Οι άρρητοι αριθμοί: Ο ορισμός της ισότητας λόγων στον Ευκλείδη

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΙΣΤΟΛΟΓΙΟΥ

Κάνετε αριστερό κλικ εδώ

Η ανάρτηση αυτή έχει στενή σχέση με τις αναρτήσεις:

1. Οι άρρητοι αριθμοί: Η ανακάλυψη των αρρήτων αριθμών
2. Άρρητοι αριθμοί: Τα είδη και οι ιδιότητες των αρρήτων αριθμών
3. Άρρητοι αριθμοί: Το πλήθος των αρρήτων αριθμών - Πληθικοί αριθμοί απειροσυνόλων
4. Από τους φυσικούς αριθμούς στο σώμα των πραγματικών αριθμών - Πλήρη σώματα

Περιεχόμενα

1.Ο ορισμός
2. Τι σημαίνει ο ορισμός
3. Η αντιμετώπιση του ορισμού κατά τους νεώτερους χρόνους


1. Ο ορισμός

Ο ορισμός είναι ο πέμπτος ορισμός του πέμπτου βιβλίου των "Στοιχείων"του Ευκλείδη. Ο Ευκλείδης στον ορισμό του χρησιμοποιεί τον όρο ομογενή  μεγέθη αντί του όρου ομοειδή μεγέθη. Εξ άλλου ο τέταρτος ορισμός του πέμπτου βιβλίου ορίζει ότι, "λέγεται ότι δύο μεγέθη έχουν το ένα προς το άλλο κάποιο λόγο όταν το κάθε ένα πολλαπλασιαζόμενο με κατάλληλα μεγάλο ακέραιο αριθμό μπορεί να υπερβεί το άλλο."
Ο ορισμός αυτός αφ' ενός επιβεβαιώνει ότι οι λόγοι νοούνται ως λόγοι (πηλίκα) ομοειδών μεγεθών αφ' ετέρου διευκρινίζει ότι δεν γίνεται καμιά αναφορά σε λόγους απείρων ή απειροστών μεγεθών.

Ως λόγοι πεπερασμένων ομοειδών μεγεθών, οι λόγοι του Ευκλείδη είναι αδιάστατοι πραγματικοί, σύμμετροι ή ασύμμετροι αριθμοί. Ο ορισμός επομένως της ισότητας λόγων στον Ευκλείδη αποτελεί και ορισμό της ισότητας πραγματικών, σύμμετρων ή ασύμμετρων  αριθμών.
Το θέμα αποκτά πρόσθετο ενδιαφέρον από το ότι σημερινοί ορισμοί της ισότητας πραγματικών αριθμών αποτελούν ουσιαστικά άλλο τρόπο διατύπωσης του ορισμού ισότητας λόγων του Ευκλείδη. Για τον ορισμό αυτό αναφέρεται από ανώνυμο σχολιογράφο ότι πρωτοδιατυπώθηκε από τον Εύδοξο, μαθηματικό, αστρονόμο και νομοθέτη από τη ελληνική πόλη Κνίδος(η) της Μικράς Ασίας, μαθητή του Πλάτωνα και δάσκαλο αργότερα στην ακαδημία του . Όπως και να έχει, ο Ευκλείδης έγραψε μια εξαιρετικά κομψή εκδοχή μιας εκπληκτικά ευφυούς εργασίας και την περιέλαβε στο μεγαλόπνοο έργο του. Από τα "Στοιχεία" του Ευκλείδη γνώρισαν οι νεώτεροι τον ορισμό. Ας τον δούμε και ας τον μεταφράσουμε.

Εν τω αυτώ λόγω μεγέθη λέγεται είναι πρώτον προς δεύτερον και τρίτον προς τέταρτον, όταν τα του πρώτου και τρίτου ισάκις πολλαπλάσια των του δευτερου και τετάρτου ισάκις πολλαπλασίων καθ' οποιονούν πολλαπλασιασμόν εκάτερον εκατέρου ή άμα υπερέχη ή άμα ίσα ή άμα ελλείπη ληφθέντα κατάλληλα.

Δηλαδή
Λέμε ότι το πρώτο προς το δεύτερο μέγεθος έχουν τον ίδιο λόγο με το τρίτο προς το τέταρτο, όταν τα οποιαδήποτε ισοπολλαπλάσια του πρώτου και του τρίτου, είτε και τα δύο υπερβαίνουν, είτε και τα δύο υπολείπονται από, είτε και τα δύο είναι ίσα προς τα οποιαδήποτε ισοπολλαπλάσια του δεύτερου και του τέταρτου αντίστοιχα. 

Ας τον παραφράσουμε
Έστω δύο ομοειδή μεταξύ τους μεγέθη Χ και Ψ και δύο άλλα ομοειδή επίσης μεταξύ τους μεγέθη Χ΄ και Ψ΄ όχι όμως αναγκαστικά ομοειδή με τα Χ και Ψ.
 Λέμε ότι ο λόγος Χ/Ψ είναι ίσος με τον Χ΄/Ψ΄ όταν για οποιουσδήποτε ακέραιους ν και μ, το (ν.Χ) είναι μεγαλύτερο από, μικρότερο από, ίσο προς το (μ.Ψ) όταν το (ν.Χ΄) είναι αντιστοίχως μεγαλύτερο από, μικρότερο από ή ίσο προς το (μ.Ψ΄)


Αν δοκιμάσετε να αποδείξετε με βάση αυτόν τον ορισμό ότι τα εμβαδά Ε και Ε΄δύο τριγώνων με ίσα ύψη έχουν λόγο ίσο με το λόγο των πλευρών α και α΄προς τις οποίες είναι κάθετα τα ίσα ύψη, θα διαπιστώσετε δυνατότητα άμεσης και απλής απόδειξης. Πράγματι πρέπει να δειχθεί ότι α /α΄ = Ε / Ε΄.

Αν ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ τα δύο τρίγωνα, α και α΄ οι πλευρές των δύο τριγώνων οι κάθετες προς τα ίσα ύψη υ,  και Ε, Ε΄τα εμβαδά τους.  Προεκτείνουμε την ΒΓ κατά τμήμα ΓΔ ίσο προς (μ-1). ΒΓ  και την ´ô κατά τμήμα Γ΄Δ΄ ίσο προς (ν-1). ´ô. Είναι ΒΔ = μ.α και Β΄Δ΄ = ν.α΄

Στο τρίγωνο ΑΒΔ διαιρώ την ΒΔ σε μ τμήματα ίσα προς α και συνδέω ευθύγραμμα την κορυφή Α με τα σημεία που διαιρούν τη  ΒΔ σε μ ίσα τμήματα καθώς και με τα Β, Δ.  Σχηματίζονται μ τρίγωνα με κοινό ύψος υ και πλευρά κάθετη προς το κοινό ύψος ίση προς α. Κάθε ένα έχει εμβαδό ίσο προς Ε. 

Με όμοιο τρόπο χωρίζω  το τρίγωνο Α΄Β΄Δ΄ σε  ν τρίγωνα ύψους υ , πλευράς κάθετης προς το κοινό ύψος ίσης προς την ´ô = α΄. Το κάθε ένα από αυτά τα τρίγωνα έχει εμβαδό ίσο προς το εμβαδό του  Α΄Β΄Γ΄ δηλαδλη ίσο προς Ε΄.

Τα τρίγώνα ΑΒΔ και Α΄Β΄Δ΄έχουν τα ύψη τα αγόμενα από τις κορυφές Α και Α΄ ίσα προς υ, και τις πλευρές ΒΔ και Β΄Δ΄ κάθετες προς αυτά τα ύψη

Αν είναι μ.α > ν.α΄
τότε είναι ΒΔ > Β΄Δ΄ και επομένως το εμβαδό του τριγώνου  ΑΒΔ είναι μεγαλύτερο  του εμβαδού τουν τριγώνου Α΄Β΄Δ΄ ,  άρα και μ.Ε > ν.Ε΄
Αν είναι  μ.α < = να΄ 
 βρίσκω με όμοιο τρόπο ότι θα είναι αντιστοίχως και μ.Ε <= ν.Ε΄.
Αποδείχθηκε έτσι με πολύ απλό τρόπο ότι είναι  α /α΄ = Ε / Ε΄

Εντελώς ανάλογες παρατηρήσεις μπορεί να γίνουν και για το θεώρημα του Θαλή που στο λύκειο αποδεικνύεται μόνο όταν η δέσμη παραλλήλων ορίζει πάνω στη μια από τις δύο τεμνόμενες ευθείες, τμήματα με λόγο ρητό (σύμμετρο) αριθμό. Με την εφαρμογή του ορισμού που συζητάμε η απόδειξη του θεωρήματος γίνεται και στη περίπτωση ασύμμετρων λόγων, άμεσα και εύκολα και αυστηρά. Ανάλογες παρατηρήσεις μπορεί να γίνουν και για πολλές άλλες προτάσεις μεταξύ των οποίων περιλαμβάνονται τα περισσότερα από τα θεωρήματα που αφορούν τα όμοια σχήματα.
Εξαιρετικά χρήσιμος και αποδοτικός λοιπόν ο ορισμός. Τι όμως σημαίνει;


2.Τι σημαίνει ό ορισμός

Ας επανέλθουμε στα δύο ζεύγη ομοειδών ανά δύο μεγεθών Χ και Ψ αφ' ενός και Χ΄και Ψ΄ αφ' ετέρου. Έχουμε πει ότι ο λόγος Χ/Ψ είναι ίσος με τον Χ΄/Ψ΄ όταν για οποιουσδήποτε θετικούς ακέραιους ν και μ, το (ν.Χ) είναι μεγαλύτερο από, μικρότερο από, ίσο προς το (μ.Ψ) όταν το (ν.Χ΄) είναι αντιστοίχως μεγαλύτερο από, μικρότερο από ή ίσο προς το (μ.Ψ΄)

Είναι όμως

(ν.Χ) > (μ.Ψ) όταν Χ /Ψ > μ/ν και

(ν.Χ΄) > (μ.Ψ΄) όταν Χ΄/Ψ΄> μ/ν



Οι αριθμοί μ και ν είναι όμως αυθαίρετοι θετικοί ακέραιοι αριθμοί και επομένως ο (μ/ν) είναι αυθαίρετος, τυχαίος, ρητός αριθμός. Ετσι μπορούμε να πούμε ότι ο ορισμός σημαίνει ότι για να είναι ο λόγος Χ/Ψ ίσος με το λόγο Χ΄/Ψ΄ θα πρέπει κάθε ρητό αριθμό που υπερβαίνει ο Χ/Ψ να τον υπερβαίνει και ο Χ΄/Ψ΄ και αναλόγως ότι από οποιοδήποτε ρητό αριθμό υπολείπεται ο Χ/Ψ θα πρέπει να υπολείπεται και ο Χ΄/Ψ΄ και ότι όταν τυχαίνει ο Χ/Ψ να είναι ίσος με έναν ρητό αριθμό θα πρέπει με τον ίδιο ρητό αριθμό να είναι ίσος και ο Χ΄/Ψ΄.

Με άλλα λόγια ο ορισμός του πέμπτου βιβλίου του Ευκλείδη είναι ισοδύναμος με την πρόταση
"Δύο λόγοι (και επομένως δύο πραγματικοί αριθμοί) είναι ίσοι όταν δεν υπάρχει μεταξύ τους ρητός αριθμός."
Αυτός είναι και ο κατά  Βάιερστρας ορισμός της ισότητας πραγματικών αριθμών¹.

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι η ύπαρξη πάντοτε ρητών αριθμών μεταξύ δύο διαφορετικών πραγματικών αριθμών ήταν κάτι που προέκυπτε από αξίωμα² και επομένως ο ορισμός είναι εύλογος. Και όχι μόνο. Ο ορισμός ανάγει την εξέταση της ισότητας δύο λόγων στη σύγκριση, με την έννοια του μεγαλύτερο μικρότερο ή ίσο ακεραίων πολλαπλασίων ομοειδών μεγεθών, που αποτελεί διαδικασία πολύ πιο απλή. Επιτρέπει έτσι απλές και ταυτόχρονα αυστηρές αποδείξεις ακόμη και όταν χρειάζεται χειρισμός ασυμμέτρων αριθμών.

Με ανάλογο τρόπο ορίστηκαν και οι ανισοτικές σχέσεις.
Ορίστηκε (ορισμός 7 του πέμπτου βιβλίου) ότι για ομοειδή μεταξύ τους μεγέθη Χ, Ψ και επίσης ομοειδή μεταξύ τους μεγέθη Χ΄, Ψ΄ είναι

Χ/Ψ  > Χ΄/Ψ΄

όταν για κάποιους  ακέραιους ν και μ, το (ν.Χ) είναι μεγαλύτερο από το (μ.Ψ) ενώ  το (ν.Χ΄) δεν είναι αντιστοίχως μεγαλύτερο από το (μ.Ψ΄).
Δηλαδή όταν υπάρχει ρητός μ/ν που τον υπερβαίνει ο Χ/ Ψ ενώ δεν τον υπερβαίνει ο Χ΄/ Ψ΄.

Με τους ορισμούς αυτούς ξεπεράστηκε η κρίση που είχε δημιουργηθεί στα μαθηματικά με την ανακάλυψη των αρρήτων (ασυμμέτρων) αριθμών και τις δυσκολίες χειρισμού τους. Τα ελληνικά μαθηματικά αναγεννήθηκαν και είχαν ανάπτυξη εκπληκτική. Από το σημείο που εφθασαν τα μαθηματικά με τους Έλληνες, οι δυτικοί άρχισαν να προωθούν περαιτέρω την ανάπτυξή τους μετά 1800 χρόνια στασιμότητας, λησμοσύνης και σιωπής³. Και κάτι ακόμη. Η αυστηρότητα των ελληνικών μαθηματικών  επανεμφανίζεται στους νεώτερους χρόνους μόνο από τον 19ο αιώνα και έπειτα. Μέχρι τότε τα νεώτερα μαθηματικά στερούσαν σε αυστηρότητα έναντι των ελληνικών μαθηματικών.


3. Η αντιμετώπιση του ορισμού κατά τους νεώτερους χρόνους

Κατα τη νεότερη εποχή ο ορισμός του Ευκλείδη αρχικά δεν κατανοήθηκε και έγινε αντικείμενο έντονης και βίαια εχθρικής κριτικής κατά τους ύστερους μεσαιωνικούς και κατά τους αναγεννησιακούς χρόνους. Οι εχθρικές κριτικές συνεχίστηκαν μέχρι περίπου το 1800. Μεταξύ των επικριτών περιλαμβάνονται και γνωστοί μαθηματικοί αλλά και ο Γαλιλαίος⁴. Όμως κάπου γύρω στο 1800 αρχίζουν να εμφανίζονται περιπτώσεις ενθουσιώδους αποδοχής του ορισμού. Ο Χάουαρντ Ηβς αναφέρει ότι

"Ο Μπολτζάνο (Bernhard Bolzano 1781 - 1848), που υπήρξε ένας κατατρεγμένος Τσέχος ιερέας και ένας παραμελημένος μαθηματικός, βρισκόταν σε διακοπές στην Πράγα, όταν προσβλήθηκε από αρρώστια που εκδηλώθηκε με ρίγη και κόπωση. Περνούσε όμως τον καιρό του διαβάζοντας τον Ευκλείδη. Η ανάγνωση της θεωρίας των λόγων και η κατανόησή της και η εφαρμογήτης του προκάλεσαν ενθουσιασμό και χαρά που εξαφάνισαν τα συμπτώματα της αρρώστιας του αναφέρει ο ίδιος και γι αυτό σε όποιον φίλο του αισθανόταν αδιαθεσία, του συνιστουσε σαν θεραπεία την ανάγνωση του πέμπτου βιβλίου του Ευκλείδη που παρουσίαζε με έξοχο τρόπο τη σχετική με τους λόγους ιδιοφυή εργασία του Ευδόξου." ⁵.

Υπάρχει όμως και συνέχεια και μάλιστα πιο ουσιαστική.
Ο Βάιερστρας (Karl Weierstras 1815- 1897), υιοθέτησε τον ορισμό του Ευκλείδη ως ορισμό της ισότητας πραγματικών αριθμών αναφέρει ο Sir Tomas Heath και το θεωρεί αυτό ως "τον μεγαλύτερο φόρο τιμής σ' αυτόν τον έξοχο ορισμό" ⁶.
Ο Μαξ Σιμόν σημειώνει επίσης ότι ο ορισμός των ίσων λόγων στα στοιχεία του Ευκλείδη είναι λέξη προς λεξη ο ίδιος με τον κατά Βάιερστρας ορισμό της ισότητας αριθμών και δείχνει ότι οι Έλληνες είχαν μια εντελώς ξεκάθαρη αντίληψη της έννοιας του αριθμού σε όλη τη γενικότητά του, σχεδόν πανομοιότυπα ίδια (identical) με την αντίληψη του Βάιερστρας για τον αριθμό⁴. 
Ακόμη ο Μπέρταντ Ράσσελ  στην "Ιστορία της Δυτικής Φιλοσοφίας" αναφέρει ότι "ο ορισμός των ίσων λόγων  υποδηλώνει τις μεθόδους της νεότερης ανάλυσης" και προσθέτει ότι "η σχετική θεωρία έχει μεγάλη λογική ομορφιά"

Υπάρχει και άλλη συνέχεια. Στα νεότερα μαθηματικά οι πραγματικοί αριθμοί είτε καθορίζονται εξ αρχής με ένα σύνολο αξιωμάτων, είτε "κατασκευάζονται" με τους ρητούς αριθμούς. Στη δεύτερη περίπτωση, μέσω των ρητών αριθμών ορίζεται η ισότητα πραγματικών αριθμών.
Ο Ντέντεκιντ (Dedekind 1831-1916) όρισε τους πραγματικούς αριθμούς μέσω "τομών" ρητών αριθμών. Ο Χάουαρντ Ηβς (Howard Eves 1911- ;) σημειώνει ότι η μέθοδος πλήρωσης του συστήματος των ρητών αριθμών και δημιουργίας των πραγματικών αριθμών με τη βοήθεια των λεγομένων τομών Ντέντεκιντ, απότελεί ουσιαστικά μια αριθμητοποιημένη εκδοχή της θεωρίας των λόγων του πέμπτου βιβλίου των "Στοιχείων" ⁵.

Στη θεμελίωση του Ντέτεκιντ, οι πραγματικοί αριθμοί (ρητοί και άρρητοι) ορίζονται ως εξής.   Διαιρούνται όλοι οι ρητοί αριθμοί σε δύο κλάσεις Α και Β ούτως ώστε κάθε αριθμός της κλάσης Α να είναι μικρότερος από κάθε αριθμό της κλάσης Β. Αν υπάρχει ένας ρητός αριθμός που είναι μεγαλύτερος   από όλους τους άλλους αριθμούς της κλάσης Α και  μικρότερος από όλους τουςάλλους  αριθμούς της κλάσης Β τότε η τομή ορίζει αυτόν τον ρητό αριθμό. Τον ρητό αυτόν αριθμό τον θέτουμε ως τον πρώτο αριθμό της κλάσης Β.
Για παράδειγμα  αν περιλάβουμε στην κλάση Α όλους τους ρητούς τους μικρότερους του 3, στην κλάση Β όλους τους ρητούς τους μεγαλύτερους του 3 και τον αριθμό 3 τον θέσουμε  πρώτο αριθμό της κλάσης Β έχουμε μια τομή που ορίζει τον πραγματικό αριθμό 3.

Στην περίπτωση που δεν υπάρχει   ρητός αριθμός που είναι   μεγαλύτερος όλων των άλλων αριθμών της κλάσης Α και  μικρότερος όλων των άλλων αριθμών της κλάσης Β, ο Ντέντεκιντ έθεσε ως αξίωμα ότι υπάρχει ένας αριθμός που στην περίπτωση αυτήν είναι άρρητος και είναι μεγαλύτερος όλων των αριθμών της κλάσης Α και μικρότερος όλων των αριθμών της κλάσης Β. Ο αριθμός αυτός είναι μοναδικός. Ένας μόνο αριθμός μπορεί να έχει αυτήν την ιδιότητα.
Για παράδειγμα αν η κλάση Α αποτελείται από όλους τους αρνητικούς ρητούς αριθμούς, το μηδέν και από τους θετικούς ρητούς αριθμούς που το τετράγωνό τους δεν υπερβαίνει τον αριθμό 10, και η κλάση Β από τους θετικούς ρητούς αριθμούς που το τετράγωνό τους υπερβαίνει τον αριθμό 10, τότε επειδή δεν υπάρχει ρητός αριθμός που το τετράγωνό του ισούται με δέκα⁷, οι κλάσεις Α και Β περιλαμβάνουν όλους τους ρητούς αριθμούς και δεν υπάρχει ούτε μέγιστος αριθμός στην κλάση Α, ούτε ελάχιστος στην κλάση Β. Ο Ντέντεκιντ όρισε τον άρρητο αριθμό που κατά το αξίωμά του υπάρχει και είναι μεγαλύτερος όλων των αριθμών της κλάσης Α και μικρότερος όλων των αριθμών της κλάσης Β ως την τετραγωνική ρίζα του 10. Η τομή αυτή ορίστηκε έτσι  ως η τετραγωνική ρίζα του 10.

Ο Ντέντεκιντ όρισε ως πραγματικούς αριθμούς τις τομές των ρητών αριθμών. Όρισε και πράξεις μεταξύ τομών δηλαδή πράξεις μεταξύ πραγματικών αριθμών. Έδωσε φυσικά και όρισμό της ισότητας μεταξύ πραγματικών αριθμών.
Δύο αριθμοί ορίστηκαν να είναι ίσοι όταν η κλάση Α του ορισμού του πρώτου είναι η ίδια με την κλάση Α του ορισμού του δεύτερου (οπότε και η κλάση Β του πρώτου είναι η ίδια με την κλάση Β του ορισμού του δεύτερου). Δηλαδή όρισε ότι δύο πραγματικοί αριθμοί είναι ίσοι όταν μεταξύ τους  δεν υπάρχει ρητός αριθμός.

Η σχέση όμως των δύο ορισμών είναι πιο άμεση. Ο ορισμός του Ευκλείδη ορίζει δύο λόγους ως ίσους με ένα τρόπο που συνεπάγεται εύκολα ότι οι δύο λόγοι είναι ίσοι και με τον τον κατά Ντέντεκιντ ορισμό της ισότητας πραγματικών αριθμών, αναφέρει ο Sir Tomas Heath. Η κατά τον Ευκλείδη ισότητα των λόγων Χ/Ψ και Χ΄/Ψ΄συνεπάγεται άμεσα ότι οι τομές Ντέτεκιντ που καθορίζουν τους αριθμούς Χ/Ψ και Χ΄/Ψ΄ ταυτίζονται^8,9.

Τόσο ο Ντέτεκιντ όσο και ο δάσκαλός του Βάϊερστρας είχαν μελετήσει σε βάθος το εγχειρίδιο του Ευκλείδη και ήξεραν καλά τον ορισμό που εδώ συζητούμε. Ο Βάϊερστρας και ο Ντετέκιντ ωστόσο επηρεάστηκαν άμεσα και από τα έργα συγχρόνων τους και το έργο τους χαρακτηρίζεται από πρωτοτυπία. Τα χρόνια του Ντέτεκιντ είχε ήδη θεμελιωθεί αξιωματικά το σύνολο των φυσικών αριθμών Ν = (1, 2, 3,... ) και είχε ξεκινήσει η διαδικασία "κατασκευής" του συνόλου των ακεραίων Ζ, του συνόλου των ρητών αριθμών Q και του συνόλου των πραγματικών αριθμών R. Κάθε ένα από αυτά τα σύνολα είναι υποσύνολο των επομένων του και κάθε ένα επιδιώκετο να κατασκευασθεί από το αμέσως προηγούμενο του. Το πιο δύσκολο βήμα ήταν ασφαλώς το βήμα από το Q στο R. Σε όλα αυτά μπορεί να αναζητήσει κανείς επίδραση των ελληνικών μαθηματικών και ειδικότερα του ορισμού της ισότητας λόγων. Εκτός όμως από την ύπαρξη αυστηρού και θαυμαστού αρχαιοελληνικού ορισμού που οι δυτικοί επιθυμούσαν να ξεπεράσουν, είχε αναπτυχθεί από τον Κάντoρ (Georg Cantor 1845-1918) η θεωρία των συνόλων, έργο εντελώς πρωτότυπο που άλλαξε και τον τρόπο ανάπτυξης και τον τρόπο παρουσίασης των μαθηματικών και έδινε νέα κίνητρα για να ξεκινήσει μια προσπάθεια επαναθεμελίωσης των πραγματικών αριθμών.

Είχαν  δημιουργηθεί νέες έννοιες και είχαν προκύψει νέα προβλήματα. Στην παρουσίαση του συνόλου  των ρητών αριθμών ως ένωσης δύο συνόλων με τα στοιχεία του πρώτου συνόλου να είναι μικρότερα από τα στοιχεία του δεύτερου μπορούσε να  υπάρχει ρητός μεγαλύτερος από όλα τα στοιχεία του πρώτου συνόλου και μικρότερος από όλα τα στοιχεία του δεύτερου. Η τομή που αντιστοιχεί στον συγκεκριμένο διαμερισμό των ρητών, αυτόν τον ρητό αριθμό  καθορίζει. Μπορεί όμως να μην ύπάρχει ρητός αριθμός μεγαλύτερος από όλα τα στοιχεία του πρώτου συνόλου της τομής και ταυτόχρονα μικρότερος από όλα τα στοιχεία του δεύτερου συνόλου. Στην περίπτωση αυτήν ανίχνευσαν χάσμα που θα έπρεπε να πληρωθεί. Για παράδειγμα μεταξύ των ρητών σημείων μιας ημιευθείας που  το τετράγωνο της απόστασης από την αρχή είναι μκρότερο από δύο και των ρητών σημείων που το τετράγωνο της απόστασης από την αρχή είναι μεγαλύτερο από δύο, υπάρχει το σημείο που το τετράγωνο της απόστασής του από την αρχή είναι ίσο με δύο. Η απόστασή του από την αρχή ισούται με το μήκος της διαγωνίου ενός τετραγώνου με πλευρά ίση με ένα. Η απόσταση αυτή δεν μετριέται με κανέναν ρητό αριθμό αφού δεν υπάρχει ρητός αριθμός που το τετράγωνότου είναι δύο. Η τομή αυτή των ρητών αναδεικνύει επομένως ένα χάσμα στο σύνολο των ρητών αριθμών Με την απόδοση σε κάθε τομή που συναντάμε χάσμα των ρητών αριθμών ενός νέου (άρρητου) αριθμού, πετυχαίνουμε τη δημιουργία ένός νέου συνόλου αριθμών που περιλαμβάνει όλους τους ρητούς  και τους αρρήτους (μη ρητούς) αριθμούς και δεν εμφανίζει χάσματα. Αυτό το σύνολο μπορεί να αντιστοιχηθεί αμφιμονοσήμαντα με τα σημεία μιας ευθείας και είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών.

Έγραψα αρκετά για να δείξω ότι ο Ντέντεκιντ δεν ξεκίνησε μόνο από τον ορισμό ισότητας λόγων των "Στοιχείων" του Ευκλείδη. Θα πρέπει  όμως να δεχτούμε ότι αν  ο Ντέντεκιντ δεν είχε υπόψη του τον ορισμό του Ευκλείδη και τη θεωρία ασυμμέτρων  μάλλον δεν θα είχε ξεκινήσει τις εργασίες του. Ο Ράσελ αναφέρει ότι χωρίς τα ελληνικά μαθηματικά η ανάπτυξη της δυτικής επιστήμης θα ήταν αδιανόητη. Και η  ομοιότητα του ορισμού του πέμπτου βιβλίου του Ευκλείδη και των ορισμών των νεώτερων μαθηματικών είναι εντυπωσιακή και δεν μπορεί να παραγνωρισθεί.
Αυτό επιβεβαιώνει την εκπληκτική ευστοχία και οξυδέρκεια του συντάκτη του ορισμού. Ο ορισμός του εξυπηρετεί σε κάθε περίπτωση. Και δύο χιλιάδες διακόσια χρόνια μετά τη διατύπωσή του, ο Ντέντεκιντ κατέληξε σε ορισμό με εμφανείς ομοιότητες, και την ίδια περίοδο ο ορισμός του Ευκλείδη υιοθετήθηκε από τον Βάιερστρας.
Κατά τις μέρες μας o Χάουαρντ Ηβς ανέφερε ότι το πέμπτο βιβλίο των στοιχείων του Ευκλείδη θεωρείται ως ένα από τα αριστουργήματα της μαθηματικής βιβλιογραφίας και η διατύπωση του ορισμού της ισότητας των λόγων που περιλαμβάνεται σε αυτό το βιβλίο θεωρήθηκε από τον ίδιο ως μια μεγάλη στιγμή των μαθηματικών. Φυσικά η συγγραφή των "Στοιχείων" θεωρήθηκε ως άλλη μια μεγάλη στιγμή των μαθηματικών⁵, η μεγαλύτερη κατά τη γνώμη μου στιγμή των μαθηματικών.


Σημειώσεις - Παραπομπές

1. Για να γίνει αντιληπτό το πώς μπορεί να χρησιμοποιηθεί αυτή η πρόταση ή ορισμός, προσπαθήστε να αποδείξετε ότι το τετράγωνο πλευράς α έχει εμβαδό α τετράγωνο. Αποδείξτε το πρώτα για ακέραιες τιμές του μήκους της πλευράς α,  μετά για μήκος της πλευράς α ίσο προς 1/ν και μετά για μήκος της πλευράς α ίσο προς μ/ν (μ,ν είναι ακέραιοι και θετικοί αριθμοί). Αποδείξτε στη συνέχεια ότι αν το μήκος της πλευράς α υπερβαίνει τον ρητό αριθμό μ/ν τότε και η ρίζα του εμβαδού του τετραγώνου τον υπερβαίνει (αρκεί να διαπιστώσετε με απλή παρατήρηση ότι το εμβαδό του τετραγώνου με πλευρά α είναι μεγαλύτερο του εμβαδού του τετραγώνου με πλευρά μ/ν όταν α > μ/ν ) και ολοκληρώστε την απόδειξη αποδεικνύοντας ότι αν  το μήκος της πλευράς α υπολείπεται από τον ρητό αριθμό μ/ν τότε και η ρίζα του εμβαδού του τετραγώνου  υπολείπεται από τον ίδιο αριθμό.


2. Το συγκεκριμένο αξίωμα οφείλεται και αυτό στον Εύδοξο και ονομάζεται αξίωμα του Ευδόξου ή αξίωμα του Αρχιμήδη. Μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: 
Ο οποιοσδήποτε θετικός ρητός ή άρρητος αριθμός α πολλαπλασιαζόμενος επί κατάλληλα μεγάλο ακέραιο θετικό αριθμό μπορεί να υπερβεί οποιονδήποτε αριθμό, και γενικότερα
Το οποιοδήποτε μέγεθος πολλαπλασιαζόμενο επί κατάλληλα μεγάλο ακέραιο θετικό αριθμό μπορεί να υπερβεί οποιοδήποτε ομοειδές του μέγεθος .   
Ας σημειωθεί ότι το αξίωμα ονομάζεται και αξίωμα συνεχείας και είναι ισοδύναμο με την πρόταση: Ο οποιοσδήποτε θετικός αριθμός α διαιρούμενος με κατάλληλα μεγάλο ακέραιο θετικό αριθμό μπορεί να γίνει μικρότερος οποιουδήποτε  θετικού αριθμού.

Αν α < β τότε β-α > 0,  και σύμφωνα με το αξίωμα για κατάλληλα μεγάλη θετική τιμή του ακεραίου ν θα είναι ν.(β-α) > 1 ή αλλιώς (ν.β)-(ν.α) > 1.
Θα υπάρχει επομένως μεταξύ των αριθμών (ν.α) και (ν.β) ένας τουλάχιστον ακέραιος έστω ο μ.
θα ισχύει τότε (ν.α) < μ < (ν.β) και επομένως α < μ/ν < β.  Ο αριθμός μ/ν είναι ρητός ως λόγος δύο ακεραίων και βρίσκεται μεταξύ του πραγματικού αριθμού α και του πραγματικού αριθμού β. α

3. Το ότι η ανάπτυξη των επιστημών από τους δυτικούς διευκολύνθηκε τα μέγιστα από τη μελέτη αρχαιοελληνικών κειμένων που είχαν διασωθεί είναι αναμφισβήτητο.  Αυτό όμως δεν σημαίνει ότι η από μέρους τους ανάπτυξη των επιστημών οφείλεται στους Έλληνες. Αποτελεί αυτό,  των δυτικών  επίτευγμα. 
Οι δυτικοί μελετούσαν τα αρχαιοελληνικά κείμενα γιατί εύρισκαν ενδιαφέροντα τα θέματα που περιελάμβαναν και γιατί εύρισκαν αξιόλογο ή και σπουδαίο τον τρόπο προσέγγισης και ανάπτυξης τους. Τα αρχαία ελληνικά κείμενα τους μιλούσαν για θέματα που τους απασχολούσαν ή τους συνέπαιρναν, και πολλές φορές είχαν και οι δυτικοί κάτι να πουν για τα ίδια θέματα, και πολλές φορές η μελέτη ενός θέματος γινόταν αφορμή για να τεθεί και να εξεταστεί σε βάθος ένα καινούργιο θέμα. Είναι απίστευτο το πλήθος των σχολίων που διατύπωσαν και των παράλληλων θεμάτων που εξέτασαν λεπτομερώς μελετώντας τα "Στοιχεία" του Ευκλείδη. Και συν τω χρόνω όλο και περισσότερο, από τη σπουδή θεμάτων που είχαν τεθεί από τους ίδιους ή από την εξέλιξη προέκυπταν τα καινούρια θέματα που μελετούσαν και αντιμετώπιζαν.  
Το ζήτημα από την αρχή δεν ήταν μόνο η ύπαρξη δυνατότητας πρόσβασης στα αρχαιοελληνικά κείμενα, αν και αυτή η δυνατότητα διευκόλυνε πολύ τα πράγματα και μπορεί να θεωρηθεί ως εκ των ουκ άνευ. Όμως και οι βυζαντινοί είχαν δυνατότητα πρόσβασης στα αρχαιοελληνικά κείμενα, αλλά επιστήμες δεν ανέπτυξαν.  Ίσως μπορούμε να υποθέσουμε ότι δεν πρόλαβαν. Αντίθετα με τους Δυτικούς δέχτηκαν μεγάλες εξωτερικές πιέσεις και δεν μπόρεσαν να κρατήσουν μέχρι να αναζωπυρωθεί το ενδιαφέρον τους για τις επιστήμες. Ούτε όμως οι νεοέλληνες ανέπτυξαν τις επιστήμες. 

4.Sir Tomas Heath: Euclid The Thirteen Books of Elements

5.Howard Eves: Μεγάλες Στιγμές των Μαθηματικών

6.Sir Tomas Heath: A History of Greek Mathematics

7. Το τετράγωνο αρνητικών αριθμών ισούται με το τετράγωνο της απόλυτης τιμής τους που είναι θετικός αριθμός. Ο 4 και οι θετικοί ακέραιοι που υπερβαίνουν τον 4 έχουν τετράγωνο μεγαλύτερο του 10. Ο 3, οι θετικοί ακέραιοι οι μικρότεροι του 3 και ο 0 (μηδέν) έχουν τετράγωνο μικρότερο του 10, και μεταξύ του 3 και του 4 δεν υπάρχουν ακέραιοι αριθμοί. Άρα δεν υπάρχουν ακέραιοι με τετράγωνο ίσο προς 10. 
Έστω τώρα ότι υπάρχει ανάγωγος ρητός α/β με α, β θετικούς ακέραιους χωρίς κοινούς παράγοντες μεγαλύτερους του 1, και ότι (α/β)² = 10. Θα έχω  α² = 10β²  και επομένως ότι ο α² περιέχει όλους τους  πρώτους παράγοντες του β² και μάλιστα με εκθέτη τουλάχιστον ίσο με τον εκθέτη που έχουν στον β².  Άρα και ο α περιέχει όλους τους πρώτους παράγοντες του β και  μάλιστα με εκθέτη τουλάχιστον ίσο με τον εκθέτη που έχουν στον β. Επομένως ο θετικός ακέραιος β είναι παράγοντας του α, άρα κοινός παραγοντας του α και του β και συνακόλουθα δεν μπορεί να υπερβαίνει τον 1. Ισούται επομένως με 1. Αυτό όμως συνεπάγεται ότι ο ακέραιος α έχει τετράγωνο ίσο προς 10 όπερ άτοπον.
Μπορούμε να γενικεύσουμε διατυπώνοντας  πρόταση ως εξής:
Αν ο ακέραιος θετικός αριθμός Α δεν ισούται με νιοστή δύναμη ακεραίου (ν ακέραιος και ν>1), τότε ο αριθμός "νιοστή ρίζα του Α" είναι ασύμμετρος. Η απόδειξη της έχει ουσιαστικά δοθεί.
Ας σημειωθεί ότι το τετράγωνο της διαγωνίου ορθογωνίου παραλληλογράμμου με πλευρές 3 και 1, ισούται με 10. Οι αρχαίοι είχαν δείξει για πρώτη φορά ότι υπάρχουν μήκη που δεν είναι ρητοί (σύμμετροι) αριθμοί ξεκινώντας με το μήκος των διαγωνίων τετραγώνου και κανονικού πενταγώνου πλευράς ίσης με 1 και ανέπτυξαν γενική μέθοδο για να αποφαίνονται για το σύμμετρο ή ασύμμετρο του λόγου δύο μεγεθών στηριζόμενοι στο αξίωμα του Ευδόξου. Η "διαδικασία" ήταν ιδιαίτερα ευρηματική και απλή, η παρουσίασή της απαιτεί όμως νέους ορισμούς και διευκολύνεται με σχήμα. Παρουσιάζεται στην ανάρτηση "Η ανακάλυψη των αρρήτων αριθμών" 

8. Ας σημειωθεί ότι και με τις μεθόδους των αρχαίων Ελλήνων υπήρχε η δυνατότητα εύρεσης ικανοποιητικών ρητών προσεγγίσεων αρρήτων αριθμών. Για παράδειγμα αναφέρω ότι αν ήθελαν να υπολογίσουν την τετραγωνική ρίζα του μή τετράγωνου ακεραίου Α και α² ήταν το πλησιέστερο ακέραιο τετράγωνο προς τον Α έπαιρναν

α₁ = (1/2).(α + Α/α),   

α₂  =(1/2).(α₁ + Α/α₁) 

καί συνέχιζαν με τον ίδιο τρόπο. Εύρισκαν γρήγορα ικανοποιητική προσέγγιση. Η μέθοδος χρησιμοποιείται και σήμερα. Μία άλλη μέθοδος βελτίωσης μιας προσέγγισης ήταν  αν προσδιοριζόταν ο χ μεταξύ του α/β και του γ/δ , να δοκιμαζόταν προσεγίσεις του χ της μορφής (μ.α +ν.γ) / (μ.β+ν.δ) όπου μ,ν είναι ακέραιοι. Είχαν αναπτύξει και άλλες μεθόδους για άλλες περιπτώσεις. 

Σήμερα η ύπαρξη του δεκαδικού θεσιακού συστήματος γραφής των αριθμών επιτρέπει κάτι πιο συστηματικό. Μπορεί να προσδιορίζονται συστηματικά τα ψηφία του δεκαδικού αναπτύγματος  των αρρήτων αριθμών. Την εύρεση ρητών προσεγγίσεων αρρήτων διευκολύνουν πολύ και οι νεότερες μέθοδες του λογισμού όπως οι μέθοδοι ανάπτυξης συναρτήσεων σε συγκλίνουσες απειροσειρές,  και φυσικά η ανάπτυξη της θεωρίας και η ανάπτυξη των εφαρμογών  των αθροιζομένων απείρων σειρών και η χρήση ηλεκτρονικών υπολογιστών. Το δεκαδικό ανάπτυγμα ενός αρρήτου αριθμού έχει πάντοτε άπειρα ψηφία που δεν επαναλαμβάνονται περιοδικά, ούτε από την αρχή ούτε από κάποιο ψηφίο και έπειτα. Αν ένας αριθμός παρουσιάζει περιοδικότητα των ψηφίων του δεκαδικού του αναπτύγματος από κάποιο ψηφίο και έπειτα, τότε είναι ρητός και είναι εύκολο να βρεθεί ποιος ρητός αριθμός είναι.

9. Ας είναι οι λόγοι Χ/Ψ και Χ΄/Ψ΄ ίσοι κατά τον ορισμό του Ευκλείδη. Ο λόγος Χ/Ψ διαιρεί όλους τους ρητούς σε δύο κλάσεις Α και Β κατά την έννοια του Ντέντεκιντ Ο λόγος Χ΄/Ψ΄ διαιρεί όλους τους ρητούς σε δύο κλάσεις Α΄ και Β΄ επίσης κατά την έννοια του Ντέντεκιντ Έστω ο μ/ν ένας ρητός αριθμός της κλάσης Α. Οι μ, ν είναι ακέραιοι αριθμοί. Αφού ο μ/ν ανήκει στην κλάση Α
θα έχω μ/ν < Χ/Ψ και επομένως ν.Χ > μ.Ψ
Επειδή όμως οι λόγοι Χ/Ψ και Χ΄/Ψ΄ είναι ίσοι κατά τον ορισμό του Ευκλείδη η σχέση ν.Χ > μ.Ψ συνεπάγεται ότι ν.Χ΄> μ.Ψ΄ και αυτό ότι μ/ν < Χ΄/Ψ΄ που σημαίνει ότι ότι κάθε αριθμός της κλάσης Α ανήκει στην κλάση Α΄  
Μέ όμοιο τρόπο αποδεικνύει ο Sir Tomas Heath και το αντίσροφο και ότι επομένως οι κλάσεις Α και Α΄είναι ίδιες και ότι οι κλάσεις Β και Β΄ είναι ίδιες και επομένως ότι οι Χ/Ψ και Χ΄/Ψ΄ είναι ίσοι και σύμφωνα με τον ορισμό του Ντέντεκιντ. Η περίπτωση να είναι ο Χ/Ψ ρητός αριθμός είναι απλούστερη και αποδεικνύεται και στην περίπτωση αυτή ότι η ισότητα κατά την έννοια του Ευκλείδη συνεπάγεται αμέσως και αυστηρά, ισότητα και κατά Ντέτεκιντ.