κάθε στοιχείο α του Σ ισχύει ακριβώς ένα μία από τις επόμενες τρεις προτάσεις,
i. α = 0
ii. Το α ανήκει στο Ρ
iii. Το (–α) ανήκει στο Ρ

ΙΙ) Τα αποτελέσματα και της προσθετικής και της πολλαπλασιαστικής πράξης του σώματος μεταξύ στοιχείων του Ρ είναι πάντοτε στοιχεία του Ρ. Δηλαδή αν τα α, β ανήκουν στο Ρ τότε και το (α+β) και το (α.β) ανήκουν και αυτά στο Ρ

Τα στοιχεία του Ρ ονομάζονται θετικά και τα στοιχεία του Ρ΄ = [Σ-{0}] – Ρ ονομάζονται αρνητικά στοιχεία του σώματος.


Τα παραπάνω εξασφαλίζουν ότι κάθε μη μηδενικό στοιχείο του Σ ανήκει ή στο Ρ ή στο Ρ΄ και δεν ανήκει και στα δύο ή αλλιώς ότι το Ρ και το Ρ΄ δεν έχουν κοινά στοιχεία και ή ένωση τους περιέχει όλα τα στοιχεία του Σ εκτός από το 0. Μπορούμε να το δούμε αυτό στο σώμα των ρητών αλλά και στο σώμα των πραγματικών αριθμών. Στους πραγματικούς και στους ρητούς αριθμούς το Ρ είναι το σύνολο των θετικών πραγματικών ή ρητών αριθμών. Το άθροισμα και το γινόμενο δύο πραγματικών ή ρητών θετικών αριθμών είναι θετικός αριθμός.
Το Ρ΄ είναι το σύνολο των αρνητικών (πραγματικών ή ρητών) αριθμών.

Σε κάθε διατεταγμένο σώμα το 1 ανήκει στα θετικά στοιχεία γιατί αν ανήκε το -1 θα ανήκε και το (-1).(-1) = 1 και αυτό αντίκειται στην ιδιότητα Ι των διατεταγμένων σωμάτων. Θετικό είναι επομένως και το άθροισμα (1+1). Εύκολο είναι να σκεφθούμε ότι θετικό είναι και το [(1+1) + 1] και πάει λέγοντας. Επίσης στα διατεταγμένα σώματα το α² είναι ή 0 ή θετικό αφού

α²= (-α)² . 

[Σε σώματα που δεν δέχονται διάταξη σώματος το άθροισμα (1+1+ …. +1) για ν προσθετέους (ν > 1) μπορεί να είναι ίσο προς 0 (για συγκεκριμένες τιμές του ν).]

Επανερχόμαστε στα διατεταγμένα σώματα. Η ύπαρξη του υποσυνόλου Ρ του Σ με τις παραπάνω ιδιότητες, μας επιτρέπει να διατάξουμε όλα τα στοιχεία του Σ

Ορίζουμε ότι σε ένα διατεταγμένο σώμα Σ
α > β και β < α σημαίνει ότι το στοιχείο (α-β) είναι θετικό

Αυτό μαζί με τα παραπάνω μας επιτρέπει να συναγάγουμε όλες τις γνωστές ιδιότητες των ανισοτήτων και να προχωρήσουμε στην ανακάλυψη και κατασκευή σωμάτων που εκτός από διατεταγμένα είναι και πλήρη, χωρίς χάσματα στα οποία μπορεί να ολοκληρωθεί η ανάπτυξη των μεθόδων του προχωρημένου λογισμού. Μας επιτρέπει ακόμη να προσδιορίζουμε ρητές προσεγγίσεις των μη ρητών στοιχείων ενός σώματος. και να εκτιμούμε το σφάλμα της προσέγγισης.

 Ας δούμε τώρα ποια από τα γνωστά μας σύνολα αποτελούν σώματα και με ποιες πράξεις και ποια από τα σώματα αυτά είναι διατεταγμένα ή ακριβέστερα ποια από αυτά δέχονται διάταξη. Θα δούμε σύνολα με πεπερασμένο και σύνολα με άπειρο πλήθος στοιχείων.


3. Το σύνολο Ν των φυσικών αριθμών

Το Ν περιλαμβάνει τον αριθμό 0. Επιπλέον κάθε φυσικού αριθμού υπάρχει ένας μοναδικός επόμενος του και μεγαλύτερος του, φυσικός αριθμός. Αυτό σημαίνει ότι οι οι φυσικοί αριθμοί είναι άπειροι κατά το πλήθος και ότι δεν υπάρχει μέγιστος φυσικός αριθμός.
Από τα αξιώματα που τίθενται για τους φυσικούς αριθμούς προκύπτουν επίσης και οι βασικές ιδιότητες των ισοτήτων και τών ανισοτήτων.
Ενός συνόλου με πεπερασμένο αριθμό στοιχείων και ενός συνόλου άπειρου αλλά ισοπληθικού με το σύνολο των φυσικών αριθμών, τα στοιχεία τους μπορεί να αριθμηθούν με τους φυσικούς αριθμούς στους οποίους μπορεί να αντιστοιχηθούν σε μία αντιστοίχηση 1 προς 1 που δεν καλύπτει κατ' ανάγκην όλους τους φυσικούς αριθμούς.
Με την εισαγωγή της πράξης της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού (με ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού τον επόμενο του 0 που τον λέμε 1), ο φυσικός αριθμός ο επόμενος του ν ορίζεται ως ο (ν +1) και είναι (ν+1) > ν. )
Το σύνολο των φυσικών αριθμών μπορεί να διαταχθεί με τη σχέση < ή = (μικρότερο ή ίσο) και αυτό είναι σημαντικό. Για δύο φυσικούς αριθμούς α, β ισχύει ακριβώς μία από τις τρεις σχέσεις
α=β , α < β , β < α .
Αξίζει να σημειωθεί ότι ορίζεται ότι α < β σημαίνει ότι υπάρχει φυσικός αριθμός που όταν προστεθεί στον α θα μας δώσει τον β. Αυτός ο ορισμός προϋποθέτει φυσικά έναν ορισμό της πρόσθεσης που θα τον δούμε αργότερα.
Τώρα αν χ είναι  ο φυσικός αριθμός που όταν προστεθεί στον α θα μας δώσει τον β, έχουμε
α+χ =β
Αν ο β είναι κάποιος από τους επόμενους του α (όχι κατ’ ανάγκην ο αμέσως επόμενος), τότε υπάρχει ένας, μάλιστα ακριβώς ένας φυσικός χ που ικανοποιεί αυτήν τη σχέση και αυτός ο χ ορίζεται ως (β-α).

Σε όποια αξιωματική θεμελίωση των φυσικών αριθμών εκτός του ότι
α) περιλαμβάνεται στους φυσικούς αριθμούς ο 0 και
β) κάθε φυσικού αριθμού υπάρχει ένας μοναδικός επόμενος  φυσικός αριθμός
τίθενται τρεις ακόμη προτάσεις.
i) Ο επόμενος ενός οποιουδήποτε φυσικού αριθμού δεν είναι 0.
ii) Αν μ, ν είναι φυσικοί αριθμοί και ο επόμενος του μ και ο επόμενος του ν είναι ίσοι τότε μ=ν
iii) Αν ένα σύνολο Χ υποσύνολο του Ν (Ν είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών ), περιλαμβάνει τον 0 και τον επόμενο κάθε αριθμού που ανήκει στο Χ, τότε Χ=Ν
Η τελευταία πρόταση καλείται αξίωμα της επαγωγής και δίνει αποδεικτική μέθοδο για προτάσεις που εξαρτώνται από έναν φυσικό αριθμό ν. Η μέθοδος αυτή ονομάζεται μέθοδος της τελείας επαγωγής.
Το αξίωμα της επαγωγής είναι ισοδύναμο με την πρόταση
iiia) Κάθε υποσύνολο του συνόλου Ν των φυσικών αριθμών περιλαμβάνει ένα ελάχιστο στοιχείο ή αλλιώς ένα πρώτο στοιχείο.
Πρόκειται για την αρχή της καλής διάταξης των φυσικών αριθμών που ονομάζεται και αρχή του ελαχίστου φυσικού.
Πέραν αυτών με τον ορισμό της πρόσθεσης και της έννοιας  α< β  προκύπτει ότι κάθε φυσικός αριθμόςείναι μικρότερος του επομένου του και ότι αν
α < β    και  β < γ    τότε  α < γ
Επίσης από τους ορισμούς της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και από τα πέντε αξιώματα που παραθέσαμε παραπάνω και αποδίδονται στον Peano, προκύπτουν όλες οι γνωστές ιδιότητες των πράξεων,  των ισοτήτων και των ανισοτήτων, όσον αφορά το χειρισμό φυσικών αριθμών.

Το ότι δεν μπορεί να υπάρχουν περισσότερα από ένα σύνολα φυσικών αριθμών εξασφαλίζεται με το αξίωμα της επαγωγής. (Ακριβέστερα εξασφαλίζεται ότι τα σύνολα των φυσικών αριθμών είναι ανά δύο ισόμορφα). Πράγματι μπορεί να ορισθεί αντίστοιχος του 0 ο 0΄ , και αντίστοιχος του επομένου του ν ο επόμενος του αντιστοίχου του ν. Είναι εύκολο να δειχθει ότι αυτή η αντριστοίχηση είναι ένα προς ένα, καλύπτει όλα τα στοιχεία των δύο συστημάτων φυσικών αριθμών και διατηρεί τις πράξεις όπως θα οριστούν στη συνέχεια.)
Η ύπαρξη όμως ενός τουλάχιστον συνόλου φυσικών αριθμών δεν εξασφαλίζεται με τα πέντε αξιώματα. Θα ήταν δυνατό να τεθεί σαν έκτο αξίωμα η ύπαρξη ενός τουλάχιστον συνόλου φυσικών αριθμών που ικανοποιεί αυτά τα αξιώματα. Στα σημερινά μαθηματικά προτιμούν όμως να μην εισάγονται σε επιμέρους κλάδους προτάσεις υπάρξεως, (οντολογικές προτάσεις λέγονται), αλλά να εισάγονται τέτοιες προτάσεις μόνο στη συνολοθεωρία, και οι οντολογικές προτάσεις οι απαιτούμενες για την ανάπτυξη των επιμέρους κλάδων να προκύπτουν ως θεωρήματα που θα αποδεικνύονται με τη βοήθεια εννοιών και προτάσεων της θεωρίας συνόλων. Προσωπικά βρίσκω ότι αυτή η επιλογή μπορεί να θέτει την ανάπτυξη των μαθηματικών σε ενιαία βάση, κάνει όμως τα πράγματα πιο πολύπλοκα από ότι είναι. Εμείς εδώ απλά θα θεωρήσουμε ότι οι φυσικοί αριθμοί υπάρχουν. Άλλωστε προέκυψαν από την ανάγκη απλών μετρήσεων, τους χρησιμοποιούμε και εύκολα διαπιστώνουμε ότι ικανοποιούν τα πέντε αξιώματα.

Στο σύνολο των φυσικών αριθμών ορίζουμε δύο εσωτερικές διμελείς πράξειςˑ τη γνωστή μας πρόσθεση και το γνωστό μας πολλαπλασιασμό. Ο τρόπος ορισμού όμως ενδιαφέρει. Οι πράξεις ορίζονται με τη βοήθεια αναδρομικών σχέσεων.
Η πρόσθεση ορίζεται από τις σχέσεις
α+0 = α
α+β΄ = (α+β)΄
που ορίζεται ότι ισχύουν για όλους τους φυσικούς αριθμούς α, β. Ο 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και αν χ είναι φυσικός αριθμός τότε χ΄συμβολίζουμε τον επόμενο του χ. Στις σχέσεις ορισμού της πρόσθεσης εμφανίζονται ο [επόμενος του β] = β΄ και ο [επόμενος του (α+β)] = (α+β)΄.

Ο επόμενος κάθε φυσικού αριθμού είναι απολύτως καθορισμένος και θεωρείται γνωστός. Παρά αυτά η ονοματοδοσία των φυσικών αριθμών και η ανάπτυξη μεθόδων γραφής τους ή αλλιώς συστημάτων αρίθμησης, έπαιξε πολύ σημαντικό ρόλο στην ανάπτυξη των μαθηματικών.

Ο πολλαπλασιασμός ορίζεται με ανάλογο τρόπο από δύο επίσης σχέσεις εκ των οποίων η δεύτερη είναι αναδρομική.
α.0 = 0
α.β΄= α.β + α
που ορίζεται να ισχύουν για οποιουσδήποτε φυσικούς α, β.

Αν 1 = 0΄ τότε 1+0 = 1 εξ ορισμού. Προκύπτει για κάθε φυσικό α ότι
0+1=1,
0+α=α
α.1= α
1.α =α
ότι δηλαδή ο 0 και ο 1 αποτελούν τα εξ αριστερών και εκ δεξιών ουδέτερα στοιχεία για την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό αντιστοίχως.

Για την πρώτη σχέση έχουμε 0+1 = 0+0΄= (0+0)΄= 0΄=1
Έχουμε δείξει τη δεύτερη σχέση για α = 1 και ισχύει προφανώς για α=0. Υποθέτουμε ότι ισχύει για κάποιον α και θα αποδείξουμε ότι ισχύει για τον επόμενό του.
Έχουμε 0+α΄ = (0+α)΄= α΄. Επομένως το σύνολο των φυσικών αριθμών για τους οποίους ισχύει η σχέση περιλαμβάνει τον 0 και μαζί με κάθε φυσικό περιλαμβάνει και τον επόμενό του άρα ταυτίζεται με το Ν (απόδειξη με επαγωγή).
Η τρίτη σχέση προκύπτει άμεσα αφού α.1=α.0΄= α.0+α = 0+α =α
Η τέταρτη αποδεικνύεται με επαγωγή όπως η δεύτερη.

Θα φανεί περίεργο αλλά η ιδιότητα των πράξεων που είναι δυσκολότερο να αποδειχθεί είναι η αντιμεταθετική και για τη πρόσθεση και για τον πολλαπλασιασμό. Ότι δηλαδή α+β = β+α και α.β = β.α
Για την πρόσθεση δείχνεται πρώτα με επαγωγή ως προς τον β ότι
α΄+ β = α+β΄= (α+β)΄ 
και στη συνέχεια με επαγωγή ως προς α ότι α+β = β+α.
Για το πρώτο βήμα έχουμε.
α΄+0 = α΄ = (α+0)΄= α+0΄ και η πρόταση ισχύει για β=0
Έστω ότι ισχύει α΄+β = α+β΄ = (α+β)΄. Θα δείξουμε ότι α΄+β΄= α +(β΄)΄.
Έχουμε:
α΄+ β΄= (α΄+β)΄= (α+β΄)΄= α+(β΄)΄
Κάνουμε το δεύτερο βήμα.
Η σχέση ισχύει για α=0 αφού 0+β = β = β+0 και ότι ισχύει για κάποια τιμή του α ότι α+β = β+α. Θα δείξουμε ότι α΄+β = β+α΄.
Έχω
α΄+ β = (α+β)΄= (β+α)΄= β+α΄
Και για τον πολλαπλασιασμό έχουμε ότι
α.β΄= α.β +α
Θα δειχθεί πρώτα με επαγωγή ως προς β ότι ισχύει επίσης ότι
α΄.β = α.β+ β
και στη συνέχεια με επαγωγή ως προς α ότι α.β = β.α.

Η προσεταιτιστικότητα των δύο πράξεων και η επιμεριστικότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση αποδεικνύονται πιο άμεσα. Υπάρχουν επίσης τα ουδέτερα στοιχεία ( ο 0 για την πρόσθεση και ο 1 για τον πολλαπλασιασμό) Οι πράξεις μπορεί να γίνονται όπως ξέρουμε. Οι ταυτότητες ισχύουν, μπορούμε να αθροίζουμε προόδους, μπορούμε να αναπτύξουμε τη συνδυαστική. Μπορεί να αποδειχθούν και να χρησιμοποιηθούν και οι ιδιότητες των ανισοτήτων. Αναφέρω.

Όταν προσθέσουμε στα δύο μέλη μιας ανισότητας έναν φυσικό αριθμό θα προκύψει ομοιόστροφη ανισότητα
Όταν πολλαπλασιάσουμε τα δύο μέλη μιας ανισότητας επί έναν φυσικό αριθμό διάφορο του 0, θα προκύψει ομοιόστροφη ανισότητα
Όταν προσθέτουμε ή πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη ομοιόστροφες ανισότητες προκύπτει ανισότητα ομοιόστροφη με τις αρχικές.

Είναι όμως φανερό ότι το σύνολο των φυσικών αριθμών με τις δύο εσωτερικές διμελείς πράξεις, τη γνωστή μας πρόσθεση και τον γνωστό μας πολλαπλασιασμό, δεν αποτελεί σώμα. Αυτό γιατί δεν ικανοποιούνται για τους φυσικούς αριθμούς οι ιδιότητες Α4 και Β5 του σώματος. Πράγματι,
για οποιοδήποτε φυσικό αριθμό α εκτός του 0 , δεν υπάρχει ένας επίσης φυσικός αριθμός β που κάνει το άθροισμα (α+β) ίσο με 0 και
για οποιοδήποτε φυσικό αριθμό α εκτός του 1, δεν υπάρχει ένας επίσης φυσικός αριθμός β που κάνει το γινόμενο (α.β) ίσο με 1
Έτσι στο σύνολο των φυσικών αριθμών οι εξισώσεις
α+χ =β και
β.χ =γ ( β διάφορος του 0)
δεν έχουν πάντοτε λύση.

Ισχύουν όμως όλες οι άλλες οι ιδιότητες του σώματος. Επιπλέον το σύνολο των φυσικών δεν έχει διαιρέτες του μηδενός και ισχύει και στο σύνολο των φυσικών αριθμών ο νόμος της διαγραφής και για τον πολλαπλασιασμό, φυσικά υπό τον όρο ότι ο διαγραφόμενος κοινός παράγοντας των δύο μελών μιας ισότητας δεν είναι ίσος με 0.
Ισχύει επίσης ότι αν α, β είναι φυσικοί αριθμοί και ο β δεν είναι 0, υπάρχει πάντοτε για κάθε ζεύγος (α, β) ένα μοναδικό ζεύγος φυσικών αριθμών π και υ ώστε να ισχύει α = β.π +υ και υ < β (ταυτότητα της διαίρεσης).
Αυτό δίνει τη δυνατότητα ανάπτυξης θεωρίας διαιρετότητας με μέγιστο κοινό διαιρέτη με ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, με πρώτους αριθμούς, με τέλειους αριθμούς, με μονότροπες αναλύσεις σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.

Το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι όμως σημαντικό για όλα αυτά αλλά και γιατί αποτελεί τη βάση κατασκευής και απόδειξης των ιδιοτήτων του συνόλου των ακεραίων και του συνόλου των ρητών αριθμών και οι ρητοί αριθμοί αποτελούν τη βάση κατασκευής και απόδειξης των ιδιοτήτων του συνόλου των πραγματικών αριθμών που περιλαμβάνει τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς μαζί και αποτελεί το θεμέλιο της μαθηματικής ανάλυσης .


4. Από τους φυσικούς αριθμούς στον δακτύλιο-ακεραία περιοχή Ζ των ακεραίων αριθμών

Το σύνολο Ζ των ακεραίων μπορεί να θεωρηθεί επέκταση του συνόλου Ν των φυσικών αριθμών και επομένως το Ν είναι γνήσιο υποσύνολο του Ζ. Έχει φυσικά άπειρα στοιχεία που μπορεί να αριθμηθούν.

Το σύνολο των Ζ των ακεραίων κατασκευάζεται από το σύνολο Ν των φυσικών αριθμών. Αν Χ, Ψ, Ζ είναι ζεύγη φυσικών αριθμών, α,β, γ, δ, ε, ζ είναι φυσικοί αριθμοί, Χ = (α, β) και Ψ = (γ, δ) και Ζ = (ε,ζ) ορίζεται ότι

Χ = Ψ τότε και μόνον, όταν (α+δ) = (β+γ)
Χ+Ψ = (α+γ, β+δ)
Χ.Ψ = (α.γ+β.δ, α.δ+β.γ)

Από την πρώτη σχέση προκύπτει ότι αν
Χ = Ψ    και    Ψ = Ζ               τότε και     Χ = Ζ
Με βάση αυτό το συμπέρασμα διαμερίζουμε το σύνολο των ζευγών Ν x Ν σε υποσύνολα ξένα μεταξύ τους κάθε ένα από τα οποία αποτελείται από όλα τα ζεύγη που είναι ίσα με ένα συγκεκριμένο ζεύγος σύμφωνα με την πρώτη σχέση. Σύμφωνα με την πρώτη σχέση το ζεύγος (3,3) είναι ίσο με το ζεύγος (0,0) και ίσο με κάθε ζεύγος της μορφής (α,α). Υπάρχουν άπειρα ζεύγη αυτής της μορφής. Όλα αυτά αποτελούν μια κλάση ισοδυναμίας. Το ζεύγος (1,0) δεν είναι ίσο με κάποιο από τα ζεύγη της μορφής (α, α) ανήκει σε μια άλλη κλάση ισοδυναμίας. Μπορούμε να βρούμε ότι αυτή αποτελείται από όλα τα ζεύγη της μορφής (α+1, α). Και μπορούμε να βρούμε ότι τα ζεύγη της μορφής (α, α+1) συνιστούν μια άλλη κλάση ισοδυναμίας στην οποία περιλαμβάνεται και το ζεύγος (0,1). Και υπάρχουν άπειρες κλάσεις ισοδυναμίας αφού τα ζεύγη (0,0), (1,0), (2,0), (3,0),……,(Ν,0),…… είναι άπειρα και διαφορετικά μεταξύ τους κατά την πρώτη σχέση και ανήκουν επομένως σε διαφορετικές ανά δύο κλάσεις ισοδυναμίας. Και κάθε ένα από αυτά είναι διαφορετικό από το (0,Ν), δηλαδή δεν είναι ίσο με το (0,Ν) για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό Ν, με Ν > 0. Όλες οι κλάσεις ισοδυναμίας μαζί καλύπτουν όλα τα ζεύγη φυσικών αριθμών. Δύο κλάσεις ισοδυναμίας δεν έχουν κάποιο κοινό ζεύγος αφού σε αυτήν την περίπτωση όλα τα ζεύγη των δύο κλάσεων θα ήταν ίσα με το ζεύγος αυτό και επομένως ίσα μεταξύ τους, και άρα θα αποτελούσαν μία κλάση ισοδυναμίας.
Ορίζουμε ως ακέραιους αριθμούς αυτές τις κλάσεις ισοδυναμίας Κάθε κλάση ισοδυναμίας είναι ένας ακέραιος αριθμός. Υπάρχουν άπειρες κλάσεις ισοδυναμίας ξένες μεταξύ τους και επομένως υπάρχουν άπειροι ακέραιοι αριθμοί. Πράξεις μεταξύ ακεραίων είναι πράξεις μεταξύ των παραπάνω κλάσεων ισοδυναμίας. Οι πράξεις μεταξύ των κλάσεων ισοδυναμίας νοούνται ως πράξεις μεταξύ ζευγών φυσικών αριθμών πού ανήκουν σε αυτές, και οι πράξεις μεταξύ ζευγών φυσικών αριθμών έχουν ήδη ορισθεί. Κάθε κλάση ισοδυναμίας μπορεί να εκπροσωπηθεί από ένα οποιοδήποτε ζεύγος φυσικών αριθμών ανήκει σε αυτήν. Από ποιο ακριβώς ζεύγος φυσικών αριθμών θα εκπροσωπηθεί κάθε κλάση ισοδυναμίας δεν έχει σημασία, αρκεί το ζεύγος που την εκπροσωπεί να ανήκει σε αυτήν. Ας τα διευκρινίσουμε αυτά λίγο περισσότερο.

-Κάθε ακέραιος είναι μια κλάση ισοδυναμίας και εκπροσωπείται από ένα οποιοδήποτε ζεύγος φυσικών αριθμών ανήκει σε αυτήν.
Έστω ότι ο ακέραιος χ εκπροσωπείται από το ζεύγος (α,β), και ο ακέραιος ψ εκπροσωπείται από το (γ,δ). Αν χ = ψ τότε α+δ = β+γ. Το ότι τα δύο ζύγη είναι ίσα θα πρέπει να σημαίνει ότι αν το ένα αντικαταστήσει το άλλο σε οποιαδήποτε πράξη το αποτέλεσμα που θα προκύψει θα είναι ίσο με το αρχικό, ίσο σύμφωνα με τον ορισμό της ισότητας. Είναι κάτι που πρέπει να ισχύει για να έχουν νόημα οι ορισμοί των πράξεων και τα όσα λέμε. Ο έλεγχος στηρίζεται στη σχέση α+δ = β+γ, είναι εύκολος και δίνει θετικό αποτέλεσμα. Οι πράξεις είναι καλώς ορισμένες.

-Η εξ ορισμού ισότητα των ακεραίων χ, ψ που εκπροσωπούνται από το ζεύγη (α,β) και (γ,δ) όταν και μόνο όταν, α+δ = β+γ με α,β,γ,δ φυσικούς αριθμούς, σημαίνει ότι ο ακέραιος χ είναι ίσος με τον ψ αν

Ι) είναι α – β > 0 και α-β = γ-δ ή αν
ΙΙ) είναι β-α >0 και β-α = δ-γ ή αν
ΙΙΙ) είναι α-β = γ-δ =0

Στην πρώτη περίπτωση οι ακέραιοι που εκπροσωπούνται από τα (α,β) και (γ,δ) μπορεί να εκπροσωπηθούν από το (α-β,0), στη δεύτερη περίπτωση από το (0, β-α) και στην τρίτη περίπτωση είναι από τον (0,0). Στο Θυμίζω ότι πρόκειται για ζεύγη φυσικών αριθμών.
Έτσι εμείς θα κάνουμε πράξεις με ακεραίους που έχουν το πρώτο ή το δεύτερο στοιχείο του ζεύγους τους ίσο με 0. Αντί να κάνουμε πράξη με το (39, 37) θα κάνουμε πράξεις με τον (2,0) και θα αντικαθιστούμε το (18, 35) με τον (0, 17) και αντί να κάνουμε πράξεις με το (113, 113) θα κάνουμε πράξεις με το (0, 0).

- Στο εξής θα ταυτίζουμε τους ακέραιους με οποιοδήποτε ζεύγος τους εκπροσωπεί. Με αυτήν τη σύμβαση μπορούμε να πούμε ότι κάθε ακέραιος (α,β) είναι ίσος με ακέραιο της μορφής (λ, 0) αν α > β , με έναν ακέραιο της μορφής (0, λ) αν α< β και είναι ίσος με τον ακέραιο αριθμό (0, 0) αν α=β. Ο λ είναι θετικός φυσικός αριθμός.

- Βάσει του ορισμού των πράξεων είναι:

(α,0) + (β,0) = (α+β, 0)
(0,α) + (0,β) = (0, α+β)
(α,0) + (0,β) = (α, β)
(α,0).(β,0) = (α.β, 0)
(0,α).(0,β) = (α.β, 0)
(α,0).(0,β) = (0, α.β)


- Οι ακέραιοι οι ίσοι με τον (0, 0) είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και οι ακέραιοι οι ίσοι με τον (1,0) αποτελούν το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού.

- Είναι (α,0) + (0,α) = (α, α) = (0,0). Επομένως κάθε ακεραίου υπάρχει το συμμετρικό ως προς το προσθετικά ουδέτερο στοιχείο.

- Οι εξισώσεις (α,β) + (χ, ψ) = (γ, δ) έχουν πάντοτε λύση αφού (γ, δ) = (γ+ν, δ+ν) όπου ν φυσικός που μπορεί να ληφθεί μεγαλύτερος και του α και του β και ο ακέραιος (χ,ψ) είναι επομένως ίσος με τον (γ+ν-α, δ+ν-β)

- Το άθροισμα (α,0) + (β,0) = (α+β, 0) και το γινόμενο (α,0).(β,0) = (α.β, 0) Συνεπώς το σύνολο Ρ των ακεραίων της μορφής (α,0), έχει στοιχεία που και το άθροισμά τους και το γινόμενό τους έχει την ίδια μορφή και επομένως ανήκει στο Ρ.

- Μπορούμε να αντιστοιχήσουμε κάθε φυσικό αριθμό α με τον ακέραιο (α,0), την πρόσθεση των φυσικών με την πρόσθεση των ακεραίων της μορφής (α,0), και τον πολλαπλασιασμό των φυσικών με τον πολλαπλασιασμό των ακεραίων της μορφής (α, 0). Η αντιστοίχηση είναι αμφιμονότιμη και επί και διατηρεί τις πράξεις άφού ο α+β έχει αντίστοιχο τον (α+β,0) = (α,0) +(β,0) και ο α.β έχει αντίστοιχο τον (α.β, 0) = (α,0).(β,0).
Λέμε ότι το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι ισόμορφο με το σύνολο των ακεραίων της μορφής (α, 0) όπου θυμίζουμε ότι ο α είναι φυσικός αριθμός. Είναι επομένως ισόμορφο με ένα γνήσιο υποσύνολο του συνόλου των ακεραίων και με αυτήν την έννοια οι ακέραιοι αποτελούν επέκταση του συνόλου των φυσικών.

-Ταυτίζουμε τους ακέραιους τους ίσους με τον (α,0) με τον φυσικό αριθμό α και διατάσσουμε τους ακέραιους αριθμούς της μορφής (α,0) με τη διάταξη των φυσικών αριθμών. Έτσι θα είναι (α,0) > (β,0) όταν και μόνον όταν είναι α > β.
Ορίζουμε στη συνέχεια το σύνολό των ακεραίων της μορφής (α,0) ως το σύνολο των θετικών ακεραίων και γράφουμε α αντί για (α,0).
Οι ακέραιοι οι ίσοι προς έναν ακέραιο της μορφής (0,β) θα συμβολίζονται –β ,θα ταυτίζονται με αυτόν τον ακέραιο και θα είναι οι αρνητικοί ακέραιοι.

- Είναι (α,β) = (α,0) + (0,β) = α+(-β)

- Για δύο αρνητικούς ακέραιους, τους (0,α) και (0,β), θα είναι εξ ορισμού (0,α) > (0,β) ή -α >-β όταν και μόνον όταν είναι α< β (α, β είναι φυσικοί).

-Για δύο ακέραιους χ, ψ οι σχέσεις χ > ψ και -χ < -ψ είναι επίσης ισοδύναμες και αυτό είναι θεώρημα που αποδεικνύεται με την παράσταση των χ, ψ ως ζευγών φυσικών αριθμών.

-Οι ακέραιοι της μορφής (α,α) θα ταυτίζονται με τον ακέραιο (0,0) που θα είναι ο μηδενικός ακέραιος. Θα τον συμβολίζουμε 0.
Για α θετικό φυσικό αριθμό είναι πάντοτε (0,α) < (0,0) < (α,0) ή αλλιώς –α < 0 < α .
Οι θετικοί ακέραιοι είναι μεγαλύτεροι από το 0 και οι αρνητικοί είναι μικρότεροι από το 0. Θυμίζω ότι ο ο α είναι θετικός φυσικός αριθμός ή ισοδύναμα είναι θετικός ακέραιος.

- Αν α φυσικός τότε
(0,α) = -α  [αφού (0,α) = - (α,0) = -α]
α  = -(-α) [ αφού  α = (α,0) = -(0,α) = -(-α)]

- Αν χ ακέραιος τότε
χ =-(-χ)
είτε ο χ είναι θετικός ακέραιος, είτε είναι αρνητικός ακέραιος. Θα το διαπιστώσετε εξετάζοντας τις περιπτώσεις χ=(β,0) , χ= (0,β) και χ= (0,0)

- Αν ο ακέραιος χ δεν ισούται με τον ακέραιο 0 = (0,0) τότε θα είναι για κάποιον θετικό φυσικό α, ή
χ= (α,0) και -χ = (0,α) και ο χ είναι θετικός, ή
χ = (0,α) και -χ = (α,0) και ο –χ είναι θετικός .
Για κάθε ακέραιο χ ισχύει επομένως ακριβώς μία από τις προτάσεις
Ο χ είναι ίσος με 0
Ο χ είναι θετικός ακέραιος
Ο –χ είναι θετικός ακέραιος

- Για τους οποιουσδήποτε ακέραιους κ, λ ορίζουμε λ-κ = λ + (-κ). Ο ακέραιος αριθμός χ = λ-κ είναι η λύση της εξίσωσης χ+κ = λ και υπάρχει πάντοτε.

- Για δύο ακεραίους κ, λ μπορούμε να ορίσουμε ότι είναι κ< λ όταν ο ακέραιος λ-κ είναι θετικός, ότι είναι κ >λ όταν ο ακέραιος λ-κ είναι αρνητικός και ότι λ=κ όταν λ-κ =0. Αυτό είναι ισοδύναμο με όσα έχουμε πει ως τώρα για τη διάταξη ακεραίων. Είναι σημαντικό ότι είτε με τους προηγούμενους ορισμούς είτε με αυτόν εδώ, αποδεικνύονται για τους ακέραιους όλες οι γνωστές ιδιότητες των ανισοτήτων.  Η ισχύς τους ανάγεται στην ισχύ των βασικών ιδιοτήτων των ανισοτήτων για φυσικούς αριθμούς. Αναφέρω .

Όταν προσθέσουμε στα δύο μέλη μιας ανισότητας έναν ακέραιο θα προκύψει ομοιόστροφη ανισότητα
Όταν πολλαπλασιάσουμε τα δύο μέλη μιας ανισότητας επί έναν θετικό ακέραιο θα προκύψει ομοιόστροφη ανισότητα
Όταν πολλαπλασιάσουμε τα δύο μέλη μιας ανισότητας επί έναν αρνητικό ακέραιο θα προκύψει ετερόστροφη ανισότητα
Όταν προστίθενται κατά μέλη ομοιόστροφες ανισότητες, προκύπτει ανισότητα ομοιόστροφη με τις αρχικές
Όταν παλλαπλασιάζομε κατά μέλη ομοιόστροφες ανισότητες κα το πρώτο μέλος της μιας και το δεύτερο της άλλης είναι θετικά, προκύπτει ανισότητα ομοιόστροφη προς τις αρχικές.
Όταν παλλαπλασιάζομε κατά μέλη ομοιόστροφες ανισότητες και το πρώτο μέλος της μιας και το δεύτερο της άλλης είναι αρνητικά, προκύπτει ανισότητα ετερόστροφη προς τις αρχικές.
Όταν πολλαπλασιάζομε κατά μέλη ομοιόστροφες ανισότητες και δεν μπορεί να βεβαιωθεί ούτε ότι ισχύει η πρώτη, ούτε ότι ισχύει η δεύτερη από τις προηγούμενες περιπτώσεις, τότε μπορεί να προκύψει, είτε ανισότητα ομοιόστροφη προς τις αρχικές είτε ανισότητα ετερόστροφη προς τις αρχικές, είτε ισότητα.

-Μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι για χ,ψ ακέραιους ισχύει
(-χ).ψ = -(χ.ψ)
(-χ).(-ψ) = χ.ψ και ειδικότερα
(-χ)2 = χ2
επαληθεύοντας τις ισότητες όταν χ, ψ είναι θετικοί ακέραιοι[χ=(α,0) και ψ=(β,0)], όταν ο ένας είναι θετικός και ο άλλος αρνητικός και όταν είναι και ο χ και ο ψ είναι και οι δύο αρνητικοί [χ= (0,α) και ψ = (0,β)]. Στην περίπτωση που ένας τουλάχιστον από τους χ, ψ είναι 0 οι ισότητες προφανώς αληθεύουν.

- Στους ακέραιους εισάγεται και η έννοια της απόλυτης τιμής. Η απόλυτη τιμή του ακέραιου χ ισούται με τον χ αν ο χ είναι θετικός ακέραιος ή 0, και με (-χ) όταν ο ακέραιος χ είναι αρνητικός. Θυμίζω ότι οι θετικοί ακέραιοι και ο ακέραιος 0 μπορεί να θεωρηθούν φυσικοί αριθμοί.

- Το άθροισμα ενός θετικού ακεραίου α και ενός αρνητικού ακεραίου β είναι
θετικός,  αν  α > της απόλυτης τιμής του β
αρνητικός, αν   α < της απόλυτης τιμής του β
0, αν α = απόλυτη τιμή του β

-Η ταυτότητα της διαίρεσης προσαρμόζεται για τους ακεραίους ως εξής:
Αν α, β είναι ακέραιοι αριθμοί και ο β δεν είναι 0, υπάρχει πάντοτε για κάθε ζεύγος ακεραίων αριθμών α, β ένα μοναδικό ζεύγος ακεραίων π, υ με τον υ θετικό ακέραιο ή 0 ώστε να ισχύει
α = β.π +υ και υ < της απόλυτης τιμής του β
(ταυτότητα της διαίρεσης για τους ακέραιους).

- Είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι οι ακέραιοι ικανοποιούν όλες τις ιδιότητες των σωμάτων για τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού εκτός την ιδιότητα Β5.
Η ισχύς των ιδιοτήτων ανάγεται στην ισχύ των ιδιοτήτων για τις ίδιες πράξεις μεταξύ φυσικών αριθμών και αποδεικνύεται εύκολα αν οι ακέραιοι παρασταθούν ως ζεύγη φυσικών αριθμών.
Για παράδειγμα η αντιμεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού.
Αν χ, ψ είναι ακέραιοι και χ = (α,β)  ψ = (γ,δ) όπου α,β,γ,δ είναι φυσικοί τότε
χ + ψ = (α+γ, β+δ)  και χ.ψ = (αγ+βδ, αδ+βγ) και αντίστοιχα
ψ + χ = (γ+α, δ+β)  και ψ.χ = (γα+δβ, (γβ+δα)
Προφανώς είναι χ+ψ = ψ+χ αφού για τους φυσικούς α, β, γ, δ, ισχύει
α+γ = γ+α   και    β+δ = δ+β
Το ίδιο ισχύει και για τη μεταθετικότητα του πολλαπλασιασμού (προφανώς είναι χψ = ψχ), αλλά και για τις άλλες ιδιότητες.
Επομένως οι ιδιότητες αυτές ισχύουν για ακέραιους αριθμούς και κατά συνέπειαν ισχύουν για τους ακέραιους αριθμούς όλοι οι κανόνες που τηρούμε στον αλγεβρικό λογισμό και φυσικά όλες οι ταυτότητες. Όμως επαναλαμβάνουμε, δεν ικανοποιείται η ιδιότητα Β5 των σωμάτων, δηλαδή με την εξαίρεση του -1 και του 1, οι μη μηδενικοί ακέραιοι δεν έχουν αντίστροφο και για αυτόν το λόγο οι ακέραιοι δεν αποτελούν σώμα. Έχουν όμως ενδιαφέρουσα δομή.

Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός στο σύνολο των ακεραίων ικανοποιούν τις ιδιότητες
- Α1, Α2, Α3, Α4
(άρα είναι οι ακέραιοι αντιμεταθετική ομάδα ως προς την πρόσθεση)
- Β1 (επιμεριστικότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση) και
- Β2 (προσεταιριστικότητα του πολλαπλασιασμού)
Οι 6 παραπάνω ιδιότητες χαρακτηρίζουν ένα σύνολο ως δακτύλιο Οι ακέραιοι αποτελούν δακτύλιο ως προς την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό.

Πέραν αυτών
- Ο πολλαπλασιασμός ακεραίων είναι μεταθετικός και έχει ουδέτερο στοιχείο . Δακτύλιος με αντιμεταθετικό τον πολλαπλασιασμό και ουδέτερο πολλαπλασιαστικό στοιχείο λέγεται
μεταθετικός δακτύλιος με μοναδιαίο
- Θυμίζουμε ότι οι ακέραιοι δεν έχουν διαιρέτες του μηδενός.
Ένας μεταθετικός δακτύλιος με μοναδιαίο χωρίς διαιρέτες του μηδενός αποτελεί ακέραια περιοχή. Αποτελούν επομένως οι ακέραιοι, ακέραια περιοχή.
Στις ακέραιες περιοχές ισχύει ο νόμος της διαγραφής και για τον πολλαπλασιασμό, φυσικά υπό τον όρο ότι ο διαγραφόμενος κοινός παράγοντας των δύο μελών μιας ισότητας δεν είναι ίσος με 0.

Ενδιαφέρον είναι ακόμη ότι
μια ακέραια περιοχή με άπειρο πλήθος στοιχείων μπορεί να επεκταθεί σε σώμα, και
μια ακέραια περιοχή με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων είναι σώμα.

Είπαμε όμως ότι οι ακέραιοι αποτελούν ακέραια περιοχή με άπειρα στοιχεία που μπορεί να επεκταθεί σε σώμα. Από την ακέραια περιοχή των ακεραίων κατασκευάζεται το σώμα των ρητών αριθμών



5. Από τον δακτύλιο Ζ των ακεραίων στο σώμα Q των ρητών αριθμών. - Πρώτα σώματα

Ξεκινώντας από τον δακτύλιο και ακέραια περιοχή των ακεραίων αριθμών Ζ θα κατασκευάσουμε με βάση τον Ζ ένα σύνολο Q στο οποίο θα επεκταθούν οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού ακεραίων ώστε να καταστούν εσωτερικές του πράξεις και το οποίο αφ’ ενός θα είναι σώμα ως προς αυτές τις πράξεις, αφ ετέρου θα περιλαμβάνει ένα γνήσιο υποσύνολό του που θα είναι ισόμορφο προς το Ζ.

Θεωρούμε ως νέους αριθμούς τα ζεύγη ακεραίων αριθμών (α,β) με β διάφορο του 0, ορίζουμε ότι

(α,β) = (γ,δ) όταν και μόνον όταν α.δ = β.γ  (1)

όπου α, β, γ, δ είναι ακέραιοι και οι β, δ δεν είναι 0.
Προκύπτει αμέσως ότι αν και ε, ζ είναι ακέραιοι και  ο ζ δεν είναι 0 και
(α,β) = (γ,δ)    και   (γ,δ) = (ε,ζ)  τότε θα ισχύει  και
(α,β) = (ε,ζ)
Αυτό μας επιτρέπει να πούμε ότι ζεύγη ίσα μεταξύ τους την συνθήκη (1), παριστάνουν τον ίδιο αριθμό.

Στο σύνολο των νέων αριθμών ορίζουμε εσωτερικές διμελείς πράξεις.

(α,β) + (γ,δ) = (αδ+βγ, βδ)
(α, δ).(β, γ) = (αγ, βδ)

Το + ανάμεσα στα ζεύγη σημαίνει πρόσθεση των νέων αριθμών ενώ το + στα στοιχεία ενός ζεύγους σημαίνει πρόσθεση ακεραίων. Τα ίδια ισχύουν και για το σημείο του πολλαπλασιασμού.
Είναι εύκολο να διαπιστώσουμε ότι στις πράξεις αυτές αν οποοιοδήποτε από τα δύο ζεύγη αντικατασταθεί από ζεύγος που παριστάνει τον ίδιο αριθμό σύμφωνα με τον ορισμό ισότητας, θα προκύψει αποτέλεσμα ίσο με το αρχικό. Οι πράξεις είναι καλά ορισμένες. Τα ζεύγη θα τα λέμε κλάσματα και τον αριθμό που περιστάνουν όλα τα κλάσματα τα ίσα προς δοθέν θα τον λέμε ρητό αριθμό.

Αμέσως μπορεί να παρατηρηθεί ότι ισχύει και για την πρόσθεση και για τον πολλαπλασιασμό ή αντιμεταθετική ιδιότητα αφού ισχύει στην πρόσθεση και στον πολλαπλασιασμό ακεραίων. Εύκολα διαπιστώνεται και η προσεταιριστικότητα των δύο πράξεων και η επιμεριστικότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση.
Για να το δείξουμε αρκεί να πάρουμε τρεις "νέους" αριθμούς Α = (α,β), Γ = (γ,δ),  Χ = (χ,ψ) και να κάνουμε τις πράξεις με βάση τους ορισμούς. Θα διαπιστωθεί εύκολα ότι

Α+Γ = Γ+Α , ΑΓ = ΓΑ
(Α+Γ)+Χ = Α+(Γ+Χ) (ΑΓ)Χ = Α(ΓΧ)
(Α+Γ)Χ = ΑΧ+ΓΧ

Η ισχύς αυτών των ιδιοτήτων των πράξεων  για τους ρητούς αριθμούς ανάγεται στην ισχύ τους  για τους ακέραιους αριθμούς και τελικά στην ισχύ τους για τους φυσικούς αριθμούς 

Εύκολα επίσης διαπιστώνουμε ότι (0,1) = (0,2) = (0,3) = ….  = (0,-1) = (0,-2) = .....και ότι
(α,β) + (0,1) = (α,β) και επομένως ο αριθμός (0.1) είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης. Τον (0, 1) και τους ίσους του θα τους συμβολίζουμε 0.
Επίσης αν β διάφορο του 0, (α,β) + (-α,β) = (0,β) = 0 και επομένως ο κάθε αριθμός (α,β) έχει αντίθετο.
Αν τώρα πάμε στον πολλαπλασιασμό διαπιστώνουμε πρώτα ότι
(1,1) = (α,α) για κάθε ακέραιο α διάφορο του 0, και ότι αν β διάφορο του 0
(α,β).(1,1) = (α,β) και επομένως ο (1,1) είναι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού. Τον (1,1) και τους ίσους του τους συμβολίζουμε 1.
Επίσης αν α, β διάφοροι του 0 τότε (α,β).(β,α) = (αβ, βα) = 1 και επομένως ο τυχών μη μηδενικός αριθμός (α, β) έχει αντίστροφο.
Έστω ένα κλάσμα (α, β) με τους ακέραιους α, β σχετικώς πρώτους. Λέμε το κλάσμα (α,β) ανάγωγο. Είναι εύκολο να δούμε ότι όλα τα κλάσματα  τα ίσα προς το ανάγωγο κλάσμα (α, β) είναι της μορφής (λα, λβ) όπυ ο λ είναι ακέραιος διάφορος του 0. Όλοι τα κλάσματα τα ίσα με το ανάγωγο (α,β) μπορεί να αντικατασταθούν στις πράξεις από το(α,β). Το ανάγωγο (α,β) είναι ίσο με το επίσης ανάγωγο (-α, -β). Το ένα έχει θετικό δεύτερο στοιχείο και το άλλο αρνητικό. Και το αποτέλεσμα (χ,ψ) μιας πράξης μπορεί να αναχθεί σε ανάγωγο κλάσμα (χ΄,ψ΄) ίσο προς τον (χ,ψ).
Αν θεωρήσουμε τώρα το σύνολο των αναγώγων κλασμάτων (χ,ψ) με ψ θετικό, μπορούμε να δούμε ότι έχει όλες τις παραπάνω ιδιότητες.

Με τα παραπάνω δείξαμε ότι το σύνολο των  αναγώγων κλασμάτων  (χ,ψ) με ψ θετικό, είναι σώμα ως προς τις πράξεις του πολλαπλασιασμού και της πρόσθεσης (με την προσθήκη της απλοποίησης του αποτελέσματος ώστε το τελικό αποτέλεσμα να μετατραπεί σε ανάγωγο κλάσμα με θετικό παρονομαστή, έτσι ώστε να είναι η πράξη του πολλαπλασιασμού και της πρόσθεσης εσωτερικές πράξεις αυτού του συνόλου).

Κάνουμε τη σύμβαση να γράφουμε α/β αντί (α,β).

Είναι εύκολο να αντιληφθούμε τα ανάγωγα κλάσματα α/β με β θετικό ακέραιο μπορούν να εκπροσωπούν  το σύνολο Q των ρητών αριθμών. Συχνά όμως τις πράξεις μεταξύ ρητών τις κάνουμε και με μη ανάγωγα κλάσματα, ίσα φυσικά με τα ανάγωγα που εκπροσωπούν τους ρητούς. Αν όμως θέλουμε να καταγράψουμε ή να αριθμήσουμε τους ρητούς μπορούμε να καταγράψουμε ή να αριθμήσουμε τα ανάγωγα κλάσματα.
Έχουμε όμως και άλλο τρόπο γραφής των ρητών αριθμών. Αν β ακέραιος ο 1/β είναι ο αντίστροφος του β και τον γράφουμε β^-1 και τον ρητό α/β τον γράφουμε α.β^-1
Υπάρχει και τρίτος τρόπος γραφής. Γράφουμε το δεκαδικό ανάπτυγμα του α/β . Μπορούμε ισοδύναμα να γράψουμε για παράδειγμα και το τριαδικό ή το οκταδικό ή οποιοδήποτε άλλο ανάπτυγμα αλλά χρησιμοποιείται σχεδόν αποκλειστικά το δεκαδικό και σε κάποιες περιπτώσεις το δυαδικό ανάπτυγμα.

Ας απαντήσουμε τώρα σε μερικά ερωτήματα.

1, Περιλαμβάνει το Q ένα γνήσιο υποσύνολό του ισόμορφο με το σύνολο Ζ των ακεραίων αριθμών;

Οι ρητοί αριθμοί της μορφής α/1 αποτελούν ένα γνήσιο υποσύνολο του Q. Αντιστοιχούμε σε κάθε ακέραιο α τον ρητό αριθμό α/1. Η αντιστοίχηση είναι προφανώς 1προς 1. Επιπλέον διατηρεί τις πράξεις αφού ο αντίστοιχος του α+β είναι ο (α+β)/1 = (α/1) + (β/1) και ο αντίστοιχος του (α.β) είναι ο (α.β/1) = (α/1).(β/1).  Άρα το σύνολο των ρητών της μορφής α/1 είναι ισόμορφο με το σύνολο των ακεραίων . Αποτελεί λοιπόν το σύνολο των ρητών επέκταση του συνόλου των ακεραίων. Τους ρητούς της μορφής α/1 τους γράφουμε απλά α.

2. Μπορεί να διαταχθεί ως σώμα το σύνολο Q των ρητών αριθμών;

Αν ορισθεί ως σύνολο Ρ των θετικών στοιχείων του Q το σύνολο των αριθμών ίσων με αριθμούς της μορφής α/β με α, β θετικούς σχετικώς πρώτους, τότε:
Από τους μη μηδενικούς ρητούς χ/ψ και -χ/ψ με ψ θετικό ακριβώς ο ένας ανήκει
Στο Ρ, και
Το άθροισμα και το γινόμενο δύο στοιχείων του Ρ ανήκει στο Ρ.
Επιπλέον (χ/-ψ) = (-χ/ψ) και (-χ/-ψ) = (χ/ψ) .
Άρα οι ρητοί διατάσσονται .

Θυμίζω ότι χ/ψ > α/β σημαίνει το άθροισμα (χ/ψ) + (-α/β) είναι θετικό. Άμεσο συμπερασμα είναι ότι τα θετικά στοιχεία είναι μεγαλύτερα από το 0 και από τα αρνητικά στοιχεία και το 0 είναι μεγαλύτερο από τα αρνητικά στοιχεία.
Σε κάθε σώμα που μπορεί να διαταχθεί το 1 ανήκει στα θετικά στοιχεία. Θετικός είναι επομένως και ο 2 = 1+1 και ο 3 = 2+1 και όλοι οι θετικοί ακέραιοι.
Αν ο Ν είναι θετικός ακέραιος είναι και θετικός ρητός, και ο ρητός -1/Ν δεν μπορεί να ανήκει στους θετικούς ρητούς γιατί τότε θα ανήκε στους θετικούς και ο Ν.(-1/Ν) = -1 και αυτό δεν ισχύει. Θετικός επομένως θα είναι ο 1/Ν αλλά και ο μ.(1/Ν) = μ/Ν όταν και ο μ είναι θετικός ακέραιος. Φυσικά τότε ο ρητός –μ/Ν θα είναι αρνητικός.

Μπορούμε εύκολα να αποδείξουμε ότι για χ, ψ ρητούς ισχύει

-(-χ) = χ
(-χ).ψ = -(χ.ψ)
(-χ).(-ψ) = χ.ψ και ειδικότερα
(-χ)2 = χ2

αντικαθιστώντας τους χ, ψ με ζεύγη ακεραίων.

Σε ότι αφορά τις βασικές ιδιότητες των ανισοτήτων έχουμε

- Αν οι ακέραιοι α, β όπου β διάφορος του 0 είναι θετικοί, τότε ο ρητός (α/β) είναι θετικός
αν ο ένας είναι θετικός και ο άλλος αρνητικός τότε ο ρητός α/β είναι αρνητικός
αν και ο α και ο β είναι αρνητικοί τότε ο ρητός α/β είναι θετικός
αν ο α είναι 0 τότε ο ρητός α/β είναι 0
- Αν οι ακέραιοι α, β, γ, δ είναι θετικοί τότε ισχύει (α/β)  > (γ/δ) αν και μόνο αν είναι α.δ > β.γ
Αυτό αναγάγει τις ανισότητες μεταξύ ρητών σε ισοδύναμες ανισότητες μεταξύ ακεραίων.
- Όταν προσθέσουμε στα δύο μέλη μιας ανισότητας έναν ρητό θα προκύψει ομοιόστροφη ανισότητα
- Όταν πολλαπλασιάσουμε τα δύο μέλη μιας ανισότητας επί έναν θετικό ρητό θα προκύψει ομοιόστροφη ανισότητα
- Όταν πολλαπλασιάσουμε τα δύο μέλη μιας ανισότητας επί έναν αρνητικό ρητό θα προκύψει ετερόστροφη ανισότητα
- Όταν προστίθενται κατά μέλη ομοιόστροφες ανισότητες, προκύπτει ανισότητα ομοιόστροφη με τις αρχικές
- Όταν παλλαπλασιάζομε κατά μέλη ομοιόστροφες ανισότητες και το πρώτο μέλος της μιας και το δεύτερο της άλλης είναι θετικά, προκύπτει ανισότητα ομοιόστροφη προς τις αρχικές.
- Όταν παλλαπλασιάζομε κατά μέλη ομοιόστροφες ανισότητες και το πρώτο μέλος της μιας και το δεύτερο της άλλης είναι αρνητικά, προκύπτει ανισότητα ετερόστροφη προς τις αρχικές.
- Όταν πολλαπλασιάζομε κατά μέλη ομοιόστροφες ανισότητες και δεν μπορεί να βεβαιωθεί ούτε ότι ισχύει η πρώτη, ούτε ότι ισχύει η δεύτερη από τις προηγούμενες περιπτώσεις, τότε μπορεί να προκύψει, είτε ανισότητα ομοιόστροφη προς τις αρχικές είτε ανισότητα ετερόστροφη προς τις αρχικές, είτε ισότητα.

Εισάγεται ακόμη και για τους ρητούς η έννοια της απόλυτης τιμής με τον ίδιο τρόπο που εισάγεται για τους ακέραιους. Η απόλυτη τιμή του ρητού χ ισούται με τον χ αν ο χ είναι θετικός ή 0, και με (-χ) όταν ο ρητός χ είναι αρνητικός.

Θα αναφέρουμε τέλος δύο ιδιότητες.
Η πρώτη είναι η αρχιμήδεια ιδιότητα των ρητών αριθμών.
Αν ρ και Μ είναι οποιοιδήποτε θετικοί ρητοί αριθμοί τότε υπάρχει ακέραιος θετικός αριθμός Ν ούτως ώστε να ισχύει ν.ρ > Μ για κάθε ακέραιο ν μεγαλύτερο του Ν. Η ιδιότητα αυτή είναι απόρροια του ότι από κάθε φυσικό αριθμό υπάρχει μεγαλύτερος του, και η απόδειξή της στο ότι δεν υπάρχει μέγιστος φυσικός στηρίζεται.
Πράγματι αν θέσουμε ρ= α/β και Μ = γ/δ, η σχέση ν.ρ > Μ ισοδυναμεί με την ν.α.δ > β.γ που αληθεύει για ν > β.γ .

Η δεύτερη  είναι ότι ισχύει οι ρητοί αριθμοί είναι πυκνό σύνολο ή ακριβέστερα σύνολο πυκνό εν εαυτώ.
Αύτό δεν ισχύει ούτε για τους φυσικούς ούτε για τους ακέραιους και σημαίνει ότι μεταξύ δύο άνισων ρητών α, β υπάρχει πάντοτε ένας άλλος ρητός, [παράδειγμα, ο (α+β)/2 ], και επομένως υπάρχουν άπειροι ρητοί.
Παρά αυτά, και οι ρητοί αριθμοί μπορεί να αριθμηθούν


3. Υπάρχει γνήσιο υποσύνολο του Q που αποτελεί σώμα ως προς τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού ρητών αριθμών;

Η απάντηση είναι ΟΧΙ.  Δεν υπάρχει σώμα, γνήσιο υποσώμα του Q.
Στο τυχόν υποσώμα του Q  περιλαμβάνονται οι φυσικοί αριθμοί 0 και 1. Στους φυσικούς είναι 1 > 0 και α+1 >α για κάθε φυσικό αριθμό α και επομένως υπάρχουν άπειροι φυσικοί αριθμοί. Ένα σώμα περιλαμβάνει αναγκαστικά μαζί με τον φυσικό 1 και τον 1+1 =2, και τον 2+1 =3 και τον 3+1 =4 και ούτω καθεξής. Περιλαμβάνει έτσι κάθε θετικό φυσικό β. Μαζί όμως με κάθε κάθε θετικό φυσικό β περιλαμβάνει και τον 1/β. Και αν α είναι ένας άλλος ακέραιος θετικός περιλαμβάνει και τον α και μαζί με τον α και τον 1/β περιλαμβάνει και τον (α/1).(1/β) = α/β . Περιλαμβάνει επομένως αναγκαστικά όλους τους θετικούς ρητούς α/β . Περιλαμβάνει όμως και τον μηδέν και επιπλέον περιλαμβάνει αναγκαστικά μαζί με τους θετικούς ρητούς και τους αντίθετούς τους. Περιλαμβάνει επομένως όλους τους ρητούς αριθμούς και έτσι επομένως δεν είναι γνήσιο υποσύνολο του Q.



Οι ρητοί αριθμοί δεν έχουν υποσώματα. Ένα σώμα που δεν έχει υποσώματα λέγεται πρώτο. Οι ρητοί είναι πρώτο σώμα.
Κάθε σώμα που δεν είναι πρώτο περιέχει υποσώματα. Η τομή Β όλων των υποσωμάτων του είναι πρώτο σώμα. Τα υπόλοιπα υποσώματά του δεν είναι πρώτα αφού περιέχουν το Β. Αυτό σημαίνει ότι κάθε σώμα περιέχει ένα μοναδικό υποσώμα πρώτο.


6. Ποια πρώτα σώματα υπάρχουν; -  Η μοναδικότητα του σώματος Q των ρητών αριθμών

Είδαμε ότι οι ρητοί αριθμοί αποτελούν πρώτο σώμα. Θα δούμε τώρα κάτι άλλο.

Ας θεωρήσουμε τους ακέραιους 0,1,2,3,4,5 ως δυνατά υπόλοιπα της διαίρεσης ενός ακεραίου δια 6 και ας ονομάσουμε το σύνολο αυτών των αριθμών Ζ6.
Ορίζουμε πράξεις στο Ζ6

α+β = το υπόλοιπο της διαίρεσης του (α+β) δια 6
α.β = το υπόλοιπο της διαίρεσης του (α.β) δια 6

Να διευκρινίσουμε ότι τα αθροίσματα και τα γινόμενα μπορεί να οριστούν με έναν πίνακα χωρίς καμία αναφορά και χρήση άλλων αριθμών εκτός των αριθμών 0, 1, 2, 3, 4, 5. Ο τρόπος όμως που ορίζουμε τις πράξεις αφ’ ενός είναι ισοδύναμος με τον ορισμό με χρήση πινάκων πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού, αφ’ ετέρου διευκολύνει τη διαπραγμάτευση του θέματος.
Διαπιστώνουμε εύκολα ότι
- Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός είναι πράξεις προσεταιριστικές
- Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός είναι πράξεις αντιμεταθετικές
- Ο πολλαπλασιασμός είναι πράξη επιμεριστική ως προς την πρόσθεση
- Η πρόσθεση έχει ουδέτερο στοιχείο τον αριθμό τον 0
- Κάθε αριθμού υπάρχει αντίθετος (του 0 ο μηδέν, του 1 ο πέντε, του 2 ο τέσσερα, του 3 ο τρία, του 4 ο δύο, του 5 ο ένα)
- Ο πολλαπλασιασμός έχει ουδέτερο στοιχείο τον 1
- Ο 1 και ο 5 (5.5 =1 στο Ζ6), έχουν αντίστροφο αλλά ο 2, ο 3, και ο 4 δεν έχουν.
- Στο σύνολο υπάρχουν μηδενοδιαιρέτες αφού 2.3 =0 και 3.4 =0 και κανείς από τους αριθμούς 2,3,4 δεν είναι ίσος με 0

Το Ζ6 είναι επομένως δεν είναι σώμα αλλά ούτε καν ακεραία περιοχή . Είναι αντιμεταθετικός δακτύλιος με πολλαπλασιαστικό μοναδιαίο αλλά και με μηδενοδιαιρέτες.

Αν αντί για το Ζ6 πάρουμε το Ζ7 με στοιχεία τους αριθμούς 0,1,2,3,4,5,6 και ορίσουμε στο Ζ7

α+β = το υπόλοιπο της διαίρεσης του (α+β) δια 7
α.β = το υπόλοιπο της διαίρεσης του (α.β) δια 7


διαπιστώνουμε εύκολα ότι

- Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός είναι πράξεις προσεταιριστικές
- Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός είναι πράξεις αντιμεταθετικές
- Ο πολλαπλασιασμός είναι πράξη επιμεριστική ως προς την πρόσθεση
- Η πρόσθεση έχει ουδέτερο στοιχείο τον αριθμό τον 0
- Κάθε αριθμού υπάρχει αντίθετος
- Ο πολλαπλασιασμός έχει ουδέτερο στοιχείο τον 1
- Κάθε στοιχείου εκτός του 0 υπάρχει αντίστροφο

Χρειάζεται να διευκρινίσω μόνο το τελευταίο.
2.4 = το υπόλοιπο της διαίρεσης του 8 δια 7 = 1 , άρα ο 2 και ο 4 είναι μεταξύ τους αντίστροφοι
3.5 = το υπόλοιπο της διαίρεσης του 15 δια 7 = 1 , άρα ο 3 και 5 είναι μεταξύ τους αντίστροφοι
6.6 = το υπόλοιπο της διαίρεσης του 36 δια 7 = 1 , άρα ο 6 είναι και αντίστροφοις του εαυτού του .
Ο αντίστροφος του 1 είναι ο 1

Τα συμπέρασμα είναι ότι
Το Ζ7 είναι σώμα με τις παραπάνω πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού.
Όμως:

-Το Ζ7  δεν είναι διατεταγμένο σώμα. 
Αν ήταν διατεταγμένο, τότε στο υποσύνολο Ρ των θετικών αριθμών του θα ανήκε ο 1 και επομένως και ο 1+1 =2 και ο 2+1 = 3 και ο 3+1 = 4 και ο 4+1 =5 και ο 5+1 =6 και ο 6+1 = 0 και αυτό αντίκειται στο ότι στο Ρ ανήκουν απαραιτήτως μη μηδενικά στοιχεία

-Το Ζ7 είναι πρώτο σώμα
Κάθε υποσύνολό του που είναι σώμα περιλαμβάνει το 0, το 1 το 1+1=2, το 2+1 =3 και τελικά όλα τα στοιχεία του Ζ7 και επομένως δεν είναι γνήσιο υποσύνολο του Ζ7.

- Πρώτο αλλά μη διατεταγμένο σώμα αποτελεί κάθε Ζp  με p  πρώτο αριθμό
Τα στοιχεία του είναι οι αριθμοί 0,1,…, (p -1)
Οι πράξεις ορίζονται ως έξής:

α+β = το υπόλοιπο της διαίρεσης του (α+β) δια p
α.β = το υπόλοιπο της διαίρεσης του (α.β) δια p

Εύκολα διαπιστώνεται είναι μεταθετικός δακτύλιος με πολλαπλασιαστικό μοναδιαίο.
Μπορούμε να δούμε ότι

- Το Ζp  δεν έχει μηδενοδιαιρέτες και άρα είναι ακεραία περιοχή
Αν α.β = 0 στο Ζp   τότε α.β = πολλαπλάσιο του p  στο Ζ. Αφού όμως ο p  είναι πρώτος αυτό σημαίνει ότι ο τουλάχιστον ο ένας από τους α, β είναι πολλαπλάσιο του p . Το μοναδικό όμως πολλαπλάσιο του Ρ μεταξύ των στοιχείων του Ζp είναι ο 0.

- Το Ζp  είναι σώμα
Κάθε πεπερασμένη ακεραία περιοχή είναι σώμα. Ας το δούμε:

Έστω α ένα στοιχείο του Ζp διάφορο του 0. Τότε τα γινόμενα
(α.1), (α.2), …. α.(Ρ-1) είναι διάφορα του 0 αφού το Ζp  δεν έχει μηδενοδιαιρέτες. Είναι όμως και διαφορετικά ανά δύο αφού αν στο Ζp  ίσχυε α.κ = α.λ με κ, λ μη μηδενικά στοιχεία και στο Ζ ίσχυε λ > κ θα είχαμε
α.(λ-κ) = 0 στο Ζp  και
α.(λ-κ) = πολλαπλάσιο του p με p πρώτο ακέραιο και α, (λ-κ) θετικούς μικρότερους του Ρ στο Ζ , όπερ άτοπον.
Αφού είναι όμως μη μηδενικά στοιχεία του Ζp  και έχουν πλήθος ίσο με (Ρ-1), όσο και το πλήθος των μη μηδενικών στοιχείων του Zp , κάποιο από αυτά τα γινόμενα ισούται με 1. Άρα υπάρχει στοιχείο αντίστροφο του τυχαίου μη μηδενικού α και επομένως το Ζp  είναι σώμα.

Μήπως  όμως υπάρχουν και άλλα πρώτα σώματα; 

Εννοούμε αλλά από το σώμα των ρητών αριθμών και από τα σώματα Ζp  με p  θετικό πρώτο ακέραιο αριθμό.
Η απάντηση είναι ΟΧΙ. Κάθε πρώτο σώμα με άπειρα στοιχεία είναι ισόμορφο με το σώμα των ρητών αριθμών και κάθε πεπερασμένο πρώτο σώμα είναι ισόμορφο με κάποιο Ζp  και επομένως ο αριθμός των στοιχείων του είναι αριθμός πρώτος. Ας το δούμε.

Αν σε ένα σώμα το 1 είναι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού, και το άθροισμα

1+1+1+1+ .... +1 περιλαμβάνει μ προσθετέους (ο μ είναι θετικός φυσικός αριθμός και όχι κατ' αναγκην στοιχείο του σώματος )

τότε  ορίζεται αυτό το άθροισμα ως το γινόμενο μ.1 [Το + στο άθροισμα είναι το σύμβολο της προσθετικής πράξης στο σώμα. Το επί στο μ.1 αναφέρται σε εξωτερικό πολλαπλασιασμό αφού το μ είναι θετικός φυσικός αριθμός ενώ το 1 είναι στοιχείο του τυχαίου σώματος που εξετάζουμε].

Αν α είναι ένα άλλο μη μηδενικό στοιχείο από το σώμα, τότε για το άθροισμα μ προσθετέων με τον καθένα ίσο με α, εχω

α+α+α+....+α = α.1 +α.1+.... +α.1= α.(1+1+1+ ....+1)  = α.(μ.1)

Και επειδή το α δεν είναι 0 το άθροισμα μ προσθετέων ίσων προς α, μηδενίζεται τότε και μόνον τότε, όταν μηδενίζεται το άθροισμα μ προσθετέων ίσων πρός 1 ή αλλιώς όταν μηδενίζεται το εξωτερικό γινόμενο μ.1
Τα ίδια θα μπορούσαμε να πούμε όχι μόνο για σώμα αλλά και για ακέραια περιοχή .

Αν το σύνολο Α είναι σώμα ή ακέραια περιοχή,  
τότε τον ελάχιστο θετικό φυσικό αριθμό μ για τον οποίο ισχύει μ.1 =0 τον λέμε χαρακτηριστική του σώματος ή της ακέραιας περιοχής .
Αν το γινόμενο αυτό δεν μηδενίζεται για καμιά τιμή του θετικού φυσικού μ,
τότε λέμε ότι το σώμα ή η ακέραια περιοχή έχει χαρακτηριστική 0.



Το Ζ60 δεν είναι σώμα, ούτε ακέραια περιοχή αφού έχει μηδενοδιαιρέτες (6.10=0, ενώ ούτε ο 6 ούτε ο 10 είναι ίσος με 0). Αν ορίζαμε χαρακτηριστική για δακτύλιους θα είχε χαρακτηριστική ίση με 60 (σύνθετο αριθμό)
Το Ζ7 έχει χαρακτηριστική 7, το  Ζ31 έχει χαρακτηριστική 31, το Ζp έχει χαρακτηριστική p (p θετικός πρώτος), και τα Ζp με p πρώτο αποτελούν και ακέραιες περιοχές και σώματα.

Οι ακέραιοι αποτελούν ακέραια περιοχή με χαρακτηριστική ίση προς 0. Η ακέραια περιοχή τους περιλαμβάνει  άπειρα στοιχεία και  μπορεί να επεκταθεί  στο σώμα των ρητών αριθμών.

Λέω ότι

α) Η χαρακτηριστική ενός σώματος και μιας ακέραιας περιοχής είναι ή 0 ή πρώτος αριθμός

Αν η χαρακτηριστική μιας ακέραιας περιοχής ή ενός σώματος Φ ισούται με Ν =(μ.ν) με μ, ν ακεραίους μεγαλύτερους του 1 τότε:

     μ < μ.ν =Ν     και   ν < μ.ν =Ν 


Αν 1 είναι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού στο σώμα ή στην ακέραια περιοχή  Φ και

α = μ.1 = το άθροισμα μ προσθετέων του Φ, κάθε ένας από τους οποίους ισούται με 1 και
β = ν.1 = το άθροισμα ν προσθετέων του Φ, κάθε ένας από τους οποίους ισούται με 1, τότε

Ούτε  ο α ούτε ο β είναι ίσοι με το 0 του Φ αφού είναι μ <  Ν  και  ν < Ν      και  

α.β = (1+1+ ..... +1).(1+1+ .... +1)
όπου στην πρώτη παρένθεση υπάρχουν μ προσθετέοι και στη δεύτερη υπάρχουν ν προσθετέοι με  τον κάθε ένα προσθετέο ίσο με τον 1 του Φ.

Εκτελώντας τον πολλαπλασιασμό επιμεριστικά θα βρούμε

α.β = (1+1+ ...... +1) όπου στην παρένθεση υπάρχουν τώρα μ.ν  = Ν προσθετέοι  με τον κάθε ένα προσθετέο ίσο με τον 1 του Φ.  Επομένως

α.β = 0 (ο μηδέν του Φ)

Αυτό όμως είναι άτοπο γιατί ούτε ο α ούτε ο β είναι ίσοι με 0 και το Φ είναι ή σώμα ή ακέραια περιοχή.


β) Κάθε πρώτο σώμα Φ με χαρακτηριστική p (p θετικός πρώτος), είναι ισόμορφο με το σώμα Ζp . 

Έστω Φ ένα πρώτο σώμα με χαρακτηριστική p, όπου p πρώτος αριθμός, 1 το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού στο Φ, ν ένας φυσικός αριθμός και
α = ν.1 = το άθροισμα (1+1+ ..... +1)  με ν προσθετέους ίσους προςτον 1 του Φ.

Θυμίζω ότι το άθροισμα p προσθετέων του Φ ίσων με τον 1 του Φ, είναι ίσο με τον 0 του Φ.

Είναι εύκολο να δούμε ότι αν ν = κ p + υ με κ, υ φυσικούς και υ < p, τότε α = υ.1

Επομένως στοιχεία του Φ είναι τα
0, 1, (2.1), (3.1), ....... (p-1).1
Οι αντίθετοι, οι αντίστροφοί, το άθροισμα ή το γινόμενο κάποιων από αυτά τα στοιχεία είναι πάλι κάποια από αυτά τα στοιχεία.  Αυτά τα στοιχεία αποτελούν ένα σύνολο Φ΄, υποσύνολο εν γένει του Φ. Το Φ΄ αποτελεί επομένως  σώμα για τις ίδιες πράξεις για τις οποίες και το Φ αποτελεί σώμα. Είναι άρα υποσώμα του Φ.
Μπορούμε να αντιστοιχήσουμε στον υ του Ζp το στοιχείο α = υ.1 του Φ΄. Η αντιστοίχηση αυτή, αντιστοιχεί σε κάθε στοιχείο  του Ζp ένα στοιχείο του Φ΄. Επίσης είναι αμφιμονότιμη, καλύπτει όλα τα στοιχεία του Ζp  και του Φ΄,  και διατηρεί τις πράξεις (είναι απλό να αποδειχθεί). Καθιστά επομένως το Ζp ισόμορφο με το Φ΄. Επειδή όμως το Φ είναι πρώτο σώμα δεν μπορεί να έχει γνήσια υποσώματα και γι αυτό είναι  Φ= Φ΄.


γ) Κάθ πρώτο σώμα με χαρακτηριστική 0 είναι ισόμορφο με το σώμα των ρητών αριθμών και

Έστω Ω ένα πρώτο σώμα με χαρακτηριστική 0 και επομένως άπειρα στοιχεία και Q το σώμα των ρητών αριθμών. Τα στοιχεία του Ω θα τα συμβολίζω με κεφαλαία γράμματα. 
Το Ω έχει ΄μοναδιαίο στοιχείο το 1.  Αν μ, ν είναι θετικός φυσικός αριθμός τότε στοιχεία του Ω είναι ως άθροισμα στοιχείων του και και οι αριθμοί  
Μ = μ.1 = (1+ ... +1) όπου στην παρένθεση υπάρχουν μ προσθετέοι, και
Ν  = ν.1 = (1+ ... +1) όπου στην παρένθεση υπάρχουν ν προσθετέοι.
Αν μ< ν τότε (Ν-Μ) =  (1+ ... +1) όπου στην παρένθεση υπάρχουν μ προσθετέοι, και επομένως (Ν-Μ) είναι διάφορο του 0 και άρα Ν είναι διάφορο του Μ.

Ορίζουμε ότι  για τους θετικούς φυσικούς μ, ν θα είναι
(-μ).1 = - (μ.1) = (-Μ)       (-ν).1 = -(ν.1) =  (-Ν)   όπως οι Μ, Ν είναι οι Μ, Ν που αναφέρθηκαν αμέσως πριν και ακόμη ότι
(0.1) = 0  όπου το 0 μέσα στην παρένθεση είναι ο ρητός και ακέραιος 0 και ο 0 στο δεύτερο μέλος είναι ο 0 του Ω
Έτσι στοιχεία το Ω είναι όλοι οι αριθμοί
Α = α.1 με α ρητό ακέραιο και 1 τον 1 του Ω.   Ακόμη  για τον Α = α.1 θα είναι Α = 0 στο Ω αν και μόνο αν α=0 στους ρητούς.
Αντιστοιχώ στον ρητό 1 τον 1 του Ω, στον ρητό 0 τον 0 του Ω, στον ρητό ακέραιο α τον Α = α. 1 του Ω και στον ρητό ακέραιο β τον  Β = β.1 του Ω
Αν β είναι διάφορο του ρητού 0, τότε Β είναι διάφορον του 0 του Ω, άρα υπάρχει ο Β^-1  
Είναι Β^-1  + Β^-1  = (1+1).Β^-1  = 2.Β<sup>-1

Αν Α, Β, Γ, Δ, Ε είναι στοιχεία του Ω  με Α = α.1 , Β=β.1 , Γ=γ.1 , Δ=δ.1 , Ε=ε.1 όπου οι α,β,γ,δ,ε είναι ρητοί ακέραιοι και οι β,γ,δ είναι διάφοροι του ρητού 0 τότε και Β,Γ,Δ είναι διάφοροι του 0 στο Ω και ακόμη</sup> 

α) Ο Α. Β^-1 είναι στοιχείο του Ω

Γράφω 1/Β αντί Β^-1   και Α/Β αντί Α.Β^-1  .

β) (Β. Δ)^-1   = Δ^-1.B^-1
αφού
(Β.Δ). (Δ ^-1 .B^-1) = [(Β.Δ). Δ^-1 ].  B^-1 =  [Β.(Δ. Δ^-1 )].  B^-1 =  (Β.1). B^-1 =  Β.B^-1 =   1

γ) Α/Β = Γ/Δ   αν και μόνο αν  Α.Δ = Β.Γ
αφού 

Α/Β = Α. Β^-1   και Γ/Δ = Γ. Δ^-1  και
 ΑΒ^-1   =   Γ.Δ^-1   συνεπάγεται    ΑΒ^-1.Β=   Β. Γ.Δ^-1   δηλαδή  Α = Β. Γ.Δ^-1   και αυτό συνεπάγεται
Α Δ =  (Β.Γ. Δ^-1).Δ = Β.Γ  λόγω των ιδιοτήτων του σώματος
Το αντίστροφο είναι επίσης εύκολο να δειχθεί με ανάλογο τρόπο.

δ) Α/Β = (Α.Δ)/ (Β.Δ)
αφού
Α.(Β.Δ) = (Α.Δ).Β    λόγω των ιδιοτήτων του σώματος

ε) Α/Β + Ε/ Β = (Α+Ε)/ Β
αφού
Α/Β +Ε/Β =  Α.Β^-1  + Ε. Β^-1    (Α +Ε). Β^-1  = (Α+Ε)/Β

στ) Α/ Β + Γ/Δ  = (ΑΔ+ΒΓ)/Β.Δ
αφού
Α/Β + Γ/Δ = (Α.Δ)/ (Β.Δ) + (Β.Γ)/(Β.Δ) = (Α.Δ +Β.Γ)/ (Β.Δ)

ζ) (Α/Β). (Γ/Δ) = (Α.Γ)/ (Β.Δ)
αφού
(Α/Β). (Γ/Δ) = (Α. Β^-1)(Γ. Δ^-1)  = ....  = (Α.Γ). ( Β^-1. Δ^-1) = (Α.Γ). ( Β.Δ)^--1    = (Α.Γ)/(Β.Δ)
λόγω των ιδιοτήτων του σώματος και ιδιοτήτων που σε αυτήν την παράγραφο αποδείξαμε.

η) ( Γ/Δ)^-1 = (Δ/Γ) 
αφού
(Γ/Δ). (Δ/Γ) = (Γ.Δ)/ (Γ.Δ) = (1/1) σύμφωνα με όσα αποδείξαμε και επομένως ίσο με 1 αφού σε σώμα ισχύει (Χ/1) = X.

Έχοντας αυτά υπόψη αντιστοιχούμε
-στον ρητό ακέραιο α τον Α = α.1 του Ω
-στον  ρητό α/β  (β διάφορο του 0), τον  Α/Β του Ω με Α/Β = (α.1) / (β.1)
-στον 0 των ρητών τον 0 του Ω
-στον 1 των ρητών τον 1 του Ω
-στην πρόσθεση των ρητών την πρόσθεση του Ω
-στον πολλαπλασιασμό των ρητών τον πολλαπλασιασμό του Ω.
Είναι φανερό ότι
- σε κάθε ρητό αντιστοιχεί ένας αριθμός του Ω
- σε δύο διακεκριμένους ρητούς αντιστοιχούν δύο διακεκριμένοι αριθμοί του Ω
- η αντιστοίχηση διατηρεί τις πράξεις αφού ο αντίστοιχος του α/β + γ/δ για παράδειγμα, ισούται με το άθροισμα Α/Β +Γ/Δ στο Ω όπoυ ο Α/Β είναι ο αντίστοιχος του ρητού α/β και ο Γ/Δ είναι ο αντίστοιχος του ρητού γ/δ.

Το σύνολο των στοιχείων του Ω που είναι αντίστοιχα ρητών αριθμών συνιστούν εν γένει ένα υποσύνολο του Ω, έστω το Ω΄ που αποτελεί σώμα ισόμορφο προς το σώμα Q των ρητών αριθμών. Επομένως κάθε σώμα με άπειρα στοιχεία περιλαμβάνει ένα υποσώμα ισόμορφο με το σώμα των ρητών αριθμών.
Ως ισόμορφο με το Q, το Ω΄μπορεί να διαταχθεί. Ως σύνολο θετικών στοιχείων του Ω΄καθορίζονται αναγκαστικά τα στοιχεία του Ω΄ τα αντίστοιχα των θετικών ρητών αριθμών.

Έχουμε όμως και κάτι άλλο. Το Ω είναι πρώτο σώμα. Αν το Ω΄είναι γνήσιο υποσύνολο του Ω τότε  το Ω περιλαμβάνει αλλο σώμα ως υποσώμα και αυτό αντίκειται στο ότι το Ω είναι πρώτο σώμα. Άρα Ω = Ω΄ και επομένως το Ω είναι ισόμορφο με το σώμα  των ρητών αριθμών. Επομένως κάθε πρώτο σώμα με άπειρα στοιχεία είναι ισόμορφο με το σώμα των ρητών αριθμών.
Μπορούμε επομένως να πούμε ότι από αλγεβρική άποψη ένα μόνο πρώτο σώμα με άπειρα στοιχεία υπάρχει. Το σώμα των ρητών αριθμών.

7. Πεπερασμένες , άπειρες αλγεβρικές, και υπερβατικές επεκτάσεις του σώματος Q των ρητών αριθμών.

 α) Πρώτο ερώτημα:

Μπορούμε να επεκτείνουμε το σώμα των ρητών αριθμών έτσι ώστε να δημιουργηθεί ένα νέο σώμα που θα περιλαμβάνει όλους τους ρητούς αλλά και τον άρρητο αριθμό "ρίζα του 2";

Ας πούμε αυτό το ελάχιστο από αυτά τα σώματα  Λ και ας γράφουμε τη "ρίζα 2" ως 2^1/2.
Το  Λ περιλαμβάνει το γινόμενο οποιωνδήποτε στοιχείων του επόμένως και όλα τα ρητά πολλαπλάσια του αριθμού  "ρίζα 2". Περιλαμβάνει έτσι αναγκαστικά όλους του αριθμούς της μορφής β.2^1/2 με β ρητό. Περιλαμβάνει όμως και όλα τα αθροίσματα στοιχείων του και επομένως όλους τους αριθμούς της μορφής (α + β.2^1/2 ) με α,β ρητους.

Λέω ότι
Το Λ, το ελάχιστο σώμα που περιλαμβάνει όλους τους ρητούς και τον αριθμό "ρίζα 2"  είναι το σύνολο όλων των αριθμών της μορφής (α + β.2^1/2 ) με α,β ρητούς.

Έχω ήδη αποδείξει ότι το ζητούμενο σώμα θα περιλαμβάνει όλους αυτούς τους αριθμούς. Αρκεί επομένως να αποδείξω ότι αυτό το  Λ είναι σώμα με εσωτερικές πράξεις τη συνήθη πρόσθεση και το συνήθη πολλαπλασιασμό. Πρέπει φυσικά να ξεκινήσω  από το ότι το άθροισμα και το γινόμενο δύο αριθμών της μορφής (α + β.2^1/2 )  με α,β ρητους, είναι αριθμός της ίδιας μορφής.
Η απόδειξη είναι εύκολη. Προφανές είναι ότι το ότι οι δύο πράξεις είναι εσωτερικές , προφανές είναι ότι έχουν μηδενικό στοιχείο τον ρητο 0 και μοναδιαίο τον ρητό 1, προφανές είναι ότι το 0 = (0+0.2^1/2)  και  1=(1+0.2^1/2), προφανής ή εξαιρετικά εύκολη η απόδειξη ότι τηρούνται οι υπόλοιπες ιδιότητες του σώματος με μόνη εξαίρεση την ύπαρξη πολλαπλασιαστικού αντιστρόφου της ίδιας μορφής.
Για να αποδείξουμε  την ύπαρξή του αρκεί να αποδείξουμε ότι αν οι ρητοί α, β δεν είναι και οι δύο μηδέν, υπάρχουν τότε δύο ρητοί χ,ψ για τους οποίους ισχύει

(α + β.2^1/2).(χ + ψ.2^1/2) = 1

Αυτό είναι ισοδύναμο με το ότι το σύστημα

α.χ + 2β.ψ = 1
β.χ + α.ψ   = 0

Η ορίζουσα των συντελεστών των αγνώστων είναι (α² - 2β² )  καί δεν μηδενίζεται για β διάφορο του 0 γιτί τότε θα ήταν "ρίζα 2" = α/β  δηλαδή ρητός. Μηδενίζεται επομένως μόνο αν β=0 αλλά τότε θα είναι και α= 0 και δεν είναι αυτή η περίπτωσή μας.
Άρα όταν οι ρητοί α, β δεν είναι και οι δύο 0 το σύστημα έχει μία λύση και φυσικά ρητή. Την 
χ= [α /(α² - 2β² )]     ψ =[ (-β) / (α² - 2β² )].

Οι αριθμοί του σώματος Λ μπορεί να θεωρηθούν  διανύσματα διαστάσεως 2 επί του σώματος των ρητών αριθμών. Λέμε ακόμη ότι το σώμα Λ προέκυψε από το σώμα των ρητών με μια επέκταση βαθμού 2.

Έστω χ στοιχείο του Λ. Θα είναι      χ =  α + β.2^1/2        με α,β ρητούς.
Επομένως (χ-α)² = 2β²και άρα
ο χ είναι ρίζα εξίσωσης δευτέρου βαθμού με ρητούς συντελεστές. Αυτό σημαίνει ότι κάθε αριθμός του σώματος του σώματος Λ είναι αλγεβρικός επί του Q, για αυτό λέμε ότι το Λ αποτελεί αλγεβρική επέκταση του Q. Κάθε πεπερασμένη (πεπερασμένου βαθμού) επέκταση σώματος είναι αλγεβρική επέκταση. Υπάρχουν όμως και αλγεβρικές επεκτάσεις απείρου βαθμού.



β) Δεύτερο ερώτημα. 
Μπορούμε να επεκτείνουμε το σώμα Λ έτσι ώστε να διαμορφωθεί ένα νέο σώμα (σώμα με τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού) που θα περιλαμβάνει όλους τους αριθμούς που περιλαμβάνει το σώμα Λ αλλά επιπλέον και τον αριθμό «τρίτη ρίζα του 2» ;


Αν πω Μ το ελάχιστο τέτοιο σώμα και παραστήσω με κεφαλαία ελληνικά γράμματα τους αριθμούς του σώματος Λ τότε μπορώ να πω ότι το Μ θα αποτελείται από όλους τους αριθμούς χ της μορφής

χ = Α + Β.«τρίτη ρίζα του 2» + Γ.«τρίτη ρίζα του 4» (1)

Γιατί αφού περιλαμβάνει τον αριθμό «τρίτη ρίζα του 2» θα περιλαμβάνει και τον αριθμό «τρίτη ρίζα του 2». «τρίτη ρίζα του 2» = «τρίτη ρίζα του 4». Θα περιλαμβάνει φυσικά και κάθε αριθμό Α του σώματος Λ, και κάθε αριθμό Β.«τρίτη ρίζα του 2» με Β αριθμό του σώματος Λ και κάθε αριθμό Γ.«τρίτη ρίζα του 4» με Γ επίσης αριθμό του σώματος Λ. Για να αποδείξω τον ισχυρισμό μου αρκεί να αποδείξω ότι το σύνολο όλων των αριθμών της μορφής (1), είναι σώμα.
Αν αντικαταστήσω στην (1) τους Α, Β, Γ με αριθμούς της μορφής (κ+λ.2^1/2) με κ, λ ρητούς, και θέσω
«έκτη ρίζα του 2» = ω ,
τότε όλοι οι αριθμοί χ του συνόλου Μ θα πάρουν τη μορφή

χ = α +β.ω +γ.ω² +δ.ω³ +ε.ω⁴ + ζ.ω⁵ (2),

όπου α,β,γ,δ,ε,ζ, είναι ρητοί και

ω⁶ = 2

Με αυτήν τη μορφή των αριθμών του Μ γίνεται φανερό ότι το Μ μπορεί να προκύψει απ’ ευθείας με μία μόνο επέκταση του σώματος Q των ρητών αριθμών έτσι ώστε να δηνιουργηθεί το ελάχιστο σώμα που θα περιλαμβάνει και όλους τους ρητούς και την «έκτη ρίζα του 2» = ω. Φυσικά θα περιλαμβάνει και τον αριθμό ω²= «τρίτη ρίζα του 2», ω³= «ρίζα 2», αλλά και τους αριθμούς ω⁴και ω⁵. Φυσικά θα περιλαμβάνει και τις υπόλοιπες δυνάμεις του ω αλλά αυτό εξασφαλίζεται από το ότι αυτές είναι ή ρητοί αριθμοί ή ρητά πολλαπλάσια  μιας από τις 5 πρώτες δυνάμεις του ω. Είναι για παράδειγμα  
ω⁶ = 2,     ω⁷ = 2.ω,     ω²⁹= 16.ω⁵ ,    ω^-1  = ω⁵/ 2   και    ω^-26 =   ω⁴/ ω³⁰ = ω⁴/32 .

Είναι εύκολο να δείξουμε ότι αυτό το Μ είναι σώμα. Το δυσκολότερο σημείο είναι να δείξουμε ότι οι αριθμοί του Μ έχουν αντίστροφους που ανήκουν στο Μ ή ίσοδύναμα, ότι έχουν αντίστροφους της μορφής (2).  Ο τρόπος είναι ο ίδιος που εφαρμόσαμε για να αποδείξουμε το ανάλογο στο σώμα Λ, και η απόδειξη απαιτεί γνώση μόνο της στοιχειώδους θεωρίας συστημάτων εξισώσεων πρώτου βαθμού.

Τα στοιχεία του Μ μπορεί να θεωρηθούν ως στοιχεία ενός εξαδιάστατου διανυσματικού χώρου επί του σώματος Q,  και η επέκτασή από το Q στο Μ είναι επέκταση  έκτου βαθμού


γ) Τρίτο ερώτημα
Ας περάσουμε τώρα στην επέκταση του σώματος  Q των ρητών αριθμών ώστε να σχηματισθεί το ελάχιστο δυνατό σώμα Θ που θα περιελάβανε και τον λ, όπου λ άρρητος αλγεβρικός αριθμός βαθμού ν μεγαλύτερου του 1. Ο λ  θα ήταν ρίζα  μιας εξισωσης νιοστού βαθμού με ακέραιους συντελεστές και δεν θα ήταν ρίζα καμμιάς εξίσωσης με ακεραιους συντελεστές και βαθμό μικρότερο του ν. Θα ταν επομένως  

α_ν.λ^ν + α_ν-1.λ^ν-1 + .... + α_1..λ + α₀ = 0  με  τους συντελεστές ακέραιους και α_ν διάφορο του 0, και

λ^ν = (-α_ν-1 / α_ν )λ^ν-1 + .... + (-α_1./ α_ν )λ + (-α₀ / α_ν )  =   ρ_ν-1.λ^ν-1 + ....  + ρ_1..λ + ρ₀  με τους συντελεστές ρητούς αριθμούς. Αυτό συνεπάγεται ότι και όλες οι δυνάμεις του λ βαθμού μεγαλύτερου του ν εκφράζονται ως άθροισμα ενός ρητού αριθμού και ρητών πολλαπλασίων των (ν-1) πρώτων δυνάμεων του λ.
Κάτι ανάλογο δεν μπορεί να γίνει με μικρότερες θετικές δυνάμεις του λ γιατί τότε ο λ θα ήταν τότε ρίζα εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές και βαθμού μικρότερου του ν.
Θα πρέπει να παρατηρηθεί όμως ότι και ακέραιες αρνητικές δυνάμεις του λ μπορούν να εκφρασθούν με τον παραπάνω τρόπο.

Επομένως το ελάχιστο σώμα Θ που θα περιελάμβανε και τον λ θα περιελάμβανε όλους  τους αριθμούς χ της μορφής

χ = α + β.λ + ... + σ.  λ^ν-1,   με α, β, ..... , σ     ρητούς αριθμούς.     (3)

Μπορεί να δειχθεί ότι το σύνολο όλων των αριθμών αυτής της μορφής αποτελεί σώμα. Οι δυσκολίες είναι εντελώς όμοιες με τις δυσκολίες της περίπτωσης της επισύναψης στο σώμα των ρητών αριθμών (για το σχηματισμό νέου σώματος), του αριθμού ω = (έκτη ρίζα του 2).  Ανεξάρτητα από το τελευταίο, το ελάχιστο σώμα Θ που περιλαμβάνει τον παραπάνω λ είναι το σύνολο των αριθμών της μορφής (3).
Τα στοιχεία του Θ μπορεί να θεωρηθούν ως στοιχεία ενός νι-διάστατου διανυσματικού χώρου επί του Q, και η επέκταση από το Q στο Θ είναι επέκταση νιοστού βαθμού. Οι αριθμοί
1, λ,  λ²,  .... λ^ν-1,  αποτελούν μια βάση εκφράσεως όλων των στοιχείων αυτού του νι-διάστατου χώρου.
Λέε ακόμη ότι το σώμα Θ αποτελει μια επέκταση του σώματος των ρητών αριθμών βαθμού ν και επομένως  πεπερασμένη.

Εξ άλλου μπορεί να δειχθεί ότι όλα τα στοιχεία του Θ είναι αλγεβρικά επί του σώματος των ρητών αριθμών.

Πράγματι αν α ένας αριθμός της μορφής (3) τότε οι δυνάμεις του α   

1= α⁰, α,  α², ….. α^ν

είναι (ν+1) στοιχεία του νι-διάστατου χώρου (επί του σώματος των ρητών αριθμών), που αποτελούν τα στοιχεία του σώματος Θ και επομένως θα είναι γραμμικά εξαρτημένες.  Θα υπάρχουν άρα ρητοί αριθμοί

β₀, β₁, β₂, ….. β_ν  όχι όλοι ίσοι με μηδέν για τους οποίους θα ισχύει

β_ν.α^ν + ….. +β₁.α + β₀ = 0

και ο α θα είναι ρίζα του μη μηδενικού πολυωνύμου με ρητούς συντελεστές

Φ(χ) = β_ν.χ^ν + ….. + β₁.χ +β₀  

και είναι επομένως αλγεβρικός επί του  σώματος των ρητών αριθμών.

Πολλαπλασιάζοντας το Φ(χ) επί το ελάχιστο κοινό πολλαπλασιο των παρονομαστών των συντελεστών του, βρίσκούμε ένα μη μηδενικό πολυώνυμο Β(χ) με ακέραιους συντελεστές του οποίου ο α είναι ρίζα. Οι αριθμοί οι αλγεβρικοί επί του Q είναι οι αλγεβρικοί αριθμοί.

Επομένως, όπως έχουμε προαναφέρει, κάθε πεπερασμένη επέκταση σώματος Α είναι αλγεβρική επί του Α.Υπάρχουν όμως και απείρου βαθμού επεκτάσεις που επίσης είναι αλγεβρικές. Υπάρχουν φυσικά και απείρου βαθμού επεκτάσεις που δεν είναι αλγεβρικές

Θα προσθέσω εδώ ότι το να επισυνάψουμε στο σύνολο των ρητών αριθμών έναν άρρητο αλγεβρικό αριθμό α βαθμού ν > 1 και έναν άλλο άρρητο αλγεβρικό αριθμό β βαθμού μ >1, ανάγεται στο πρόβλημα της επισύναψης στο σώμα των ρητών αριθμών ενός άρρητου αριθμού γ που καθορίζεται πλήρως από τους α, β και είναι αλγεβρικός αριθμός βαθμού (μ.ν)

δ) Τέταρτο ερώτημα. 
Θα μπορούσαμε με τον ίδιο τρόπο να βρούμε ένα σώμα που να περιλαμβάνει έναν συγκεκριμένο υπερβατικό αριθμό δ  και όλους τους ρητούς αριθμούς;

Το σώμα αυτό θα έπρεπε να περιλαμβάμνει όλες τις ακέραιες δυνάμεις του δ και όλα τα ρητά πολλαπλάσιά τους. Δεν μπορούν όμως όλες αυτές οι ακέραιες δυνάμεις του δ να εκφράζονται ως άθροισμα ενός ρητού αριθμού και ρητών πολλαπλασίων κάποιων συγκεκριμένων και πεπερασμένου πλήθους ακεραίων δυνάμεων του δ, αφού αν συνέβαινε αυτό ο δ θα ήταν αλγεβρικός. Η απάντηση επομένως στο τελευταίο ερώτημά μας είναι αρνητική. Δεν μπορούμε με τη μέθοδο που επισυνάπτουμε στο σώμα των ρητών αλγεβρικούς αριθμούς να επισυνάψουμε πεπερασμένου πλήθους υπερβατικούς αριθμούς και να δημιουργήσουμε ένα καινούριο σώμα. Ένας υπερβατικός αριθμός θα μπορούσε να εννοηθεί ως αλγεβρικός αριθμός απείρου βαθμού και θα χρειαζόμαστε για την επισύναψή του στο σώμα των ρητών αριθμών μια απείρου βαθμού επέκταση. Η επέκταση αυτή δεν θα είναι αλγεβρική αφού θα περιλαμβάνει τον δ που δεν είναι αλγεβρικός επί του Q. Υπάρχουν όμως όπως έχουμε πει και επεκτάσεις απείρου βαθμού που είναι αλγεβρικές.

ε) Πέμπτο ερώτημα

Υπάρχει όμως άραγε μια επέκταση του σώματος των ρητών αριθμών   που περιλαμβάνει πέραν των ρητών και όλους τους άρρητους αλγεβρικούς αριθμούς και μόνον αυτούς;  Με άλλα λόγια, το σύνολο όλων των αλγεβρικών αριθμών (ρητών και άρρητων), είναι σώμα;
Θα απαντήσουμε και σε αυτό το ερώτημα. Προηγουμένως όμως θα ασχοληθούμε με ένα γνήσιο υποσύνολο του συνόλου των αλγεβρικών αριθμών που περιλαμβάνει  το σώμα των  ρητών αριθμών ως γνήσιο υποσύνολό του. Πρόκειται για το σύνολο των ευκλείδιων αριθμών. Θυμίζω ότι,

"λέμε έναν αριθμό χ Ευκλείδειο ή αλλιώς κατασκευάσιμο αν μπορεί να κατασκευασθεί «με τον κανόνα και τον διαβήτη» ευθύγραμμο τμήμα μήκους χ. Δίδεται φυσικά ένα συγκεκριμένο ευθύγραμμο τμήμα ως μονάδα μέτρησης των μηκών.
Αποδεικνύεται ότι οι Ευκλείδειοι αριθμοί είναι οπωσδήποτε αλγεβρικοί αριθμοί αλλά όχι οποιουδήποτε βαθμού.

Ευκλείδειος είναι ο αλγεβρικός αριθμός που ο βαθμός του είναι δύναμη του 2,
ή αλλιώς
Ευκλείδιος είναι ο αλγεβρικός αριθμός του οποίου η ελάχιστου βαθμού πολυωνυμική εξίσωση με ακέραιους συντελεστές που τον δέχεται ως λύση έχει βαθμό που ισούται με κάποια δύναμη του 2
 (βαθμό πρώτο = 2⁰ =  1 ή βαθμό δεύτερο = 2¹ =  2 ή βαθμό τέταρτο = 2² =  4 ή βαθμό όγδοο = 2³ = 8  και ούτω καθεξής)".

Να διευκρινίσω ότι στον ορισμό περιλαμβάνουμε και αρνητικά μήκη. Αν ορίσουμε ένα σημείο Ο επί ευθείας ως αρχή μετρήσεως των μηκών και ένα σημείο Α με το μήκος (ΟΑ) να ορίζεται ως η μονάδα μέτρησης των μηκών, τότε μπορούμε τα μήκη  ΟΔ να τα μετράμε ως θετικά αν το Ο δεν βρίσκεται μεταξύ των Δ και Α και ως αρνητικά στην αντίθετη περίπτωση. Το μήκος του όποιου έυθύγραμμου τμήματος ΒΒ είναι 0.

Είναι προφανές ότι δεδομένου ένός τμήματος ΓΓ΄μήκους α και ενός τμήματος ΒΒ΄μήκους β κατασκευάζεται τμήμα ΧΧ΄μήκους ίσου με (α+β). Κατασκευάζετει επίσης και τμήμα ΨΨ΄μήκους ψ = (α.β). Πράγματι αρκεί να κατασκευασθεί το τμήμα ΨΨ΄με βάση τη σχέση

(ΟΑ) . (ΨΨ΄) = (ΓΓ΄) . (ΒΒ΄)      ή        ΟΑ / ΓΓ΄= ΒΒ΄/ ΨΨ΄

ως τμήμα  'τετάρτη ανάλογος " των τριών άλλων. Θυμίζω ότι το μήκος του (ΟΑ) είναι 1. Υπάρχουν και άλλοι τρόποι κατασκευής του γινομένου α.β που κάνουν. Ακόμη, ο 0 είναι ευκλείδειος,  ο 1 είναι ευκλείδειος, ο αντίθετος ενός ευκλείδειου αριθμού είναι προφανώς ευκλείδειος και μπορεί να αποδειχθεί γεωμετρικά ότι  και ο αντίστροφος ενός ευκλείδειου αριθμού είναι επίσης ευκλείδειος δηλαδή κατασκευάσιμος.
Το να συνεχίσουμε όμως να εξετάζουμε γεωμετρικά τις υπόλοιπες ιδιότητες των πράξεων μεταξύ ευκλείδειων αριθμών δεν είναι κάτι που χρειάζεται να μας απασχολήσει. Οι ευκλείδειοι αριθμοί είναι ή ρητοί αριθμοί, ή άρρητοι αλγεβρικοί αριθμοί βαθμού ίσου με δύναμη του 2. Επί του παρόντος αναφερόμαστε σε πραγματικούς ευκλείδειους αριθμούς για τους οποίους ισχύουν όλες οι ιδιότητες των πράξεων που ισχύουν για πραγματικούς αριθμούς. Είτε όμως αναφερθούμε  σε πραγματικούς αριθμούς, είτε αναφερθούμε σε μιγαδικούς αριθμούς οι πράξεις έχουν τις ίδιες ιδιότητες. Η διαφορά είναι ότι οι πραγματικοί αποτελούν διατεταγμένο σώμα ενώ δεν είναι δυνατόν να διαταχθεί ως σώμα το σώμα των μιγαδικών αριθμών. Οι ευκλείδειοι αριθμοί ικανοποιούν επομένως και τις υπόλοιπες ιδιότητες των πράξεων και αυτό μπορεί να αποδειχθεί και αυτοτελώς. Επειδή όμως δεν θα βασίσουμε την κατασκευή του σώματος των πραγματικών αριθμών στους ευκλείδειους αριθμούς μπορούμε να συναγάγουμε αυτές τις ιδιότητες από τις αντίστοιχες ιδιότητες των πραγματικών αριθμών στους οποίους θα αναφερθούμε αργότερα.

Και ερχόμαστε τώρα να απαντήσουμε του αν το σύνολο Α των αλγεβρικών αριθμών  είναι σώμα για τις γνωστές πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού. Ή απάντηση είναι ΝΑΙ. Οι αλγεβρικοί αριθμοί αποτελούν σώμα.
Οι αριθμοί 0 και 1 είναι αλγεβρικοί άρα το σύνολο Α των αλγεβρικών αριθμών περιλαμβάνει ουδέτερα στοιχεία για τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού.

Έστω ότι ο λ είναι αλγεβρικός αριθμός. Θα είναι τότε ο λ ρίζα μιας πολυωνυμικής εξίσωσης ως προς χ με ακέραιους συντελεστές έστω την Α(χ) = 0.
Αν στην εξίσωση αυτήν θέσουμε όπου χ το (-χ), θα προκύψει μια νέα πολυωνυμική εξίσωση. Η εξίσωση αυτή θα έχει τους ίδιους συντελεστές με την αρχική στις άρτιες δυνάμεις του χ και αντίθετους συντελεστές από την αρχική στις περιττές δυνάμεις του χ. Θα έχει έτσι  ακέραιους συντελεστές  και επιπλέον  θα επαληθεύεται
για (-χ) = λ δηλαδή για χ = (-λ).  Άρα και ο (-λ) είναι αλγεβρικός.
Επομένως στο σύνολο των αλγεβρικών αριθμών κάθε αριθμός έχει τον αντίθετό του.

Αν τώρα ο λ δεν είναι ίσος με 0 μπορούμε να βρούμε μιαν άλλη πολυωνυμική εξίσωση με ακέραιους συντελεστές που θα έπαληθεύεται για χ = (1/λ). Πράγματι αν στην αρχική εξίσωση  Α(χ) = 0, θέσουμε όπου χ το (1/χ) και κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών θα προκύψει μια νέα πολυωνυμική εξίσωση που θα έχει τους ίδιους συντελεστές με την αρχική σε ανρτίστροφη όμως σειρά. Θα έχει επομένως και αυτή η πολυωνυμική εξίσωση ακέραιους συντελεστές και προφανώς θα επαληθεύεται για (1/χ) = λ, δηλαδή για χ = (1/λ). Άρα και ο 1/λ  είναι αλγεβρικός.
Επομένως στο σύνολο των αλγεβρικών αριθμών κάθε αριθμός εκτός από το μηδέν (το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης),  έχει τον αντίστροφό του.

Για να αποδείξουμε τώρα ότι το σύνολο των αλγεβρικών αριθμών αποτελεί σώμα πρέπει να δείξουμε ότι οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού μεταξύ αλγεβρικών αριθμών είναι εσωτερικές πράξεις του συνόλου. Με άλλα λόγια πρέπει να δείξουμε  το άθροισμα και το γινόμενο αλγεβρικών αριθμών είναι αλγεβρικοί αριθμοί.
Τις υπόλοιπες ιδιότητες του σώματος δεν θα τις δείξουμε. Προκύπτουν αμέσως από το ότι οι αλγεβρικοί αριθμοί είναι μιγαδικοί εν γένει αριθμοί αριθμοί και από το ότι για την κατασκευή του σώματος των μιγαδικών αριθμών δεν χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες του συνόλου των αλγεβρικών αριθμών.

Το ίδιο ισχύει και για το σύνολο των πραγματικών αλγεβρικών αριθμών. Τo άθροισμα και το γινόμενο δύο πραγματικών αλγεβρικών αριθμών θα  είναι προφανώς πραγματικός αλγεβρικός αριθμός. Οι υπόλοιπες ιδιότητες του σώματος και για αυτό το σύνολο προκύπτουν από το ότι οι πραγματικοί αλγεβρικοί αριθμοί είναι πραγματικοί αριθμοί και από το ότι για την κατασκευή του σώματος των πραγματικών αριθμών δεν χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες των αλγεβρικών πραγματικών αριθμών.

Το ότι οι πραγματικοί αλγεβρικοί αριθμοί αποτελούν διατεταγμένο σώμα  για αυτές τις πράξεις,  θα προκύψει επίσης αμέσως από το ότι θα έχει δειχθεί ότι οι πραγματικοί αλγεβρικοί αποτελούν υποσώμα του σώματος των πραγματικών αριθμών.

Θα δείξουμε τώρα με δύο τρόπους ότι το άθροισμα και το γινόμενο δύο αλγεβρικών αριθμός είναι αλγεβρικός αριθμός. Χρειάζεται να το δείξουμε μόνο στην περίπτωση που και οι δύο είναι διαφορετικοί από το μηδέν.

Ι) Έστω Α ένας αλγεβρικός αριθμός βαθμού ν, και Β ένας αλγεβρικός αριθμός βαθμού μ διαφορετικοί από τον μηδέν. 

Ο Α θα είναι ρίζα μιας πολυωνυμικής εξίσωσης βαθμού ν με ακέραιους συντελεστές, έστω της

α_νx^ν + α_ν-1x^ν-1 + α_ν-2x^ν-2 …….  + α₁x + α₀  =  0       (1)   με  α_ν  και α₀  διάφορους του μηδέν,

και ο Β θα είναι ρίζα  μιας πολυωνυμικής εξίσωσης βαθμού μ με ακέραιους συντελεστές, έστω της 

 β_μx^μ + β_μ-1x^μ-1 +  β_μ-2x^μ-2  …….  + β₁x + β₀  =  0       (2)  με  β_μ  και  β₀ διάφορους του μηδέν. 



Έστω  χ₁ = Α,   χ_{2 , ..... ,}  χ_ν   είναι οι ν κατά το πλήθος ρίζες της εξίσωσης (1). Αν μια ρίζα είναι διπλή θα έχει περιληφθεί δύο φορές, αν είναι τριπλή θα έχει περιληφθεί τρεις φορές, κ.ο.κ. Τότε

α_νx^ν + α_ν-1x^ν-1 +  … + α₀  =   α_ν(x - χ₁).(x - χ₂).  ... . (x - χ_ν)      ( 1_β)

Αν θέσουμε

 χ₁ + χ₂ +… + χ_ν  =  S₁  


χ₁.χ₂+…      =  S₂  

χ₁.χ₂.χ₃ + ... =  S₃

........
........
........
χ₁.χ₂. ... .χ_ν   =   S_ν

όπου  S_κ είναι  το άθροισμα των γινομένων των ριζών λαμβανομένων ανά κ καθ' όλους τους δυνατούς τρόπους (το S_νείναι καταχρηστικό άθροισμα ενός προσθετέου ίσου προς το γινόμενο όλων των ριζών), από την ταυτότητα (3) προκύπτει  ότι

  S₁ = -α_ν-1 /α_ν           S₂ =  α_ν-2 /α_ν          S₃ = -α_ν-3 /α_ν      και γενικά

S_κ =  (-1)^κα_ν-κ /α_ν .

Επομένως αν οι συντελεστές της (1) είναι ακέραιοι ή γενικότερα ρητοί αριθμοί, τότε  όλα τα S_κείναι ρητοί αριθμοί.

Τα αθροίσματα  S₁, S₂, ... , S_ν   είναι τα στοιχειώδη συμμετρικά πολυώνυμα των ριζών της εξίσωσης.
Είναι συμμετρικά ως προς τις ρίζες  χ₁ ,   χ_{2 , ..... ,} χ_ν  σημαίνει ότι δεν μεταβάλλονται με κυκλική εναλλαγή  των  χ₁ ,   χ_{2 , ..... ,}  χ_ν.   Δηλαδή αν  για παράδειγμα θέσουμε σε οποιοδήποτε από τα  S_κ όπου χ₁ την χ₂ ,  όπου χ_κ γενικά την χ_κ+1 και όπου χ_ν την χ₁  , τότε όλα τα S_κ θα παραμείνουν αμετάβλητα.
Πρέπει ακόμη να πούμε ότι κάθε ρητή και κυκλικά συμμετρική παράσταση των χ_κ, εκφράζεται ως ρητή συνάρτηση των  S_κ , και επομένως αν τα S_κείναι ρητοί αριθμοί τότε κάθε ρητή και κυκλικά συμμετρική παράσταση των χ_κ, ισούται με ρητό αριθμό.

Έστω  τώρα ρ₁ = Β,   ρ_{2 , ..... ,}  ρ_μ   είναι οι μ κατά το πλήθος ρίζες της εξίσωσης (2). Αν μια ρίζα είναι διπλή θα έχει περιληφθεί δύο φορές, αν είναι τριπλή θα έχει περιληφθεί τρεις φορές, κ.ο.κ. Τότε αν 


Σ_κ είναι  το άθροισμα των γινομένων των ριζών της (2) λαμβανομένων ανά κ καθ' όλους τους δυνατούς τρόπους θα έχω

Σ_κ =  (-1)^κβ_μ-κ / β_μ .και επομένως όλα τα Σ_κείναι ρητοί αριθμοί.

Σχηματίζω τώρα την εξίσωση που εχει ως ρίζες της όλους τους αριθμούς φ_ξ που ισούνται με το άθροισμα μιας ρίζας της (1) και  μιας ρίζας της (2) . Θα έχω εν γένει

φ_ξ = χ_κ + ρ_λ  .

Η εξίσωση  αυτή θα έχει πλήθος ριζών Ν ίσο προς (μ.ν),  όταν  κάθε ρίζα λαμβάνεται τόσες φορές όσες φορές εμφανίζεται ως άθροισμα της μορφής χ_κ + ρ_λ  . Μία ρίζα της έστω η φ₁, ισουται με
 χ₁ + ρ₁ = Α + Β.
 Έστω σ₁, σ₂, ... , σ_Ν  
τα στοιχειώδη συμμετρικά πολυώνυμα των ριζών αυτής της εξίσωσης με  σ_κ ίσο με το άθροισμα των γινομένων των ριζών των ριζών της λαμβανομένων ανά κ καθ' όλους τους δυνατούς τρόπους.

Αν     Ν = μ.ν,     η εξίσωση θα είναι η

 γ_Νx^Ν + γ_Ν-1x^Ν-1 + γ_Ν-2x^Ν-2 …  + γ_κx^Ν-κ +…. + γ₀  =  0  ή


x^Ν + (γ_Ν-1/ γ_Ν)x^Ν-1 + (γ_Ν-2/ γ_Ν)x^Ν-2 …  + (γ_κ/ γ_Ν)x^Ν-κ +…+ (γ₀ / γ_Ν) =  0  ή

 x^Ν - σ₁.x^Ν-1 + σ₂.x^Ν-2 …  + (-1)^κσ_κ.x^Ν-κ +…+ (-1)^Νσ_Ν =  0   (3)

Αν στο  σ₁  θέσουμε  όπου χ₁ την  χ₂ ,   όπου   χ₂ την  χ₃ κ.ο.κ. , τότε το σ₁ δεν θα μεταβληθεί. Το σ₁,είναι άρα  ρητή  και  κυκλικά συμμετρική παράσταση των   χ₁,  χ_{2 , ..... ,}  χ_ν,  και  επομένως ρητή παράσταση  όλων των S_κ  που είναι ρητοί αριθμοί.
Με τον ίδιο τρόπο συμπεραίνουμε ότι το σ₁είναι ρητή συνάρτηση όλων των Σ_κ που επίσης είναι ρητοί αριθμοί.
Άρα το σ₁ ισούται με ρητό αριθμό.

Ό,τι ισχύει για το σ₁ , ισχύει για όλα τα σ_κ. Όλα τα σ_κ είναι ίσα προς ρητούς αριθμού. Η εξίσωση  (3) έχει ρητούς συντελεστές. Πολλαπλασιάζοντας τα μέλη της επί κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών των συντελεστών της, βρίσκουμε μια εξίσωση με ακέραιους συντελεστές της οποίας μία ρίζα είναι ο αριθμός

φ₁ = χ₁ + ρ₁  = Α + Β .

Αυτό σημαίνει ότι αν οι Α, Β είναι αλγεβρικοί αριθμοί τότε αλγεβρικός αριθμός είναι και ο (Α + Β).


Για να αποδείξουμε ότι και ο Α.Β είναι αλγεβρικός θα κατασκευάσουμε μια εξίσωση με ρίζες της όλους τους αριθμούς  
υ_ξ = χ_κ.ρ_λ
που ισούνται με το γινόμενο μιας ρίζας της (1) και  μιας ρίζας της (2)  και θα εργασθούμε όπως και στην περίπτωση  που αποδείξαμε ότι ο Α+Β  είναι αλγεβρικός.

ΙΙ)Ο δεύτερος τρόπος απόδειξης της αλγεβρικότητας των (Α+Β) και (Α. Β) αποτελεί σύνθεση των απαντήσεων στο τρίτο  και στο τέταρτο από τα ερωτήματα που έχουμε ήδη απαντήσει. Συγκεκριμένα, όταν μας δοθούν δύο αλγεβρικοί αριθμοί Α και Β μπορουμε πρώτα να επεκτείνουμε  το σώμα των ρητών Q δημιουργώντας το ελάχιστο σώμα Q_A που περιλαμβάνει τους ρητούς και τον Α, και στη το συνέχεια να επεκτείνουμε το Q_A δημιουργώντας το ελάχιστο σώμα Q_AΒ  που περιλαμβάνει τα στοιχεία του Q_A και τον Β. Οι δύο επέκτάσεις έχουν πεπερασμένη βάση έκφρασής των στοιχείων τους  και αποτελούν έτσι, αλγεβρική επέκταση του Q . Δηλαδή κάθε στοιχείο του Q_AΒ  είναι αλγεβρικό επί του Q αφού η προσθήκη στο Q έστω και ενός υπερβατικού στοιχείου έτσι ώστε να δημιουργηθεί νέο σώμα, συνεπάγεται ότι δεν θα υπάρχει πεπερασμένη βάση μέσω της οποίας θα μπορούσαν και στην περίπτωση της προσθήκης υπερβατικού στοιχείου να αποδοθούν γραμμικά όλα τα στοιχεία του διευρυμένου σώματος.
Τα στοιχεία του  σώματος Q_AΒ  είναι επομένως όλα αλγεβρικά επί του Q, και μεταξύ των στοιχείων του περιλαμβάνονται οι διάφοροι του μηδέν αριθμοί  Α και Β αλλά, επειδή το Q_AΒ  είναι σώμα, και οι αριθμοί (-Α), (-Β), (1/Α), (1/Β), (Α+Β), (Α.Β).

Αυτό αποδεικνύει το ζητούμενο.

9. Η έννοια της πληρότητας σώματος αριθμών - Συστήματα προτάσεων ισοδύναμα με το αξίωμα της πληρότητας -  Πλήρη διατεταγμένα σώματα

1. Η έννοια της πληρότητας αριθμητικού συστήματος. - Η πρώτη μορφή του αξιώματος της πληρότητας.

Οι αρχαίοι Έλληνες εννοούσαν τους αριθμούς όπως η σύγχρονη φυσική, δηλαδή ως λόγους ομοειδών μεγεθών.  Μια επιφάνεια θα μπορουσε να μετρηθεί με το λόγο της προς μια  επιφάνεια που θα είχε ορισθεί ως μονάδα μέτρησης των επιφανειών. Το μέγεθος της θα καθοριζόταν πλήρως,  όπως και στη σημερινή πρακτική με  τον λόγο αυτό, και την επιφάνεια που είχε καθορισθεί ως μονάδα μέτρησης των επιφανειών. Μια επιφάνεια είναι λέμε 3 τετραγωνικά μέτρα, είναι δηλαδή τριπλάσια από την επιφάνεια ενός τετραγώνου με πλευρά μήκους ενός μέτρου που έχει καθορισθεί ως μονάδα μέτρησης των επιφανειών.
Είχαν επίσης κατανοήσει ότι αν είχαν στη διάθεσή τους αριθμούς με τους οποίους θα μπορούσαν να μετρήσουν το λόγο δύο οποιωνδήποτε μηκών, θα μπορούσαν με τους ίδιους αριθμούς να μετρήσουν το λόγο δύο οποιωνδήποτε επιφανειών, δύο οποιωνδήποτε όγκων, δύο οποιωνδήποτε βαρών, δύο οποιωνδήποτε ειδικών βαρών, δύο οποιωνδήποτε  χρονικών διαστημάτων, δύο οποιωνδήποτε ταχυτήτων κ.ο.κ.
Έτσι όρισαν τους αριθμούς ως λόγους μηκών. Όριζαν αυθαίρετα το μήκος ενός  ευθύγραμμου τμήματος ως μονάδα μέτρησης των μηκών και το λόγο του όποιου άλλου μήκους Χ προς τη  μονάδα μέτρησης των μηκών όρισαν ως τον αριθμό που μετρά  το μήκος Χ.
Όλοι οι δυνατοί λόγοι μηκών αποτέλεσαν το αριθμητικό  σύστημα των αρχαίων Ελλήνων που είναι ταυτόσημο με αυτό που ονομάζουμε σήμερα σύνολον των πραγματικών αριθμών, ρητών και αρρήτων. Η θεωρία λόγων και αναλογιών που ανέπτυξαν τους επέτρεψε να συγκρίνουν και να χειρίζονται τέτοιους αριθμούς και να αντιμετωπίζουν κάθε σχετικό ζήτημα.
Παίρνουμε τώρα μια ημιευθεία με αρχή το σημείο Ο, και πάνω σε αυτήν το σημείο Α   με το ΟΑ να αποτελεί τη μονάδα μέτρησης των μηκών.  Αν Χ είναι τυχόν σημείο της ημιευθείας τότε ο λόγος (ΟΧ) / (ΟΑ) ισούται με έναν αριθμό. Επομένως κάθε σημείο της ημιευθείας αντιστοιχείται μέσω αυτής της διαδικασίας με έναν αριθμό του αριθμητικού συστήματος των αρχαίων Ελλήνων.
Αν πάρουμε επί της ημιευθείας το σημείο  Δ έτσι ώστε το (ΟΔ) να είναι ίσο προς το μήκος της διαγωνίου τετραγώνου πλευράς (ΟΑ), τότε στο αριθμητικό σύστημα των αρχαίων Ελλήνων, στο σημείο Δ αντιστοιχεί ένας αριθμός που το τετράγωνό του ισούται με 2. Δεν υπάρχει όμως ρητός αριθμός που το τετράγωνό του να ίσούται με 2. Επομένως δεν υπάρχει ρητός αριθμός που μετρά το μήκος ΟΔ. Δεν υπάρχει ρητός αριθμός στον οποίο μπορεί να αντιστοιχηθεί το σημείο Δ. Το σύστημα των ρητών αριθμών δεν επαρκεί για τη μέτρηση οποιουδήποτε μεγέθους, το σύστημα των ρητών αριθμών δεν επαρκεί για την ένα προς ένα αντιστοίχηση των σημείων μιας ευθείας με όλους τους αριθμούς, το σύστημα των ρητών αριθμών δεν είναι πλήρες.
Ας επανέλθουμε στην ημιευθεία μας. Ονομάζω δ τον αριθμό που αντιστοιχεί στο σημείο Δ. Το τετράγωνο του δ ισούται με 2 και επομένως ο δ  δεν είναι ρητός αριθμός.Το σημείο Δ διαιρεί την ημιευθεία σε δύο τμήματα. Το Ο και κάθε σημείο του ΟΔ προηγείται κάθε σημείου της υπόλοιπης ημιευθείας.
Ασ διαιρέσουμε τώρα όλους τους ρητούς αριθμούς σε δύο κλάσεις. Η πρώτη κλάση κλάση περιλαμβάνει όλους τους αρνητικούς ρητούς αριθμούς και από τους μη αρνητικούς, εκείνους που το τετράγωνό τους είναι μικρότερο από τον αριθμό 2. Η δεύτερη κλάση περιλαμβάνει όλους τους θετικούς ρητούς αριθμούς που το τετράγωνό τους υπερβαίνει τον αριθμό 2. Εύκολα διαπιστώνουμε ότι:
- Κάθε αριθμός της πρώτης κλάσης είναι μικρότερος από κάθε αριθμό της δεύτερης κλάσης.
- Δεν υπάρχει ρητός που το τετράγωνό του ισούται με τον αριθμό 2, επομένως οι δύο κλάσεις περιλαμβάνουν όλους τους ρητούς αριθμούς.
-Από κάθε αριθμό της πρώτης κλάσης υπάρχει μεγαλύτερός του που ανήκει επίσης στην πρώτη  κλάση.
Γιατί αν χ ένας θετικός ρητός αριθμός με  χ² < 2  και θ ένας ρητός θετικός αριθμός μικρότερος του αριθμού 1, μπορώ να επιλέξω τον θ έτσι ώστε να είναι  και  (χ+θ)² < 2
Πράγματι, αρκεί να επιλέξω τον θ έτσι ώστε να είναι

χ² + 2χθ + θ² < 2  ή     2χθ + θ² < 2 -  χ²    

Επειδή ο θ είναι θετικός και μικρότερος του 1 είναι   θ² < θ και επομένως αρκεί να είναι

2χθ + θ < 2 - χ²      ή     θ <  (2 -  χ² ) / (2χ+1)

και επειδή  (2 -  χ² ) / (2χ+1)  > 0, υπάρχουν άπειρα θετικά θ μικρότερα του 1 που ικανοποιούν αυτήν τη σχέση 

- Από κάθε αριθμό της δεύτερης κλάσης υπάρχει μικρότερος αριθμός που ανήκει επίσης στην δεύτερη κλάση.


Αν περάσουμε τώρα στους αριθμούς  του αρχαιοελληνικού αριθμητικού συστήματος, υπήρχε ανάμεσά τους ο αριθμός δ που το τετράγωνό του ισούται με τον αριθμό 2 και είναι επομένως μεγαλύτερος από όλους τους ρητούς αριθμούς της παραπάνω πρώτης κλάσης και μικρότερος από όλους τους ρητους αριθμούς της δεύτερης κλάσης. 

Τις επισημάνσεις αυτές του Κάντορ (Georg Cantor), αξιοποίησε ο Ντέντεκιντ για την κατασκευή ενός πλήρους αιθμητικού συστήματος με βάση το αριθμητικό σύστημα των ρητών αριθμών. Είχε κατά νου και ο ίδιος αλλά και ο Βάιερστρας και ο Κάντορ ότι οι αρχαίοι Έλληνες είχαν ουσιαστικά ορίσει μέσω των ρητών αριθμών τους αριθμούς του διευρημένου αριθμητικού τους συστήματος αφού είχαν ορίσει ότι δύο αριθμοί είναι ίσοι όταν δεν υπάρχουν μεταξύ τους ρητοί αριθμοί και ότι ακόμη το αξίωμα το ονομαζόμενο του Ευδόξου ή του Αρχιμήδη συνεπαγόταν αμέσως ότι μεταξύ δύο διαφορετικών αριθμών υπάρχουν πάντοτε ρητοί αριθμοί.

Ο Ντέντεκιντ σκέφτηκε να διευρύνει το σύνολο των ρητών αριθμών κατασκευάζοντας από τους ρητούς ένα νέο αριθμητικό σύστημα. Έθεσε ως αξίωμα ότι

Για  οποιοδήποτε  διαμερισμό του συνόλου όλων των ρητών αριθμών σε δύο κλάσεις έτσι ώστε κάθε αριθμός της πρώτης κλάσης να είναι μικρότερος από κάθε αριθμό της δεύτερης κλάσης, υπάρχει πάντοτε ένας αριθμός του διευρημένου αριθμητικού του συστήματος, ο οποίος μπορεί ανάλογα με την περίπτωση να είναι ή να μην είναι ρητός και ο οποίος είναι μεγαλύτερος από όλους τους άλλους αριθμούς της πρώτης κλάσης και μικρότερος από όλους τους άλλους αριθμούς της δεύτερης κλάσης 


Το αξίωμα αυτό αποτελεί την πρώτη μορφή ενός αξιώματος που εξασφαλίζει την πληρότητα ενός αριθμητικού συστήματος, την πρώτη μορφή του αξιώματος της πληρότητας των πραγματικών αριθμών. Οι πραγματικοί αριθμοί  είναι το διευρημένο αριθμητικό σύστημα που κατασκεύασε ο Ντέντεκιντ, οι μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοίήταν το αιθμητικό σύστημα που χρησιμοποιούσαν οι αρχαίοι Έλληνες.  

Ο Ντέντεκιντ όνόμασε τους διαμερισμούς τους όμοιους με τον παραπάνω  τομές.  Κάθε τομή ορίζει  και εκπροσωπεί τον πραγματικό ρητό ή άρρητο αριθμό που αντιστοιχεί σε αυτήν και είναι μεγαλύτερος από όλους τους αριθμούς της πρώτης της κλάσης. 
Δύο πραγματικοί αριθμοί ορίστηηκαν να είναι ίσοι όταν οι τομές μέσω των οποίων ορίζονται έχουν τις ίδιες πρώτες κλάσεις. Ενας πραγματικός αριθμός α ορίστηκε να είναι  μικρότερος ενός πραγματικού αριθμού β όταν η πρώτη κλάση  της τομής που ορίζει τον α είναι υποσύνολο της πρώτης κλάσης της τομής που ορίζει τον β. Επομένως δύο πραγματικοί αριθμοί είναι ίσοι όταν δεν υπάρχουν μεταξύ τους ρητοί αριθμοί.

Ο Ντέντεκιντ όρισε και πράξεις μεταξύ των τομών, δηλαδή πράξεις μεταξύ των πραγματικών αριθμών. Απέδειξε τις ιδιότητες αυτών των πράξεων.  Οι πραγματικοί αριθμοί αποδεικνύονται πλήρες διατεταγμένο σώμα. Το πώς θα το δούμε στο τμήμα 10 αυτής της ανάρτησης. Τώρα θα δούμε εναλλακτικούς ορισμούς του αξιώματος της πληρότητας και θα δείξουμε την ισοδυναμία τους και την μεταξύ τους και την ισοδυναμία τους με την αρχική μορφή του αξιώματος. Θα παρουσιάσω ακόμη, σύντομα όμως, και τις μεθόδους κατασκευής των  πραγματικών αριθμών στις οποίες οδηγούν οι διαφορετικές διατυπώσεις του αξιώματος της πληρότητας. 

2. Η δεύτερη μορφή του αξιώματος της πληρότητας - Αξιωματική θεμελίωση των πραγματικών αριθμών

Ένας άλλος τρόπος αντιμετώπισης του ζητήματος  είναι να τεθεί αξιωμτικά ότι υπάρχει ένα σύνολο αρθμών, το σύνολο των πραγματικών αριθμών,  που αποτελεί διατεταγμένο σώμα, περιέχει το το σώμα των ρητών αριθμών ως γνήσιο υποσώμα του και είναι πλήρες. Η πληρότητα του νέου σώματος εξασφαλίζεται με μια επί πλέον πρόταση που γίνεται δεκτή αξιωματικά και αποτελει για μας τη δεύτερη μορφή του αξιώματος της πληρότητας.
Για τη διατύπωση αυτού του αξιώματος της πληρότητας θα χρειαστούμε την έννοια του άνω ή κάτω  φράγματος  συνόλου αριθμών. 
Ένας πραγματικός αριθμός Μ αποτελεί άνω φράγμα  ενός  σύνολου S, υποσυνόλου του συνόλου των πραγματικών αριθμών,  αν δεν είναι μικρότερος από κανένα αριθμό που ανήκει στο S. Αυτό σημαίνει ότι 
Ο Μ είναι άνω φράγμα του S  όταν  ισχύει χ ≤ Μ,  για κάθε αριθμό χ που ανήκει ανήκει στο S.
Λέμε ακόμη στην περίπτωση που  υπάρχει ένας πραγματικός αριθμός με αυτή την ιδιότητα  ότι το σύνολο S είναι άνω φραγμένο.
Προφανώς, αν ο Μ αποτελεί άνω φράγμα του S, τότε κάθε πραγματικός αριθμός μεγαλύτερος του Μ αποτελεί επίσης άνω φράγμα του S. Σημασία έχει επομένως το ελάχιστο άνω φράγμα κάθε άνω φραγμένου συνόλου S.
Το ελάχιστο άνω φράγμα κάθε άνω φραγμένου συνόλου S είναι ο αριθμός    Μ₀ που αποτελεί άνω φράγμα του S και επιπλέον ικανοποιεί την σχέση   Μ₀ ≤ Μ για κάθε αριθμό Μ που αποτελεί επίσης άνω φράγμα του S.
Για τους πραγματικούς αριθμούς τίθεται το αξίωμα ότι

Κάθε άνω φραγμένο υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών έχει ένα ελάχιστο άνω φράγμα

Το αξίωμα αυτό εξασφαλίζει όλα όσα είπαμε. Ότι δηλαδή το σώμα των πραγματικών αριθμών περιλαμβάνει και αριθμούς που δεν είναι ρητοί και ότι τελικά οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούν ένα πλήρες διατεταγμένο σώμα που μας παρέχει τη δυνατότητα να θεμελιώσουμε την μαθηματική ανάλυση, να μετρήσουμε κάθε μέγεθος και να αντιστοιχήσουμε τα στοιχεία του  όλα και ένα προς ένα, με όλα τα τα σημεία μιας ευθείας.
Ονομάζεται και αξίωμα του ελαχίστου άνω φράγματος   και όπως είπαμε, αποτελεί στο κείμενό μας τη δεύτερη μορφή του αξιώματος της πληρότητας. Θα δούμε ότι οι δύο μορφές  του αξιώματος της πληρότητας είναι λογικά ισοδύναμες¹. Πριν όμως δούμε αυτό αλλά και την αποδεικτική δύναμη και τη σημασία αυτού του αξιώματος, θα πούμε δυο λόγια ακόμη.

- Το αξίωμα δεν ισχύει για τους ρητούς αριθμούς, με την έννοια ότι δεν υπάρχει πάντοτε ένας ρητός  αριθμός που αποτελεί το ελάχιστο άνω φράγμα ενός άνω φραγμένου συνόλου έστω και ρητών μόνο  αριθμών. Αυτό σημαίνει ότι το ελάχιστο άνω φράγμα ενός άνω φραγμένου μη κενου συνόλου ρητών ή πραγματικών εν γένει αριθμών αριθμών, μπορεί να μην είναι ρητός αριθμός. Για παράδειγμα ας θεωρήσουμε το σύνολο των ρητών θετικών αριθμών που το τετράγωνό τους είναι μικρότερο του 15. Ο αριθμός 4 αποτελεί ένα άνω φράγμα αυτού του συνόλου άρα το σύνολο είναι άνω φραγμένο. Μπορούμε όμως να δούμε ότι από κάθε ρητό άνω φράγμα του, υπάρχει μικρότερος ρητός αριθμός που αποτελεί επίσης  άνω φράγμα του. Για να δειχθεί αυτό θα εργασθούμε όπως εργασθήκαμε παραπάνω για να αποδείξουμε ότι από κάθε ρητό αριθμό που το τετράγωνό του είναι μικρότερο του 2 υπάρχει μεγαλύτερός του ρητός που το τετράγωνό του είναι επίσης μικρότερο του 2. Ο αναγνώστης μπορεί περαιτέρω να δείξει ότι το ελάχιστο άνω φράγμα του συνόλου που συζητάμε είναι ο πραγματικός άρρητος αριθμός "ρίζα του 15".

-  Το τι  σημαίνει κάτω φραγμένο σύνολο πραγματικών αριθμών, και μέγιστο κάτω φράγμα είναι τώρα ευνόητο.   Δεν χρειάζεται να τεθεί όμως νέο αξίωμα. Η πρόταση
Κάθε κάτω φραγμένο υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών έχει ένα μέγιστο κάτω φράγμα
προκύπτει ως θεώρημα, δηλαδή μπορεί να αποδειχθεί. Η απόδειξη βασίζεται στο αξίωμα ύπαρξης ελαχίστου άνω  φράγματος των άνω φραγμένων συνόλων και είναι εύκολη.

Ας δούμε τώρα τιμπορεί να μας δώσει αυτό το αξίωμα.

Πρόταση: Το σύνολο των φυσικών αριθμών δεν είναι άνω φραγμένο.
Γιατί αν ήταν άνω φραγμένο θα είχε ένα ελάχιστο άνω φράγμα,  έστω τον πραγματικό αριθμό Α. Τότε θα υπάρχει ένας τουλάχιστον φυσικός αριθμός Ν > Α-1, αλλιώς δεν θα ήταν ο Α το ελάχιστο άνω φράγμα. Αυτό συνεπάγεται ότι  Ν+1 > Α.
Επειδή όμως ο (Ν+1) είναι φυσικός αριθμός αυτό αντίκειται στο ότι ο Α είναι  άνω φράγμα του συνόλου των φυσικών αριθμών.

Πρόταση: Για κάθε πραγματικό αριθμό χ υπάρχει ένας ακέραιος αριθμός α για τον οποίο ισχύει  
α ≤  χ  < α+1

Γιατί υπάρχουν ακέραιοι  μεγαλύτεροι του χ
Υπάρχουν και ακέραιοι μεγαλύτεροι του -χ . Οι αντίθετοί τους είναι μικρότεροι του χ.
Έστω κ, (ρ+1) δύο ακέραιοι  για τους οποίους ισχύει  κ <  χ < ρ+1
Θεωρώ το διάστημα  [κ, ρ+1) και το διαιρώ σε (ρ-κ)  διαδοχικά διαστήματα της μορφής [λ, λ+1), με πρώτο το [κ, κ+1) και τελευταίο το [ρ, ρ+1).
Σε κάθε διάστημα της μορφής [α, β) περιλαμβάνεται ο α αλλά δεν περιλαμβάνεται ο β. Τα παραπάνω διαστήματα επομένως δεν έχουν κοινά στοιχεία και είναι πεπερασμένα κατά το πλήθος . Όλα μαζί περιέχουν όλα τα στοιχεία  του διαστήματος[κ, ρ+1) στο οποίο περιέχεται ο χ. Άρα ο χ περιέχεται σε ένα και μόνο ένα από αυτά, έστω στο  [α, α+1) .    Θα έχω επομένως
α ≤  χ <  α+1  για α ακέραιο.  Προφανώς δεν υπάρχουν δύο ακέραιοι α με αυτήν την ιδιότητα.
Ο ακέραιος α που έχει αυτή την ιδιότητα καλείται ακέραιο μέρος του χ και συμβολίζεται Ακ(χ) ή [χ]
Η συνάρτηση  ψ(χ) = Ακ(χ) έχει ενδιαφέρουσες ιδιότητες , όπως επίσης και οι συναρτησεις φ(χ)= χ - [χ], σ(χ) = 1 + [χ] -χ   και   f(χ)  =  min {φ(χ), σ(χ)}


Πρόταση: Το σώμα των πραγματικών αριθμών είναι αρχιμήδειο 

Έχουμε ήδη δείξει ότι το σώμα των ρητών αριθμών είναι αρχιμήδειο και φυσικά έχουμε πει τι σημαίνει ο όρος αρχιμήδειο σώμα. Θα  ξαναπούμε όμως αναλυτικά την παραπάνω πρόταση ειδικά διατυπωμένη για το σύνολο των πραγματικών αριθμών.
Αν α, β είναι δύο οποιοιδήποτε πραγματικοί θετικοί αριθμοί, τότε για κατάλληλα μεγάλο θετικό φυσικό αριθμό Ν θα είναι            (Ν.α ) > β  (1)
Γιατί αν ήταν για κάθε θετικό φυσικό αριθμό Ν,      Ν.α ≤  β,    θα ίσχυε  Ν ≤ (β/α)  για κάθε φυσικό αριθμό Ν.
Αυτό όμως αντίκειται στο ότι  το σύνολο των φυσικών αριθμών δεν είναι άνω φραγμένο.
Η πρόταση αυτή  είχε τεθεί από τον Εύδοξο ως αξίωμα για το διευρημένο αριθμητικό σύστημά τους των αρχαίων Ελλήνων και χρησιμοποιήθηκε συστηματικά από τον Αρχιμήδη. Είναι γνωστή και ως αξίωμα του Ευδόξου και ως αξίωμα του Αρχιμήδη.
Είναι εξ άλλου ισοδύναμη  με την πρόταση
Αν α, β είναι δύο οποιοιδήποτε πραγματικοί θετικοί αριθμοί, τότε για κατάλληλα μεγάλο θετικό φυσικό αριθμό Ν θα είναι             (β / Ν) <  α    (2)
αφου οι ανισότητες (1)  και  (2)  είναι ταυτόσημες. Η πρόταση 1 του δεκάτου βιβλίου του Ευκλείδη προκύπτει αμέσως από αυτήν την μορφή της πρότασης. Είναι επίσης φανερό ότι αν οι ανισότητες αυτές ισχύουν για κάποια τιμή του Ν, έστω για Ν = Ν₀, θα ισχύουν και για κάθε Ν > Ν₀.
Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την πρόταση  (1) για να δείξουμε ότι μεταξύ δύο πραγματικών αριθμών υπάρχει πάντοτε ένας ρητός αριθμός.
Πράγματι έστω α, β δύο πραγματικοί αριθμοί με α < β δηλαδή   (β-α) > 0
Τότε για κατάλληλο φυσικό θετικό αριθμό Ν θα ισχύει  Ν.(β-α) > 1  ή ισοδύναμα
(Ν.β - Ν.α) > 1.
Αυτό όμως σημαίνει ότι μεταξύ των αριθμών (Ν.α) και (Ν.β) υπάρχει ένας τουλάχιστον ακέραιος αριθμός, έστω ο μ.   Θα έχω
Ν.α < μ < Ν.β     ή ισοδύναμα          α < (μ / Ν) < β
και επομένως υπάρχει μεταξύ των α, και β ο ρητός αριθμός  (μ / Ν)
Προφανώς αν υπάρχει απαραίτητα ένας ρητός μεταξύ δύο πραγματικών αριθμών , τότε μεταξύ δύο πραγματικών αριθμών  υπάρχουν πάντοτε άπειροι άπειροι ρητοί.


Πρόταση: Κάθε πραγματικός θετικός αριθμός έχει μια πραγματική θετική τετραγωνική ρίζα

Έστω Α ένας πραγματικός αριθμός. Θεωρούμε το σύνολο Σ όλων των θετικών πραγματικών αριθμών χ που το τετράγωνό τους δεν υπερβαίνει τον Α. Για όλους  τους χ του Σ και μόνον αυτούς θα ισχύει
 χ² ≤  Α  και  χ > 0
Το Σ είναι φραγμένο  από τον αριθμό ψ= (1+Α) αφού 

(1+Α)² = 1+ 2Α + Α² > Α

Το Σ δεν είναι κενό. Περιλαμβάνει τον αριθμό Α / (1+Α) αφού ο    Α/ (1+Α) είναι θετικός και

η σχέση   Α < (1+Α)^2,   συνεπάγεται  Α / (1+Α)² < 1   και τελικά
Α²  / (1+Α)² < Α
και επόμένως ο  αριθμός Α / (1+Α)   ανήκει στο Σ.

Το Σ ως άνω φραγμένο και μη κενό σύνολο πραγματικών αριθμών έχει ένα ελάχιστο άνω φράγμα έστω τον πραγματιό αριθμό β.
Για τον αριθμό β έχω τρείς αλληλοαποκλειόμενες δυνατότητες

β² > Α  ή  β² < Α    β² = Α

Αν  β² > Α, μπορώ να  βρω ένα άνω φράγμα του Σ μικρότερο από το β και αυτό αντίκειται στο ότι ο β είναι το ελάχιστο άνω φράγμα του Σ.
Αρκεί φυσικά να βρω έναν  θετικό αριθμό χ τέτοιον ώστε να είναι

(β-χ) > 0  και    (β-χ)² > Α
Προφανώς θα ισχύει και    0 < (β-χ) < β

Έχω  (β-χ)² > Α  όταν   β²-2βχ + χ² > Α
Αρκεί να είναι β²-2βχ > Α  ή    χ < (β²-Α) / 2β

Χρειάζομαι να είναι και                0 <  χ

Ο  αριθμός  (β²-Α) / 2β    είναι θετικός αριθμός επομένως οι δύο τελευταίς ανισώσεις έχουν περιοχή συναλήθευσης. Αρκεί λοιπόν να είναι  0 < χ < (β²-Α) / 2β   και συνεπώς η υπόθεση
β² > Α        απορρίπτεται

Αν  είναι   β² < Α  μπορώ να βρώ εναν θετικό αριιθμό χ ώστε ο αριθμός β+χ να ανήκει στο Σ και αυτό αντίκειται στο ότι ο αριθμός    β   είναι άνω φράγμα του Σ.
Αρκεί να βρω έναν θετικό αριθμό χ ώστε να είναι

 (β+χ)² < Α      ή    β²+2βχ + χ²  < Α

Μπορώ να διαλέξω τον χ και μοκρότερο του 1, οπότε αρκεί να έχω

0 < χ  < 1    και   β²+2βχ + χ  < Α    ή

0 < χ  < 1     και     χ  <  (Α - β²) / (2β+1)

Καλώ τον θετικό αριθμό του δεύτερου μέλους της δεύτερης ανίσωσης γ   και τον μικρότερο από τους 1 και γ τον ονομάζω  δ. Οι δύο ανισώσεις συναληθεύουν  για

0 < χ < δ

και συνεπώς και η  υπόθεση   β² < Α     απορρίπτεται

Ισύει επομένως η τρίτη δυνατότητα β² = Α  και επομένως ο θετικός αριθμός β είναι η τετραγωνική ρίζα του Α.

Με την ίδια μέθοδο  και χρησιμοποιώντας παρόμοια επιχειρήματα, μπορεί να αποδειχθούν και πολλές άλλες προτάσεις όπως για παράδειγμα η πρόταση ότι  κάθε θετικός πραγματικός αριθμός έχει μία θετική  πραγματική ν-οστή ρίζα για κάθε θετικό ακέραιο ν. Είναι όμως αποδοτικότερο να αποδειχθούν με βάση το αξίωμα του ελαχίστου άνω φράγματος οι βασικές ιδιότητες των συνεχών συναρτήσεων (τρία ή τέσσερα βασικά θεωρήματα), και στη συνέχεια με βάση αυτές τις ιδιότητες να αποδειχθούν  οι προτάσεις που κάθε φορά μας ενδιαφέρουν.
Ο Σπίβακ (Michael Spivak)  στο βιβλίο του για τον Λογισμό ≤  β,με βάση αυτά τα τρία ή τέσσερα θεωρήματα αποδεικνύει αμέσωςοκτώ  σημαντικές προτάσεις και αναφέρει ότι "αυτά τα  (τρία) θεωρήματα θα παίξουν θεμελιώδη ρόλο σχεδόν σε οτιδήποτε κάνουμε αργότερα".


Πρόταση: Στους πραγματικούς αριθμούς περιλαμβάνονται και αριθμοί που δεν είνα ρητοί

Δείξαμε αμέσως πριν ότι για κάθε πραγματικό αριθμό Α υπάρχει ένας πραγματικός αριθμός β που το τετράγωνό του ισούται με Α. Εφάρμόζοντας αυτό για Α =2 και Α = 10, βρίσκουμε ότι υπάρχει ένας πραγματικός αριθμός που το τετράγωνό του ισούται με 2 και ένας πραγματικός αριθμός που το τετράγωνό του ισούται με 10. Ξέρουμε όμως ότι δεν υπάρχουν ρητοί αριθθμοί με αυτές τις ιδιότητες και αυτό αποδεικνύει το ζητούμενο.
Η ύπαρξη μη ρητών αριθμών είναι απολύτως απαραίτητη και για την ανάπτυξη της ανάλυσης. Αν υπήρχαν μόνο οι ρητοί αριθμοί, τότε η συνάρτηση φ(χ) = 1 / (χ³ – 5) θα είχε μη μηδενιζόμενο παρονομαστή και θα έπρεπε να είναι συνεχής παντού, και θα έπρεπε επομένως να είναι φραγμένη σε κάθε πεπερασμένο διάστημα. Όμως η συνάρτηση αυτή δεν είναι φραγμένη στο διάστημα (1, 5) ακόμη και όταν ο χ  παίρνει μόνο ρητές τιμές.