Εμφάνιση αναρτήσεων με ετικέτα Ανακάλυψη. Εμφάνιση όλων των αναρτήσεων
Εμφάνιση αναρτήσεων με ετικέτα Ανακάλυψη. Εμφάνιση όλων των αναρτήσεων

8 Οκτ 2012

Π08 αλφάβητο ΙΙΙ


Η ανακάλυψη του αλφαβήτου και η δημιουργία της αλφαβητικής γραφής




Κάνετε αριστερό κλικ εδώ





Η σχετική βιβλιογραφία και πληροφορίες για τους αναφερόμενους παρατίθενται στην ανάρτηση Το αλφάβητο: Αλφάβητο, αλφαβητική γραφή και είδη γραφής
Η ανάρτηση Αλφάβητο και αλφαβητική γραφή  περιλαμβάνει το περιεχόμενο των  υπολοίπων πέντε αναρτήσεων όπως είχε διαμορφωθεί το 2013 (χωρίς να ενημερώνεται αυτή η ανάρτηση με νεώτερες προσθήκες και διορθώσεις)

Άλλες αναρτήσεις με θέμα ιστορικό και γλωσσολογικό 

1. Ο Νικόλαος Ανδριώτης για τους αρχαίους Μακεδόνες και την αρχαία μακεδονική γλώσσα
2. Η γλώσσα της πλειονότητας στο κράτος των Σκοπίων





Το αλφάβητο: Η ανακάλυψη του αλφαβήτου και η δημιουργία της αλφαβητικής γραφής


Περιεχόμενα


1. Η ανακάλυψη του αλφαβήτου
2. Η δημιουργία της αλφαβητικής γραφής
3. Ποιος ανακάλυψε το αλφάβητο
4. Πού ανακαλύφθηκε το αλφάβητο
5. Πότε ανακαλύφθηκε το αλφάβητο
6. Γιατί οι Έλληνες αναζήτησαν ένα νέο σύστημα γραφής





Η ανακάλυψη του αλφαβήτου

Κατά τον Diringer, η συμβολή των Ελλήνων στο αλφάβητο ήταν μεγαλύτερη από οποιαδήποτε άλλη (paramount). 
Το ελληνικό επίτευγμα ήταν, συνεχίζει, το ότι πρόβλεψαν γράμματα και για τα φωνήεντα. Σύμφωνα  και φωνήεντα μαζί στο ελληνικό αλφάβητο δημιούργησαν ένα σύστημα γραφής ταυτόχρονα εύχρηστο, αναμφίβολο και ακριβές αναφέρει. (Εγκυκλοπαίδεια «Πάπυρος Λαρούς Μπριτάννικα», άρθρο «Αλφάβητα»).

Όμως η αναφορά αυτή δεν ανταποκρίνεται ακριβώς σε αυτό που συνέβη. Αν οι Έλληνες απλά είχαν εισαγάγει φωνήεντα σε μια σημιτική γραφή θα έγραφαν ένα γράμμα για κάθε συλλαβή, θα έγραφαν τις συλλαβές που διέφεραν μόνο κατά το φωνήεν τους με το ίδιο γράμμα και θα είχαν γράμματα και για τις φωνηεντικές συλλαβές. Θα είχαν δηλαδή ξαναδημιουργήσει γραφή παρόμοια στη λειτουργία με την ουγκαριτική γραφή. 

Όμως η  ελληνική γραμμική Β αν και ήταν γραφή πολύ παλαιότερη από την ουγγαριτική, επέτρεπε ακριβέστερη και ευκολότερη  ανάγνωση των κειμένων. Και σε αυτούς  τους τομείς η γραφή των Ελλήνων της Κύπρου πλεονεκτούσε και μάλιστα ακόμη περισσότερο,  έναντι των σημιτικών γραφών. Η φοινικική γραφή υστερούσε από την ουγγαριτική στις δυνατότητες απόδοσης μιας γλώσσας αφού δεν είχε γράμματα για τις φωνηεντικές συλλαβές ενώ η ουγγαριτική είχε όπως είχαν και η παλαιότερή της γραμμική Β και το κυπριακό συλλαβάριο.
Οι Έλληνες όμως έκαναν κάτι πολύ πιο σημαντικό. Δημιούργησαν ένα νέο είδος συστημάτων γραφής.  καΣτις σημιτικές  γραφές κάθε συλλαβή γράφεται με ένα γράμμα και κάθε γράμμα αποδίδει μια συλλαβή και μάλιστα όχι πλήρως καθορισμένη. Έτσι όμως κάθε λέξη αναλύεται σε συλλαβές ατελώς προσδιορισμένες. 
Στις ελληνικές προαλφαβητικές γραφές συνέβαινε κάτι παρόμοιο. Οι λέξεις αναλύονταν σε συλλαβές και  κάθε γράμμα απέδιδε μια συλλαβή, μόνο που η συλλαβή που αποδιδόταν με κάθε γράμμα ήταν καλύτερα προσδιορισμένη. και σε σχέση με τις σημιτικές γραφές, Ήταν σαφέστερο ή λιγότερο ασαφές το ποια συλλαβή θα διαβάσουμε για κάθε γράμμα στις ελληνικές συλλαβικές γραφές.

Όμως στον αλφαβητικό τρόπο γραφής που επινόησαν οι Έλληνες κάθε λέξη αναλύεται σε συλλαβές αλλά και κάθε συλλαβή αναλύεται σε ακολουθία απλών ήχων, δηλαδή ήχων μη διαιρετών περαιτέρω. Τους απλούς τους μη δαιρετούς περαιτέρω γλωσσικούς ήχους οι Έλληνες τους ονόμασαν φθόγγους. Στην αλφαβητική γραφή τα γράμματα παριστάνουν τους φθόγγους, τους απλούς ήχους από τους οποίους κάθε συλλαβή αποτελείται. Και πέτυχαν έτσι μια γραφή που επιτρέπει άμεση ή αυτόματη  και απολύτως ακριβή αναγνώριση των γλωσσικών ήχων.

Το μεγάλο επίτευγμα των Ελλήνων ήταν ότι ανακάλυψαν ότι οι συλλαβικοί ήχοι είναι εν γένει σύνθετοι ήχοι και κατέγραψαν όλους τους απλούς ήχους από τους οποίους σχηματίζονται ανακαλύπτοντας έτσι το αλφάβητο των απλών γλωσσικών ήχων. Το επίτευγμά τους είναι η ανακάλυψη των απλών ήχων, των ατόμων των γλωσσικών ήχων. Η ανακάλυψη των ατόμων των γλωσσικών ήχων έδωσε στους Έλληνες την ιδέα για την ατομική δομή της ύλης έχει γράψει ο Eric A. Havelock στο βιβλίο του The literate Revolution in Greece and Its Coultural Concequances.

Οι Έλληνες χρησιμοποίησαν αμέσως γράμματα για να καταγράψουν και να παραστήσουν όλους τους απλούς ήχους που ανακάλυψαν και στη συνέχεια έγραψαν κάθε συλλαβή ως σύνθετο εν γένει ήχο χρησιμοποιώντας τα γράμματα που παριστάνουν τους ήχους από τους οποίους κάθε συλλαβή απoτελείται, και δημιούργησαν έτσι την αλφαβητική γραφή.

Οι Diringer και Olson παρατηρούν ότι το αληθινό αλφάβητο, δηλαδή το ελληνικό αλφαβητικό σύστημα, παραμένει επί σχεδόν 3000 χρόνια ένα μοναδικό, ένα εντελώς διαφορετικό από όλα τα άλλα (unparalleled), μέσο έκφρασης και επικοινωνίας και στις πιο ιδιαίτερες εθνότητες και γλώσσες. (Εγκυκλοπαίδεια Πάπυρος Λαρούς Μπριτάννικα, άρθρο Αλφάβητα και Εγκυκλοπαίδεια Britannica, άρθρο Alphabet. Το πρώτο άρθρο το υπογράφει ο Diringer, το δεύτερο οι Olson και Diringer ). Ας δούμε τι και πώς μπορεί να οδήγησε σε μια τέτοια ανακάλυψη.

Με το αλφάβητο γράφτηκε αρχικά η ελληνική γλώσσα, είναι επομένως εύλογο να θεωρήσουμε ότι Έλληνας το ανακάλυψε. Αυτός που το ανακάλυψε γνώριζε φυσικά καλά την ελληνική γλώσσα και πρέπει να γνώριζε και την ελληνική κυπριακή γραφή. Ο Woodard το δείχνει με πολύ πειστικό τρόπο. Κάποιοι θεωρούν ότι γνώριζε και τη φοινικική γραφή αλλά αυτό δεν πρόσθεσε κάτι σημαντικό.
Ο Γάλλος γλωσσολόγος Μεγιέ (A.Meillet) έλεγε ότι οι επινοητές των διαφόρων συστημάτων γραφής ήταν μεγάλοι γλωσσολόγοι.
Ο καθηγητής Ανδρόνικος υποστήριζε ότι αυτού του είδους πολιτιστικά αγαθά, δεν αποτελούν τυχαία δημιουργήματα κοινών ανθρώπων για την εξυπηρέτηση πρόχειρων μικροαναγκών αλλά δημιουργήματα μιας προσωπικότητας με μοναδική ιδιοφυΐα και έμπνευση.(Εγκυκλοπαίδεια Πάπυρος Λαρούς Μπριτάννικα, τόμος Ελλάς, άρθρο Γραφές και Αλφάβητα, Αλφαβητική Γραφή ). Ο Τόϋνμπη έχει γράψει ότι οι Έλληνες ήταν τελειομανείς1.
Μπορούμε και πρέπει να αναγνωρίσουμε στον επινοητή του αλφαβήτου ότι κατανοούσε καλά την ουσία των γλωσσικών ζητημάτων, ότι τον χαρακτήριζε εξαιρετική ευφυΐα, ότι επεδίωκε να αναλύσει όσο το δυνατόν πληρέστερα και να κατανοήσει σε βάθος ό,τι μελετούσε και την τελειότητα του αποτελέσματος σε ό,τι επιχειρούσε. Ότι ακόμη ένοιωθε ιδιαίτερα επιτακτική την ανάγκη για την πόλη του ή και για τον ίδιο, να δημιουργηθεί ένα νέο σύστημα γραφής και ότι κατά την επινόηση του αλφαβήτου είχε ιδιαίτερη έμπνευση.

Έχει ήδη αναφερθεί ότι η φοινικική γραφή υστερούσε σημαντικά έναντι του κυπριακού συλλαβαρίου στην ακρίβεια απόδοσης των γλωσσικών ήχων αλλά το κυπριακό συλλαβάριο είχε 56 γράμματα ενώ η φοινικική γραφή μόνο 22. Ο επινοητής του αλφαβήτου επιθυμούσε και επεδίωξε να δημιουργήσει μια γραφή με τόσα λίγα γράμματα όσα η φοινικική που θα απέδιδε όμως τους γλωσσικούς ήχους τουλάχιστον με όση ακρίβεια τους απέδιδε το κυπριακό συλλαβάριο ή ακόμη και με απόλυτη ακρίβεια. Είχε και τις εμπειρίες που του επέτρεπαν να προχωρήσει. Συγκεκριμένα:

-H αναγνώριση στη γραμμική Β και στο κυπριακό συλλαβάριο των φωνηεντικών ήχων ως ιδιαιτέρων ήχων στην περίπτωση που σχημάτιζαν συλλαβή μόνοι τους, τον βοηθούσε να αντιληφθεί φωνηεντικούς ήχους ως μέρος του ήχου συλλαβών
- Oι τεχνικές που χρησιμοποιούντο στις ίδιες γραφές  για την καταγραφή και την ανάγνωση συμπλεγμάτων συμφώνων και τελικών συμφώνων δείχνουν γνώση, ατελή έστω, συμφωνικών ήχων ως ιδιαιτέρων ήχων, γεγονός που βοηθούσε την αναγνώριση συμφωνικών ήχων ως ήχων συστατικών του ήχου των συλλαβών.
- Το ότι στις ίδιες πάντα γραφές, οι συλλαβές που διέφεραν μόνο κατά το φωνήεν τους γράφονταν  με διαφορετικά γράμματα διευκόλυνε επίσης την αναγνώριση των συμφώνων και των φωνηέντων ως ιδιαιτέρων ήχων που αποτελούσαν μέρος του ήχου των συλλαβών.
Επιπροσθέτως:
-Η διερεύνηση του σε τι διαφέρουν και σε τι μοιάζουν οι συλλαβές κα, γα, χα που γράφονταν με το ίδιο γράμμα στη γραμμική Β και στο κυπριακό συλλαβάριο και με διαφορετικά γράμματα στο φοινικικό συλλαβάριο, οδηγούσε στον προσδιορισμό συμφωνικών και φωνηεντικών ήχων ως ιδιαιτέρων ήχων που αποτελούσαν μέρος των συλλαβικών ήχων. Το ίδιο ακριβώς συνέβαινε και με άλλες ομάδες συλλαβών όπως η ομάδα κο,γο, χο ή η ομάδα πε, βε φε και άλλες

Κάποια στιγμή ο επινοητής αναγνώρισε κάποιο φωνηεντικό ή συμφωνικό ήχο ως μέρος του ήχου μιας συλλαβής. Θα ήταν μάλλον μια απλή συλλαβή του τύπου σύμφωνο + φωνήεν. Ασφαλώς θα οδηγήθηκε με κάποια προσπάθεια στην ανακάλυψη και του άλλου απλού συστατικού ήχου της συλλαβής. Ανακάλυψε για παράδειγμα ότι ο ήχος [κα] αποτελείται από τους ήχους [κ] και [α]. Θα δοκίμασε με επιτυχία να κάνει το ίδιο και με κάποιες άλλες απλές συλλαβές.
Θα διαπίστωσε ότι οι ήχοι που προέκυπταν από την ανάλυση του ήχου των συλλαβών ήταν εντελώς απλοί, δεν αναλύονταν δηλαδή σε άλλους πιο απλούς ήχους. Του προξενούσε ίσως απορία ότι οι περισσότεροι από τους ήχους αυτούς δεν εκφέρονταν ποτέ αυτόνομα, δηλαδή ανεξάρτητα ο καθένας από άλλους ήχους, αλλά συνεκφέρονταν πάντοτε μαζί με άλλον ήχο για να σχηματίσουν τους γνωστούς στο αυτί του συλλαβικούς ήχους. Άλλοι πάλι απλοί ήχοι, τα φωνήεντα, του ήταν γνωστοί ως ολοκληρωμένοι συλλαβικοί ήχοι αλλά δεν τους είχε ποτέ μέχρι τότε αναγνωρίσει ως ήχους που αποτελούν μέρος μόνο του ήχου μιας συλλαβής.
Του πέρασε από το νου ότι αν όλους τους απλούς ήχους τους παρίστανε με γράμματα, θα μπορούσε με αυτά τα γράμματα να αποδώσει όλους τους συλλαβικούς ήχους. Θα αναρωτήθηκε και για το πόσοι τέτοιοι απλοί ήχοι υπήρχαν. Αυτές και άλλες σχετικές σκέψεις μπορεί να τον βασάνιζαν επί πολύ καιρό και ασφαλώς δεν θα εύρισκε άνθρωπο με τον οποίο θα μπορούσε να τις συζητήσει. Θα έπρεπε ο ίδιος να ελέγξει, ο ίδιος να δοκιμάσει. Θα έπρεπε να αναλύσει συστηματικά τους ήχους όλων των συλλαβών και να καταγράψει όλους τους ήχους που θα προέκυπταν.

Χρειάστηκε μια καταγραφή των συλλαβικών ήχων και ένα σύνολο γραμμάτων για να καταγράφει τους ήχους που ανακάλυπτε με την ανάλυση του ήχου των συλλαβών. Η ενδεχόμενη γνώση δεύτερης γραφής θα ήταν χρήσιμη και γι αυτήν τη διαδικασία. Για την καταγραφή των συλλαβικών ήχων χρησιμοποίησε τα γράμματα - σύμβολα συλλαβικών ήχων του κυπριακού συλλαβαρίου. Πήρε υπόψη του ότι μ κάποια γράμματα καταγράφονταν περισσότερες από μία συλλαβές.
Τη διαδικασία καταγραφής των απλών γλωσσικών ήχων που προέκυπταν από καταγεγραμμένους στην ελληνική κυπριακή γραφή συλλαβικούς ήχους την ολοκλήρωσε. Θα δοκίμασε να αναλύσει και πιο σύνθετες μη καταγεγραμμένες συλλαβές. 
Το αποτέλεσμα ήταν η ανακάλυψη και καταγραφή όλων των απλών συμφωνικών και φωνηεντικών ήχων,  δηλαδή η ανακάλυψη και καταγραφή όλων των φθόγγων της ελληνικής γλώσσας.
Αυτοί οι απλοί, οι μη διαιρετοί ήχοι ονομάζονται φθόγγοι και αποτελούν το αλφάβητο της γλώσσας μας και αντίστοιχοι φθογγικοί ήχοι αποτελούν το αλφάβητο κάθε γλώσσας. Με αυτούς μπορούμε να συνθέσουμε όλους τους συλλαβικούς ήχους και επομένως όλους τους ήχους λέξεων και φράσεων που χρησιμοποιούμε.

-Ο Ηavelock ανέφερε ότι "At a stroke", δηλαδή με μια ξαφνική γεμάτη δύναμη και καθοριστική για το μέλλον ενέργεια, 
"οι Έλληνες δημιούργησαν για πρώτη φορά στην ιστορία έναν πίνακα των στοιχειωδών, των ατομικών γλωσσικών ήχων,  εύχρηστο αλλά και πλήρη και ακριβή."
Και περιγράφοντας στο βιβλίο του The Muse Learns to Write (σελίδα 60) τη δημιουργία του αλφαβήτου ανέφερε ότι
 "Οι Έλληνες διαχώρισαν από τον φυσικά προφερόμενο ήχο της συλλαβής, στοιχειώδεις ατομικούς ήχους που  δεν  έχουν αυτόνομη ηχητική υπόσταση  
και σε κάθε τέτοιο απλό ήχο αντιστοίχησαν ένα γράμμα, 
δίνοντας έτσι σε αυτούς τους ήχους αυτόνομη οπτική υπόσταση."


-
Στην τραγωδία του Ευριπίδη  Παλαμήδης, ο κεντρικός ήρωας μιλά σε πρώτο πρόσωπο και εκδηλώνει την υπερηφάνεια του  λέγοντας τα εξής:
 
«..τὰ τῆς γε λήθης φάρμακ᾿ ὀρθώσας μόνος,
ἄφωνα καὶ φωνοῦντα, συλλαβὰς τε θείς,
ἐξηῦρον ἀνθρώποισι γράμματ᾿ εἰδέναι. ...."
 
Δηλαδή,

... ¨Έχω φέρει μόνος τα φάρμακα της λησμονιάς γιατί
γράφοντας τις συλλαβές με άφωνα  και φωνούντα,   
βρήκα το πώς θα μαθαίνουν  οι άνθρωποι γράμματα     

 άφωνα και φωνούντα = σύμφωνα και φωνήεντα               
  μαθαίνω γράμματα = μαθαίνω να διαβάζω και να γράφω.


- Στην εγκυκλοπαίδεια Britannica, στο άρθρο Writing (David Olson) αναφέρεται ότι:

"Το τελικό στάδιο της εξέλιξης των συστημάτων γραφής είναι η ανακάλυψη της αλφαβητικής αρχής, η ανάλυση δηλαδή του ήχου των συλλαβών στους συστατικούς τους συμφωνικούς και φωνηεντικούς απλούς ήχους". ...

"Η ανακάλυψη του αλφαβήτου αποτελεί μείζον επίτευγμα του δυτικού πολιτισμού. Είναι επίσης μοναδικό. Το αλφάβητο ανακαλύφθηκε μια φορά και στη συνέχεια υιοθετήθηκε από πολλούς λαούς με τις πιο αποκλίνουσες  κουλτούρες και γλώσσες". ...

«Ιστορικές εκτιμήσεις της εξέλιξης των συστημάτων γραφής έχουν έως πρόσφατα εστιασθεί σε ένα μόνο ζήτημα, αυξανόμενη αποδοτικότητα, με την ελληνική ανακάλυψη του αλφαβήτου να εκτιμάται ως η κατάληξη μιας μακράς ιστορικής πορείας».


-Ο Ignace Gelb είπε ότι 

"Οι Έλληνες ανακάλυψαν το καθαρό σύμφωνο, το συμφωνικό ήχο που αποτελεί μέρος του ήχου της συλλαβής και δεν προφέρεται αυτόνομα."

Πρόσθεσε και ότι 

«Πριν 2800 χρόνια, οι κατακτήσεις του αλφαβήτου απλώθηκαν στο σύνολο του πολιτισμού, χωρίς κατά τη διάρκεια όλης αυτής της περιόδου από τότε μέχρι σήμερα να γίνει και η παραμικρή μεταβολή στις αρχές της γραφής. Εκατοντάδες αλφάβητα, σε όλο τον κόσμο, όσο και αν είναι διαφορετικά στην εξωτερική τους μορφή, χρησιμοποιούν όλα τις αρχές που πρωτοκαθιέρωσε η ελληνική γραφή.»


- Ο καθηγητής Ανδρόνικος παρατήρησε ότι 

ΠΕΝΤΕ  ήταν τα γράμματα για τις φωνηεντικές συλλαβές στη γραμμική Β και στο κυπριακό συλλαβάριο, 

ΠΕΝΤΕ ήταν και τα γράμματα για τους φωνηεντικούς φθογγικούς ήχους σε όλα τα πρώτα ελληνικά αλφάβητα 

αν και στη μεταμυκηνιακή ελληνική γλώσσα υπήρχαν ΕΠΤΑ φωνηεντικοί φθογγικοί ήχοι


-
Ο Roger Woodard έχει δείξει στο βιβλίο του Greek Writing from Knossos to Homer 1997, ότι 

Ο άνθρωπος που ανακάλυψε το αλφάβητο των γλωσσικών ήχων και επινόησε την αλφαβητική γραφή, ήταν γνώστης και χειριστής της ελληνικής κυπριακής συλλαβικής γραφής (κυπριακό συλλαβάριο) 

και συμπεραίνει ότι 

"Η Γραμμική Β, το Κυπριακό Συλλαβάριο και το Αλφάβητο αποτελούν σημεία μιας αδιάσπαστης συνέχειας της ελληνικής γραμματείας που ξεκινά από τη μυκηναϊκή εποχή και φτάνει έως σήμερα"  


-Ο Barry Powell έχει γράψει ότι 

"από ιστορική άποψη αλφάβητο και ελληνικό αλφάβητο είναι ένα και το αυτό" 

και ακόμη έχει υπογραμμίσει ότι 

"το αλφάβητο μας έκανε ότι είμαστε"

-Ο καθηγητής Μ. Ανδρόνικος έχει χαρακτηρίσει το αλφάβητο ως

«την πιο σημαντική και ιστορικά αναλλοίωτη προσφορά των Ελλήνων στον Ευρωπαϊκό πολιτισμό» 

-Ο Roger Woodard ,αναφέρει ότι 
"Από τα πολλά εξαίσια επιτεύγματα των αρχαίων Ελλήνων, το αλφάβητο ήταν ίσως το πιο θαυμαστό, και σίγουρα  είχε τη μεγαλύτερη επιρροή στη διαμόρφωση του κόσμου"

-Ακόμη, οι τίτλοι των έργων του Havelock "

Origins of Western literacy" και 
"The Literate Revolution in Greece and Its Cultural Consequences", 

αναφέρει ο ίδιος στο βιβλίο του "The Muse Learns to Write", 

απηχούν την επίγνωση ότι μια επινόηση που είχε αποδειχθεί καίρια, καταλυτική για την αλλαγή του χαρακτήρα της ελληνικής αντίληψης για τον άνθρωπο και τον κόσμο, ήταν προορισμένη να κάνει το ίδιο για την Ευρώπη ως σύνολο και θα μπορούσε να θεωρηθεί υπεύθυνη για τη διαμόρφωση του χαρακτήρα της σύγχρονης δυτικής αντίληψης πραγμάτων η οποία τείνει να γίνει παγκόσμια.

Σημειώσεις

1. Η κυρτή καμπύλωση του θριγκού και των περιμετρικών δαπέδων και η προς τα μέσα κλίση των κιόνων και της εξωτερικής παρειάς των τοίχων του Παρθενώνα αποτελούν απόδειξη έντονης αναζήτησης της τελειότητας του αισθητικού αποτελέσματος. Η ποιότητα του γλυπτικού διακόσμου της ζωφόρου και των αετωμάτων αντανακλά επίσης έντονη αναζήτηση της τελειότητας της μορφής. Έντονη ανάζήτηση της τελειότητας στο αποτέλεσμα από μερους των Ελλήνων δείχνει και η συνεχής μέριμνα για τη βελτίωση των συστημάτων γραφής που ανέπτυξαν που κατέληξε στην ανακάλυψη της αλφαβητικής γραφής..



Η δημιουργία της αλφαβητικής γραφής

Οι φθόγγοι είναι λίγοι. Οι φθόγγοι συνδυάζονται κατά πολυποίκιλους τρόπους και παράγουν όλους τους συλλαβικούς και επομένως όλους τους γλωσσικούς ήχους. Τα γράμματα-σύμβολα των φθόγγων επομένως συνδυαζόμενα κατά αντίστοιχο τρόπο θα παραστήσουν με απλό τρόπο με σαφήνεια και απόλυτη ακρίβεια όλους τους συλλαβικούς και επομένως όλους τους γλωσσικούς ήχους. Έτσι, με την ανακάλυψη και καταγραφή των φθόγγων γεννήθηκε και η αλφαβητική γραφή.

Με την αλφαβητική γραφή, η ανάλυση των γλωσσικών ήχων εμφανίζεται πλήρως.

- Στα σημασιογραφικά (λογογραφικά)συστήματα γραφής κάθε γράμμα διαβάζεται ως μία λέξη.
- Στα συλλαβικά συστήματα γραφής κάθε γράμμα διαβάζεται ως μία συλλαβή πλήρως ή ατελώς καθορισμένη, και μία λέξη γράφεται με τα γράμματα που παριστάνουν τις συλλαβές από τις οποίες κάθε λέξη αποτελείται.
- Στην αλφαβητική γραφή τα γράμματα παριστάνουν φθόγγους. Κάθε συλλαβή γράφεται με τα γράμματα που παριστάνουν τους φθόγγους από τους οποίους η συλλαβή αποτελείται και κάθε λέξη γράφεται ως ομάδα διαδοχικών συλλαβών. Έτσι
στην αλφαβητική γραφή η λέξη αναλύεται σε συλλαβές και οι συλλαβές αναλύονται σε φθόγγους, δηλαδή σε απλούς ήχους.
- Στην αλφαβητική γραφή επειδή οι φθόγγοι δεν έχουν αυτόνομη ηχητική υπόσταση και τα γράμματα παριστάνουν φθόγγους, τα γράμματα δε διαβάζονται ένα, ένα. Διαβάζονται κατά ομάδες διαδοχικών γραμμάτων κάθε μία από τις οποίες παριστάνει έναν ακέραιο συλλαβικό ήχο.
-Οι φθόγγοι δεν αναλύονται σε απλούστερους ήχους. Αποτελούν τα άτομα των γλωσσικών ήχων. Οι συλλαβές αποτελούν τα μόρια. Στα μονοατομικά μόρια αντιστοιχούν οι συλλαβές που αποτελούνται από έναν μόνο φθόγγο (συμφωνικές συλλαβές στις σημιτικές γλώσσες, και στην αιγυπτιακή γλώσσα, φωνηεντικές συλλαβές στην ελληνική γλώσσα και στη γλώσσα των αρχαίων σουμερίων).

Η ηχοποίηση ενός κειμένου γραμμένου με αλφαβητική γραφή είναι απλή, άμεση, αναμφίβολη και ακριβής. Τα γραπτά αναπαράγουν αυτόματα στο μυαλό του αναγνώστη και με ακρίβεια τους γλωσσικούς ήχους που παριστάνουν. Αυτό συμβαίνει ακόμη και με τις άγνωστες λέξεις που μπορεί να διαβάζονται με συλλαβισμό. Από τον αναγνώστη απαιτείται μόνο μια μικρή προπαίδεια. Κανένα άλλο σύστημα γραφής δεν έχει τέτοιες ιδιότητες. Μετά την ανακάλυψη του αλφαβήτου, γραφή και ανάγνωση μπορούν πια να μάθουν και να χρησιμοποιούν όλοι οι άνθρωποι και μάλιστα από την παιδική ηλικία.

Επιπλέον η έκφραση με την αλφαβητική γραφή μπορεί να είναι λεπτομερέστερη, περισσότερο ακριβής και περισσότερο ουσιαστική από την έκφραση με τον προφορικό λόγο, και το γραπτό κείμενο έχει μεγαλύτερη βαρύτητα και σημασία και βαθύτερες και μεγαλύτερης διάρκειας επιδράσεις.
Ακόμη επειδή με την αλφαβητική γραφή τα γραπτά διαβάζονται και δημιουργούνται εύκολα και επειδή τα γραπτά μένουν και μπορεί να αναπαραχθούν σε αντίγραφα, η αλφαβητική γραφή εξασφάλισε τις προϋποθέσεις για την καταγραφή και την «αποθήκευση» για χρήση στο μέλλον πολύ μεγάλου όγκου πληροφοριών, απόψεων, ιδεών, σκέψεων και διαλογισμών αλλά και για την σε ευρεία κλίμακα και σύγχρονη με τη γραφή κοινολόγησή τους.
Με την ανακάλυψη των φθόγγων και την ταυτόχρονη δημιουργία της αλφαβητικής γραφής, η πορεία εξέλιξης των συστημάτων γραφής ολοκληρώθηκε. 

Κατά τον Eric Havelock, 

Η  λύση του αλφαβήτου ήταν λύση επαναστατική αλλά και πλήρης, και επειδή ήταν πλήρης τερμάτισε ουσιαστικά την εξέλιξη των συστημάτων γραφής.

Έχουν περάσει σχεδόν 3000 χρόνια από την επινόηση της αλφαβητικής γραφής και κανείς δεν έχει αισθανθεί ότι χρειάζεται κάποια σημαντική αλλαγή ή βελτίωση
,

αναφέρουν οι Diringer και Olson.



 

Πού ανακαλύφθηκε το αλφάβητο;

Έχουμε αναφέρει ότι ο επινοητής της αλφαβητικής γραφής θα πρέπει να είχε καλή γνώση του κυπριακού συλλαβαρίου. Κάποιοι θεωρούν ότι πρέπει να είχε και  γνώση της φοινικικής γραφής. Έτσι κάποιοι σκέφτηκαν  ότι το αλφάβητο μπορεί να επινοήθηκε σε περιοχή που οι Έλληνες και οι Φοίνικες είχαν επαφές. Με παρόμοιο τρόπο αντιμετωπίζεται και η ανάγκη γνώσης του κυπριακού συλλαβαρίου. Με αυτές ή και με άλλες σκέψεις έχουν αναφέρει ως πιθανούς τόπους δημιουργίας του αλφαβήτου την Κρήτη, τη Ρόδο, την Αλ Μίνα και την Κύπρο.Έτσι η Τζέφρυ, (L. H. Jeffery), πρότεινε ως τόπο δημιουργίας του αλφαβήτου την Αλ Μίνα. Η Αλ Μίνα ( Ποσιδήιον ) στις ακτές της Συρίας, αναφέρεται ως το βόρειο άκρο της Φοινίκης. Έμποροι από την Εύβοια, τη Ρόδο, την Κόρινθο και την Κύπρο έφερναν σε αυτήν την πόλη ελληνικά κεραμικά, γεγονός που της προσέδιδε κοσμοπολίτικο χαρακτήρα. Χαλκιδείς εγκαταστάθηκαν μόνιμα στην Αλ Μίνα περί το 800 π.Χ., χρονολογία οριακά αποδεκτή ως χρονολογία επινόησης του αλφαβήτου.

Η υπόθεση όμως να έγινε η επινόηση του αλφαβήτου από Έλληνα σε πόλη όχι ελληνική φυσικά δεν είναι πειστική. Ακόμη παραβλέπει ότι είναι άλλο το πού ο επινοητής γνώρισε τις γραφές που ήξερε και άλλο το πού έμεινε και στοχάστηκε πάνω στο πρόβλημα. Μπορεί αν ήταν ναυτικός να στοχάστηκε πάνω στο πλοίο του ταξιδεύοντας, πιθανότερο όμως είναι να στοχάστηκε κυρίως στην πόλη του κατά τους χειμωνιάτικους μήνες που δεν ταξίδευε ή ακόμη σαν απόμαχος ναυτικός.Και πέρα από αυτό. Η ανακάλυψη του αλφαβήτου και της αλφαβητικής γραφής δεν μπορεί να αναχθεί στη γνώση και τροποποίηση άλλων συστημάτων γραφής. Η αλφαβητική γραφή είναι σύστημα γραφής εντελώς διαφορετικό από (unparalleled προς), οποιοδήποτε προγενέστερο είδος γραφής. Όμως η προσπάθεια τελειοποίησης των ελληνικών και μόνο συστημάτων γραφής, οδήγησε αρχικά σε μεθόδους που βοηθούσαν την κατανόηση συμφωνικών και φωνηεντικών ήχων ως ξεχωριστών ήχων και οδήγησε στην αναγνώριση των συλλαβικών ήχων ως σύνθετων εν γένει γλωσσικών ήχων και αυτό μαζί με την  καταγραφή των όλων των απλών γλωσσικών ήχων, αποτελούν  την ανακάλυψη του αλφαβήτου.

Ο Adrados στο βιβλίο του «Ιστορία της Ελληνικής Γλώσσας» θεωρεί ως πιθανότερο τόπο επινόησης του αλφαβήτου την Κρήτη της οποίας το αλφάβητο θεωρείται αρχαιότερο. Αναφέρει ότι ο επινοητής του αλφαβήτου πρέπει να μιλούσε διάλεκτο που διατηρούσε το δασύ Η και το δίγαμμα F. Η Θήρα καθώς και όλα τα γειτονικά της Κρήτης νησι

Ο Powell  υποθέτει ως επινοητή του αλφαβήτου κάποιον από την την Ερέτρια , την Κύμη , ή τη Χαλκίδα. Η παλαιότερη γνωστή ελληνική αλφαβητική επιγραφή βρέθηκε στο Λάτιο, στη γειτονιά της Ρώμης, λίγο βόρεια από τις Πιθηκούσες αρκετά κοντα στις αποικίες της Κύμης . Χρονολογείται μεταξύ του 800 και του 775 π.Χ.. Η ανασκαφή έγινε στρωματογραφικά, γεγονός που δημιουργεί βεβαιότητα για τη χρονολόγησή της (Barry Powell: "Who Invented the Alphabet: The Semites or the Greeks?", 1998 και Jonathan Hall: "A history of the Archaic Greek World" 2001). Είναι σκαλισμένη σε χειροποίητο φιαλίδιο θραύσμα του οποίου σώζεται και περιλαμβάνει πέντε γράμματα που αποτελούν τμήμα μιας λέξης. Το αλφάβητο έφτασε στο Λάτιο από αποίκους στην αποικία των Χαλκιδέων και των Ερετριέων στις Πιθηκούσες. Οι αμέσως νεώτερες επιγραφές προέρχονται από τις Πιθηκούσες κι την Αθήνα. Μια λίγο νεότερη επιγραφή προέρχεται από τη Νάξο με την οποία οι Ευβοείς είχαν στενές σχέσεις. Πολλές από τις παλαιότερες ελληνικές αλφαβητικές επιγραφές φαίνεται να έχουν ή να μπορεί να έχουν σχέση με τους Ευβοείς.
Οι ευβοϊκές πόλεις Χαλκίδα Κύμη και Ερέτρια ήταν ιδιαίτερα αναπτυγμένες κατά τον 9ο π.Χ. αιώνα, είχαν πυκνές επαφές με τους λαούς της Μέσης Ανατολής και την Κύπρο και πρωτοστάτησαν από τα τέλη του 9ου π.Χ. αιώνα στον ελληνικό αποικισμό της Δύσης. Η πρώτη μεταμυκηναϊκή ελληνική αποικία στη δύση ήταν ευβοϊκή, ήταν το εμπορείο των Πιθηκουσών που αναφέραμε παραπάνω. Εξ άλλου, σε αρχαιολογικό χώρο στο Λευκαντί στη θέση Παλιά Περιβόλια, βρέθηκαν πλούσιοι τάφοι και υπολείμματα κτισμάτων που δείχνουν φιλόδοξη αρχιτεκτονική, καθώς και άλλα δείγματα ευμάρειας και σπουδαιότητας σε μια εποχή που η Ελλάδα ήταν φτωχή. Βρέθηκε και κυπριακό βάζο που χρονολογείται από το 900 π.Χ.

Επαναλαμβάνουμε ότι πολλές από τις παλαιότερες ελληνικές αλφαβητικές επιγραφές φαίνεται να έχουν ή να μπορεί να έχουν σχέση με τους Ευβοείς. Φαίνεται πιθανό να είναι οι Ευβοείς οι πρώτοι που υιοθέτησαν το αλφάβητο. Φαίνεται πιθανό και το να επινοήθηκε το αλφάβητο στην Εύβοια. Ανασκαφές στην περιοχή που βρισκόταν η αρχαία Χαλκίδα δεν έχουν γίνει. Ο Powell υποθέτει ως επινοητή του αλφαβήτου κάποιον Ευβοέα. Τίποτε όμως δεν μπορεί να υποστηριχθεί με βεβαιότητα.

Ο Woodard πρότεινε την Κύπρο. Στην Κύπρο εγκαταστάθηκαν και Έλληνες από πολύ παλιά.
Η υπόθεση ότι το αλφάβητο ανακαλύφθηκε στην Κύπρο από Έλληνα της Κύπρου που φυσικά γνώριζε καλά το κυπριακό συλλαβάριο, φαίνεται να εξηγεί περισσότερα από τις άλλες υποθέσεις.
-Εξηγεί αμέσως τη γνώση  του κυπριακού συλλαβαρίου.  Η γνώση της ελληνικής κυπριακής γραφής εξασφάλιζε τη γνώση φωνηεντικών και συμφωνικών ήχων ως ιδιαιτέρων ήχων και έτσι βοηθούσε στην ανάλυση του ήχου των συλλαβών σε απλούς ήχους.
-Εξηγεί επίσης απλά τη γρήγορη και ταυτόχρονη σχεδόν διάδοση του αλφαβήτου σε όλες τις ελληνικέςιξ την μ κοινότητες. Ο επινοητής δεν κατάφερε να κάνει δεκτό το σύστημά του στην Κύπρο όπου ήδη ήταν αρκετά ικανοποιημένοι από την ελληνική κυπριακή συλλαβική γραφή και επιδίωξε να το προωθήσει στις υπόλοιπες ελληνικές κοινότητες.
-Ακόμη αυτή η υπόθεση καθιστά περισσότερο πιθανό το να ήταν οι Ευβοείς οι πρώτοι που υιοθέτησαν το αλφάβητο αφού οι Ευβοείς είχαν ιδιαίτερα στενές σχέσεις με την Κύπρο.
- H υπόθεση αυτή εξηγεί ακόμη ακόμη γιατί υπάρχει ιδιαίτερο γράμμα σε όλα τα αλφάβητα για τον ήχο [Ξ] αν και ο ήχος [Ξ] δεν είναι φθόγγος αλλά διούσε να γραφεί ως ΚΣ. Ωστόσο χρησιμοποίησαν ιδιαίτερο γράμμα. Στα ευβοϊκά αλφάβητα χρησιμοποίησαν το γράμμα Χ ενώ σε άλλα αλφάβητα το γράμμα Ξ. Στο κυπριακό συλλαβάριο εξ αιτίας του τρόπου που χρησιμοποιούσαν για την καταγραφή συμπλεγμάτων συμφώνων, ήταν αναγκαίο να καταγράφονται οι ήχοι [ΚΣ + Φωνήεν] σαν να ήταν ο ήχος [ΚΣ] απλός. Έτσι είχαν επιλέξει να παριστάνει ένα γράμμα παρόμοιο με το γράμμα Χ, τη συλλαβή [ΞΑ] = [ΚΣΑ]1.
Περισσότερα για τη σχέση της κυπριακής γραφής με το αλφάβητο παρατίθενται στην ανάρτηση  για τις  γραφές τις πρόδρομες της αλφαβητικής στην παράγραφο  "Η ελληνική κυπριακή συλλαβική γραφή (κυπριακό συλλαβάριο)".

Ισχυρή όμως παραμένει και η άποψη ότι το αλφάβητο ανακαλύφθηκε από Ευβοείς και πολύ  γρήγορα διαδόθηκε σε γειτονικές ελλαδικές περιοχές και λίγο αργότερα μέσω των Κυμαίων της Εύβοιας διαδόθηκε και στις ελληνικές πόλεις της νότιας Ιταλίας. Η μορφή των γραμμάτων αυτών των πόλεων  επιζεί μέχρι σήμερα στη μορφή των γραμμάτων του Λατινικού Αλφαβήτου.


Σημειώσεις

1. Μέχρι σήμερα και στο ελληνικό αλφάβητο και σε όλα τα δυτικά αλφάβητα ένα γράμμα χρησιμοποιείται για τον ήχο [ ΚΣ ]. Στο ελληνικό αλφάβητο το γράμμα Ξ (από τα ιωνικά αλφάβητα), και στα δυτικά το γράμμα Χ (από τα ευβοϊκά αλφάβητα). Εδώ ας σημειωθεί ότι στα ανοικτά γαλάζια και στα σκούρα γαλάζια αλφάβητα (Αττικής και Ιωνίας), το Χ παρίστανε τον ήχο [ΚΗ]. Το γράμμα Η έχει εδώ την ηχητική αξία του δασέος συμφώνου ( του λατινικού h). Στα πράσινα αλφάβητα (Κρήτης) το γράμμα Χ δεν το χρησιμοποιούσαν. Στη φοινικική γραφή
γράμμα παρόμοιο με το Χ είχε χρησιμοποιηθεί κάποια περίοδο παράλληλα με άλλο γράμμα για τη γραφή των συλλαβικών ήχων [Τ], [ΤΑ], [ΤΕ], [ΤΙ], [ΤΟ], [ΤΟΥ].


Πότε ανακαλύφθηκε το αλφάβητο;

Ως προς το χρόνο ανακάλυψης του αλφαβήτου υιοθετείται περισσότερο η άποψη ότι δεν θα πρέπει να απέχει παραπολύ από τη χρονολογία της παλαιότερης γνωστής αλφαβητικής επιγραφής. Η παλαιότερη γνωστή ελληνική αλφαβητική επιγραφή βρέθηκε στο Λάτιο και χρονολογείται μεταξύ του 800 και του 775 π.Χ. και βρέθηκε μακριά από τις περιοχές στις οποίες μπορεί να επινοήθηκε ή να πρωτουιοθετήθηκε το αλφάβητο. Προφανώς η αλφαβητική γραφή είχε φθάσει στο Λάτιο από Ευβοείς αποίκους στις Πιθηκούσες και επομένως είχε ανακαλυφθεί αρκετά πριν. Αλφαβητικές επιγραφές λίγα χρόνια μεταγενέστερες από αυτήν βρέθηκαν στην Αθήνα, στις Πιθηκούσες, στη Νάξο, στη Θήρα, στην Κρήτη, στην Κάλυμνο, στην Εύβοια στην Αίγινα, στη Βοιωτία, στην Αργολίδα, στην Κόρινθο και στην Κέρκυρα.
Στην Καρία και στη Φρυγία εμφανίζονται μη ελληνικές αλφαβητικές επιγραφές γραμμένες με το ελληνικό αλφάβητο που χρονολογούνται στα μέσα του 8ου π.Χ. αιώνα. Το αλφάβητο είχε επομένως διαδοθεί αρκετά νωρίς σε γείτονες των Ελλήνων. Και θα πρέπει να θυμηθούμε ότι για το γράψιμο χρησιμοποιούντο κυρίως φθαρτά υλικά που φυσικά δεν αφήνουν υπολείμματα που θα μπορούσε να ανακαλυφθούν αιώνες αργότερα.
Όλα αυτά συνηγορούν υπέρ της άποψης ότι το αλφάβητο πρέπει να είχε ήδη επινοηθεί κατά το τέλος του 9ου π.Χ. αιώνα, μάλλον κατά το δεύτερο μισό αυτού του αιώνα1. Η άποψη αυτή είναι συμβατή με την υπόθεση ότι το αλφάβητο επινοήθηκε στην Κύπρο ή στη Εύβοια (Χαλκίδα ή Κύμη)

Ο Adrados αναφέρει στο βιβλίο του "Ιστορία της Ελληνικής Γλώσσας" 1999, ότι
"σύμφωνα με τη σημερινή άποψη, στο τέλος του 9ου π.Χ. αιώνα το ελληνικό αλφάβητο ήταν διαδεδομένο σε όλο τον ελλαδικό χώρο και είχε αρχίσει να εισχωρεί σε γειτονικές περιοχές"  
και προσθέτει ότι
"Με την εξάπλωση της χρήσης του αλφαβήτου σε όλο τον ελλαδικό χώρο, στη Μικρά Ασία, στη Σικελία την Ιταλία ξεκίνησε η μεγάλη διάδοση της ελληνικής γλώσσας"



Ωστόσο η πιθανότητα να είχε  ανακαλυφθεί το αλφάβητο σε ακόμη πιο πρώιμη εποχή μπορεί να είναι βάσιμη.. Στη  Britannica   αναφέρεται ότι είναι πιθανότεανακαλύφθηκετο αλφάβητο κατά τον 10ο αιώνα π.Χ., ενώ ο Γεώργιος Μπαμπινιώτης θεωρεί πλέον ότι το αλφάβητο μπορεί να ανακαλύφθηκε και κατά τον 11ο ή και τον 12ο αιώνα π.Χ.. Παλαιότερα θεωρούσε ότι το αλφάβητο ανακαλύφθηκε τον 9ο ή τον 10ο π.Χ. αιώνα. 




Γιατί οι Έλληνες αναζήτησαν ένα νέο σύστημα γραφής

Δεν έχουν βρεθεί στις ελληνικές πόλεις δείγματα γραφής που είχαν γραφεί μετά το 1100 π.Χ και πριν την ανακάλυψη του αλφαβήτου. Ωστόσο σε ναυάγιο ελληνικού (μυκηναϊκού)  πλοίου (παλαιότερης εποχής), έχει βρεθεί ξύλινο δίπτυχο που κάθε ένα από τα δύο φύλλα του έφερε περιχείλωμα που δημιουργούσε στις δύο εσωτερικές του σελίδες ορθογώνιες κοιλότητες. Αυτές τις δύο  κοιλότητες τις γέμιζαν με κερί και στο κερί «έγραφαν» χρησιμοποιώντας οστέινη γραφίδα.


Το αρχαιότερο γνωστό "τετράδιο" στον κόσμο. Τα δύο ξύλινα φύλλα ήταν συνδεδεμένα με 
μηχανισμό περιστροφής κατασκευασμένο από ελεφαντοστό. Βρέθηκε σε πλοίο της 
μυκηναϊκής εποχής βυθισμένο κοντά στο ακρωτήριο της Λυκίας Uluburun (απέναντι 
από το Καστελόριζο). Το φορτίο του περιελάμβανε μεταξύ πολλών άλλων χαλκό 
και κασσίτερο, προφανώς από την Κύπρο, στην αναλογία του ορείχαλκου. Τα σκεύη 
καθημερινής χρήσης (στο πλοίο), ήταν κυρίως μυκηναϊκά. Η ομηρική φράση 
"γράψας εν πίνακι πτυκτώ  ... σήματα λυγρά" (λυγρά = άθλια, ολέθρια), 
δεν ήταν αναχρονισμός.

Το ναυάγιο συνέβη περί το 1300 π.Χ.. Το εύρημα όμως δείχνει ότι μπορεί να έγραφαν και τότε και αργότερα πάνω σε φθαρτά υλικά και μπορεί το γραπτό να "σβηνόταν", όταν πια δεν χρειαζόταν, για να γραφούν  καινούργια κείμενα. Για να μπορέσουν να γράψουν νέο κείμενο αρκούσε να ξανααλείψουν στην πινακίδα το κερί. Οι άνθρωποι εκείνης της εποχής έγραφαν, έσβηναν και ξαναέγραφαν. ΄Εμποροι που κατέγραφαν προϊόντα τιμές προμηθευτές και παραγγελίες ήταν κυρίως. Ένα"κείμενο" δεν έμενε για πολύ. Και αυτό μπορεί να συνεχιζόταν επί μακρόν. Αλλά και σε κεραμικές πλάκες να έγραφαν πάλι θα μπορούσε να μη βρεθούν σήμερα δείγματα της γραφής. Οι κεραμικές πλάκες για να διατηρηθούν θα έπρεπε να ψηθούν. Η συνήθεια όμως ήταν να γράφουν και να τις στεγώνουν στον ήλιο. Και όταν πια το κείμενο που είχαν γράψει δεν χρειαζόταν τις πολτοποιούσαν και έφτιαχναν καινούργιες πλάκες. Έτσι και στις κεραμικές πλάκες έγραφαν και έσβηναν.  ΄
Εχουν βρεθεί κείμενα του 12ου π.Χ. αιώνα γραμμένα με γραμμική Β. Η παλαιότερη αλφαβητική γραφή που έχει βρεθεί είναι των αρχών του 8ου π.Χ αιώνα και βρέθηκε στην Ιταλία μακριά από τα κέντρα δημιουργίας της και χρήσης της. Άρα είχε ανακαλυφθεί πριν τον 8ο αιώνα, δηλαδή κατά τον 9ο ή το 10o π.Χ αιώνα ή και νωρίτερα. Υπάρχει έτσι ένα χρονικό διάστημα τριών περίπου αιώνων χωρίς δείγματα ελληνικής γραφής. Είπαν λοιπόν ότι οι Έλληνες είχαν ξεχάσει να γράφουν. Αλλά ένας λαός που δημιουργεί σύστημα γραφής δεν μπορεί να ξεχάσει να γράφει. Και το ίδιο φαινόμενο της μη εύρεσης γραπτών κειμένων κάποιων περιόδων έχει εμφανισθεί περισσότερες από μία φορές χωρίς να σταματήσει η χρήση της γραφής. Το παλαιότερο δείγμα γραμμικής Β  χρονολογείται ως του 1650π.Χ. Το επόμενο δείγμα είναι οι πινακίδες της Κνωσσού από το 1500 π.Χ, της  Πύλου  του 1400 π.Χ περίπου και ακολουθούν  οι πινακίδες της Μυκηνών του 1200 π.Χ περίπου. Έπονται πινακίδες από διάφορες περιοχές που χρονολογούνται μέχρι το 1100 π.Χ.. Και στη συνέχεια βρίσκουμε την γραφή των Ελλήνων της Κύπρου με το παλαιότερο δείγμα τους να είναι του 1050 π.Χ. Το αλφάβητο χρησιμοποιείται από πριν το 800 π.Χ.. Και το επόμενο δείγμα γραφής των Ελλήνων της Κύπρου είναι του 750 π.Χ. Από το 1100 μέχρι το 850 είχαν λοιπόν οι Έλληνες ξεχάσει να γράφουν; Και στην Κύπρο οι Έλληνες της Κύπρου είχαν ξεχάσει να γράφουν από το 1050 μέχρι το 750 προ Χριστού; Πρόκειται ασφαλώς για εξαιρετικά παράλογη άποψη.
Οι Έλληνες όχι μόνο δεν είχαν ξεχάσει να γράφουν αλλά βελτίωναν συνεχώς τα συστήματα γραφής τους. Η γραμμική Β αν και αρκετά παλαιότερη, δίνει ακριβέστερη απόδοση των γλωσσικών ήχων από  τη φοινικική. Και η ελληνική κυπριακή συλλαβική γραφή είναι απλούστερη και ακριβέστερη από τη γραμμική Β. Και η αλφαβητική γραφή που οι Έλληνες την ανακάλυψαν είναι κατά γενική ομολογία ένα σύστημα γραφής εντελώς διαφορετικό από κάθε προηγούμενο. και μη συγκρίνόμενο, μη παραλληλήσιμο με τις προγενέστερες του γραφές.  Μια επανάσταση στην εξέλιξη της γραφής. Η τελειότητα της αλφαβητικής γραφής τερμάτισε ουσιαστικά την εξέλιξη λτων συστημάτων γραφής. Επί 3000 χρόνια από την εμφάνισή της τίποτε το σημαντικό δεν έχει προστεθεί αν και η ίδια η αλφαβητική γραφή με την πάροδο του χρόνου βελτιώθηκε. Σε όλες τις αλφαβητικές γραφές σήμερα χρησιμοποιούνται οι αρχές που η ελληνική αλφαβητική γραφή έφερε και καθιέρωσε. Η γραφή που οι "αγράμματοι" τάχα Έλληνες ανακάλυψαν και διέδωσαν

Πήραν λοιπόν οι Έλληνες τη γραφή τους από τους Φοίνικες; Όχι. Κατηγορηματικά Όχι. Η αλφαβητική γραφή προέκυψε ως αποτέλεσμα της συνεχούς προσπάθειας βελτίωσης των ελληνικών γραφών. Άλλωστε η φοινικική γραφή πολύ δύσκολα διαβάζεται και τα παραδείγματα που έχω δώσει βεβαιώνουν για αυτό. Και η φοινικική γραφή δεν ήταν όταν εμφανίστηκε κάτι το καινούργιο. Η φοινικική γραφή, όπως όλες οι σημιτικές προαλφαβητικές γραφές, ήταν απολύτως ίδια ως προς τη λειτουργία της με τον οδηγό προφοράς της αιγυπτιακής γραφής που είχε χρησιμοποιηθεί από το 2700 π.Χ.
Αρκετοί όμως λένε ότι οι Έλληνες πήραν τά γράμματά τους ως σχήματα από τους Φοίνικες. Όμως  αυτό καμμιά σημασία δεν έχει. Τα ίδια γράμματα μπορεί να χρησιμοποιηθούν για εντελώς διαφορετικά μεταξύ τους συστήματα γραφής. Και τα γράμματα μπορεί να αλλάξουν χωρίς να τροποποιηθεί το σύστημα γραφής. 
Σκεφθείτε για παράδειγμα τα γράμματα των βαλκανικών ή παλαιοευρωπαϊκών προβαθμίδων γραφής. Αρκετά έχουν χρησιμοποιηθεί   και σε συλλαβικά συστήματα γραφής και στο αλφάβητο ή και στα δύο. Ή σκεφθείτε ότι τα γράμματα των συλλαβικών σφηνοειδών γραφών, των σημιτικών συλλαβικών γραφών, των ελλαδικών συλλαβικών γραφών και της ιαπωνικής συλλαβικής γραφής είναι διαφορετικά ή εντελώς διαφορετικά μεταξύ τους αν και σε όλες τις περιπτώσεις έχουμε συλλαβικά συστήματα γραφής.
Αλλά ούτε ότι οι Έλληνες πήραν τά γράμματά τους ως σχήματα από τους Φοίνικες  είναι αλήθεια.  Δείτε το σχετικό θέμα σε αυτήν εδώ την ανάρτηση σε όσα ήδη έχουμε πει.

Ας διεκρινίσουμε τώρα το ερωτηματικό "γιατί"  του τίτλου αυτής εδώ της ενότητας. Ας απαντήσουμε πρώτα  το γιατί οι ελληνικές κοινότητες δεν είχαν δεχθεί να χρησιμοποιήσουν ένα από τα υπάρχοντα συστήματα γραφής. Επίσης να απαντήσουμε στο ερώτημα "γιατί ο επινοητής της αλφαβητικής γραφής ωθήθηκε στην αναζήτηση και δημιουργία ενός νέου συστήματος γραφής;" Το τρίτο γιατί αναφέρεται στο ερώτημα  "γιατί όλες οι ελληνικές κοινότητες υιοθέτησαν όλες και πρόθυμα το αλφάβητο;"

Οι Έλληνες είχαν γνωρίσει τη φοινικική γραφή αλλά δε δοκίμασαν ποτέ να τη χρησιμοποιήσουν. Γιατί;  Γιατί οι ελληνικές κοινότητες δεν ήθελαν με τίποτα ένα σύστημα γραφής εξαιρετικά δύσχρηστο στην ανάγνωση που άλλοι το είχαν δημιουργήσει για άλλες γλώσσες, το οποίο επιπλέον οι ελληνικές κοινότητες το εύρισκαν ακατάλληλο εν γένει  και  εντελώς ακατάλληλο για τη γλώσσα τους.
Άλλωστε είχαν ήδη στη διάθεσή τους και την ελληνική κυπριακή συλλαβική γραφή (κυπριακό συλλαβάριο), γραφή πολύ πλεονεκτική σε σχέση με τις σημιτικές γραφές, που ούτε όμως αυτή τους ικανοποιούσε πλήρως. Ο Έλληνας επινοητής του αλφαβήτου άτομο που κατανοούσε σε βάθος τα γλωσσικά ζητήματα, άτομο με ιδιαίτερη ευφυΐα, άνθρωπος τελειομανής, αισθάνθηκε μια πρόκληση. Να δημιουργήσει ένα σύστημα απόλυτα ακριβές στην απόδοση των γλωσσικών ήχων και εξαιρετικά απλό τόσο στη γραφή όσο και στην ανάγνωση, ένα σύστημα που θα υπερτερούσε σε κάθε τι έναντι των γνωστών του συστημάτων γραφής. Όπως είδαμε  στο πρώτο μέρος αυτής εδώ της ανάρτησης το πέτυχε. Οι εμπειρίες του από τη γνώση της γραμμικής Β και κυρίως από τη γνώση του κυπριακού συλλαβαρίου, η τελειομανία του και η ιδιοφυΐα του, του το επέτρεψαν. Είχε και εξαιρετική έμπνευση.
Για το τρίτο ερώτημα μπορεί να ειπωθεί ότι ελληνικές κοινότητας εκτίμησαν γρήγορα τη χρησιμότητα της νέας γραφής (της αλφαβητικής), και επιπλέον χαίρονταν που η γραφή αυτή είχε  δημιουργηθεί από Έλληνες για τη γλώσσα τους και κατέγραφε με πληρότητα και ακρίβεια όλους τους γλωσσικούς ήχους και ήταν εξαιρετικά απλή και στη γραφή και την ανάγνωση. Ακόμη χαίρονταν που ήταν οι πρώτοι που τη χρησιμοποιούσαν.

Για το γιατί ο επινοητής της αλφαβητικής γραφής αναζήτησε ένα νέο σύστημα γραφής έχουν δοθεί και άλλες απαντήσεις.
Το δεύτερο σε αρχαιότητα γνωστό δείγμα αλφαβητικής γραφής προέρχεται από το Δίπυλο των Αθηνών, χρονολογείται μεταξύ του 740 και 730 π.Χ. ήταν γραμμένο επί οινοχόης- έπαθλο από δεξιά προς τα αριστερά. Αποκατεστημένο με τα γράμματα που λείπουν δίνει στίχο
ΗΟΣ ΝΥΝ ΟΡΧΕΣΤΟΝ ΠΑΝΤΟΝ ΑΤΑΛΟΤΑΤΑ ΠΑΙΖΕΙ ΤΟΤΟ ΔΕΚΑΝ ΜΙΝ.

Το κείμενο της επιγραφής αντιστοιχεί στο κλασσικό
"ος νυν ορχηστών πάντων αταλώτατα παίξει, τούτο (δηλαδή την οινοχόη) δεκάν μιν"(Gelb),
που σημαίνει
όποιος από τους χορευτές χορέψει πιο ανάλαφρα (πιο ζωηρά; πιο νεανικά; πιο τρυφερά; με περισσότερη χάρη;), αυτός ας πάρει τούτο (την οινοχόη ως βραβείο).
Φαίνεται ότι αναμενόταν ότι οι συμμετέχοντες στη γιορτή θα μπορούσαν να διαβάσουν την επιγραφή.

Το τρίτο σε αρχαιότητα δείγμα αλφαβητικής γραφής προέρχεται από τις Πιθηκούσες και είναι γραμμένο επίσης σε στίχους. Χρονολογείται μεταξύ του 735 και 720 π.Χ.. Το περιεχόμενο των στίχων είναι σκωπτικό και παραπέμπει σε ομηρικούς στίχους με τους οποίους φαίνεται ότι οι Έλληνες ήταν εξοικειωμένοι.
Η επιγραφή είναι γραμμένη από δεξιά προς τα αριστερά πάνω σε ποτήρι, σε τρεις σειρές. Η πρώτη σειρά  δεν είναι έμμετρη. Οι άλλες δύο σειρές είναι τέλειοι εξάμετροι στίχοι.
Στην πρώτη σειρά αναγράφεται
ΝΕΣΤΟΡΟΣ : Ε[ΙΜ]Ι : ΕΥΠΟΤ[ΟΝ] : ΠΟΤΕΡΙ[ΟΝ ]  που σημαίνει
 "Του Νέστορα το εύποτο ποτήριον είμαι" (εύποτο δηλαδη που είναι ευχάριστο να πίνεις με αυτό, ή αλλιώς που ομορφαίνει το ποτό που θα πιεις με αυτό).
Η αναφορά στον Νέστορα παραπέμπει με σκωπτική διάθεση στο ποτήρι του Νέστορα του βασιλιά της Πύλου που περιγράφει ο Όμηρος στην Ιλιάδα, το οποίο κανείς άνδρας της εποχής που γράφτηκε η επιγραφή δεν θα μπορούσε να μετακινήσει ενώ ο Νέστορας το σήκωνε και το μετακινούσε για να πιει, εύκολα και σταθερά.
Στις άλλες δύο σειρές αναγράφεται έμμετρα:
ΗΟΣ ΔΑ[Ν] ΤΟΔΕΠΙΕCI : ΠΟΤΕΡΙ[Ο] : ΑΥΤΙΚΑ ΚΕΝΟΝ ΝΕΙ
ΗΙΜΕΡΟC HAIΡΕSEI : ΚΑLLΙSΤΕ[ΦΑ]ΝΟ : ΑΦΡΟΔΙΤΕS
Δηλαδή
"Εκείνον που πιει αυτό το ποτήρι, αμέσως μόλις το πιει
θα τον κυριέψει ο πόθος, η λαχτάρα ( ίμερος ) της ομορφοστεφανωμένης Αφροδίτης".

Πολλές ακόμη από τις πρώτες αλφαβητικές επιγραφές είναι γραμμένες σε στίχους. Το γιατί είναι ευεξήγητο.
Πριν το αλφάβητο οι σκέψεις, οι πληροφορίες, οι κρατούσες αντιλήψεις, οι απαραίτητες γνώσεις, μεταβιβάζονταν από τον ένα στον άλλο και από τη μια γενιά στην άλλη προφορικά. Για να διατηρούνται στη μνήμη διατυπώνονταν με αφορισμούς ή έμμετρα με στίχους. Την εποχή της ανακάλυψης του αλφαβήτου και για πολλά χρόνια ακόμη οι Ελληνες χρησιμοποιούσαν τους στίχους πολύ περισσότερο από όσο μπορούμε σήμερα να φανταστούμε. Και φυσικά με τη γραφή που θα υιοθετούσαν θα έγραφαν όσα θα έπρεπε ή θα ήθελαν να θυμούνται με ακρίβεια αλλά και αυτά που έλεγαν, και κατά βάση μιλούσαν με στίχους. Έτσι ανάμεσα σε αυτά που θα ήθελαν να γράψουν συμπεριλαμβάνονταν εμπορικοί κατάλογοι, συμφωνίες, νόμοι, άλλοι κατάλογοι, προγράμματα τελετών αλλά και πολλά άλλα μεταξύ των οποίων μπορεί να περιλάβει κανείς αποφθέγματα, έμμετρες συνομιλίες, έμμετρες οδηγίες συμπεριφοράς, έμμετρες λεπτομερείς περιγραφές του τρόπου που γίνονταν κάποιες εργασίες, και φυσικά τα ομηρικά έπη, αποσπάσματα από τα οποία οι ΄Ελληνες συνήθιζαν να απαγγέλουν.

Ο H. T. Wade-Gery έγραψε το 1949 ότι οι Έλληνες πρέπει να είχαν να εξυπηρετήσουν ειδικές ανάγκες με τη γραφή, ανάγκες που δεν μπορούσαν να εξυπηρετηθούν με τις γραφές τις προγενέστερες του αλφαβήτου. Παρατήρησε ακόμη ότι σε πολλές από τις παλαιότερες αλφαβητικές επιγραφές είναι γραμμένοι στίχοι και διατύπωσε κατηγορηματικά την άποψη ότι η αλφαβητική γραφή δημιουργήθηκε για να δοθεί η δυνατότητα καταγραφής εξάμετρων στίχων.
Ο Powell υιοθετεί και εξειδικεύει αυτή την άποψη. Το αλφάβητο δημιουργήθηκε από ένα άτομο που επιθυμούσε μεταξύ άλλων να καταγράψει την Ιλιάδα και την Οδύσσεια είναι η άποψή του. Για να καταγραφούν οι στίχοι έτσι ώστε να καταγραφεί το μέτρο και να αποδοθούν οι στίχοι έμμετρα κατά την ανάγνωση, είναι απαραίτητο να καταγραφούν με ακρίβεια οι συλλαβές και αυτό μόνο με την αλφαβητική γραφή μπορεί να επιτευχθεί.
Η υπόθεση των Wade-Gery και Powell συνεπάγεται ότι ο επινοητής του αλφαβήτου επεδίωκε εξ αρχής απόλυτη ακρίβεια στη γραπτή παράσταση των γλωσσικών ήχων. Πρόκειται για μια γοητευτική υπόθεση που στη μορφή που τη θέτει ο Powell προϋποθέτει ακόμη χρόνο δημιουργίας του αλφαβήτου μετά τη σύνθεση των ομηρικών επών. Με τις σημερινές απόψεις για τον πιθανό χρόνο δημιουργίας των ομηρικών επών, αυτή η υπόθεση μπορεί να είναι οριακά συμβατή με την υπόθεση επινόησης του αλφαβήτου κατά το τέλος του 9ου π.Χ. αιώνα.

Σημειώσεις

1. Η περιγραφή της πρώτης από τις δύο πιο πάνω επιγραφές βασίστηκε στο βιβλίο του Ignace Gelb "A Study of Writing". Η περιγραφή της δεύτερης βασίστηκε στα κείμενα και τις εικόνες του βιβλίου του Barry Powell,  "Homer and the origin of the greek alphabet". 
Όπως έχει αναφερθεί και οι δύο είναι γραμμένες από δεξιά προς τα αριστερά. Αντιθέτως οι ιωνικές επιγραφές και οι επιγραφές της Νάξου και της Θήρας είναι γραμμένες από τα αριστερά προς τα δεξιά. 

Ιωάννης Κουμερτάς Περιηγητής



ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ


1. Εγκυκλοπαίδεια Πάπυρος Λαρούς Μπριτάννικα: Tα άρθρα
Γραφή (Ignace Gelb),
Αλφάβητα (David Diringer),
Α,α (Γεώργιος Μπαμπινιώτης) και η
ενότητα Ελληνική Γλώσσα στον τόμο ΕΛΛΑΣ (Α΄ μέρος)


2. Εγκυκλοπαίδεια Britannica, 2011: Τα άρθρα
Writing (David Olson),
Alphabet (Olson-Diringer),
Language (Robert Robins) και
Phonetics.


3. Μεγάλη Ελληνική Εγκυκλοπαίδεια Παύλου Δρανδάκη: Το άρθρο Αλφάβητο


4. Bernard Comrie, Stephen Matthews, Maria Polinsky, Roger Woodard: Οι Γλώσσες του Κόσμου 2003


5. Henriette Walter: Η Περιπέτεια των Γλωσσών της Δύσης, 1997 στα γαλλικά και 2004 στα ελληνικά.


6. Ignace Gelb: A study of Writing 1963


7. Roger Woodard: Greek Writing from Knossos to Homer. A Linguistic Interpretation of the Origin of the Greek Alphabet and the Continuity of Ancient Greek Literacy 1997


8.  Barry Powell: Homer and the Origin of the Greek Alphabet 1991
9.  Barry Powell: Who Invented the Alphabet: The Semites or the Greeks? 1998
10.Barry Powell: Writing: Theory and History of the Technology of Civilization 2008


11.Francisco Adrados: Ιστορία της Ελληνικής Γλώσσας, Αθήνα 2003


12.Eric A. Havelock: The Literate Revolution in Greece and its Cultural Consequences, 1982


13 Eric A. Havelock: The Muse Learns to Write 1986 


14.Τσαρλς Φρήμαν: Το Ελληνικό Επίτευγμα 1999


15.A. Kirchoff: Μελέτες για την Ιστορία του Ελληνικού Αλφαβήτου 1887


16.Geoffrey Sampson: Writing Systems 1985


17.Μηνάς Τσικριτσής: Γραμμική Α. Συμβολή στην Κατανόηση μιας Αιγαιακής Γραφής 2001


18.Γκάρεθ Όουενς: Λαβύρινθος - Γραφές και Γλώσσες της Μινωικής και Μυκηναϊκής Κρήτης 2004


19.Γεώργιος Μπαμπινιώτης: Σύντομη Ιστορία της Ελληνικής Γλώσσας, Αθήνα 2002


20.Γεώργιος Μπαμπινιώτης: Λεξικό της Νέας Ελληνικής Γλώσσας, το εισαγωγικό μέρος.


21.Steven Fisher: A history of Writing 2001


22.Sir Thomas Heath: A History of Greek Mathematics 1921


23.Howard Eves: Μεγάλες Στιγμές των Μαθηματικών 1983

24.Lucio Russo:
Η Λησμονημένη Επανάσταση, Αθήνα 2006 ΔΙΑΥΛΟΣ

25.Κωνσταντίνου Γεωργακόπουλου:
Αρχαίοι Έλληνες Ιατροί, Αθήνα 1998 ΙΑΣΩ


26.Μπέρτραντ Ράσσελ: Ιστορία της Δυτικής Φιλοσοφίας, τόμος Α΄ 1941


27.Wolfgang Windeband - Heinz Heimsoeth: Εγχειρίδιο Ιστορίας της Φιλοσοφίας


28.Βέρνερ Χάιζενμπέργκ: Φυσική και Φιλοσοφία 1959





 ΟΙ  ΑΝΑΦΕΡΟΜΕΝΟΙ  ΣΤΟ  ΚΕΙΜΕΝΟ


Eric A. Havelock, Βρεταννός κλασσικιστής. Υπήρξε καθηγητής του Πανεπιστημίου του Τορόντο, υπεύθυνος κλασσικών σπουδών στα πανεπιστήμια του Harvard και του Yale, συγγραφέας των έργων «The Greek Concept of Justice», «The Literate Revolution in Greece and its Cultural Consequences», «The Mouses Learn to Write», «The Origins of the Western Literacy». Πέθανε το 1988.

Marshall McLuhan, (1911 –1980) Καναδός επιμορφωτής, φιλόσοφος, καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Τορόντο, και θεωρητικός - βασικός δημιουργός της θεωρίας των επικοινωνιών. Μεταξύ των έργων του το «The Gutenberg Galaxy: The Making of Typographic Man» και το «The Medium is the Massage»


 Bertrand Russell. Ιδρυτής και ψυχή του πολιτικού κινήματος "Φίλοι του Αφοπλισμού από Πυρηνικά Όπλα", φιλόσοφος και εκ των κορυφαίων  μαθηματικών του εικοστού αιώνα. Μεταξύ των έργων του το «The History of Western Philosophy». 


Ignace J. Gelb, Καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Σικάγου, Ινστιτούτο Μελετών Ανατολής, Τμήματα Γλωσσολογίας και Γλωσσών Εγγύς Ανατολής και συγγραφέας του έργου «A Study of Writing».
Ήταν ο συντάκτης του άρθρου Writing στην εγκυκλοπαίδεια Britannica. Μετά το θάνατό του (1985) η σύνταξη του άρθρου ανατέθηκε αρχικά στον David Diringer και στη συνέχεια στον David R. Olson. Το άρθρο Γραφή στην εγκυκλοπαίδεια Πάπυρος Λαρούς Μπριτάννικα αποτελεί μετάφραση  του δικού του άρθρου Writing στην Britannica.

David Diringer, Αναγνώστης να σημιτικών επιγραφών στο Πανεπιστήμιο του Κέμπριτζ 1966–68, θεμελιωτής και διευθυντής του Μουσείου Αλφαβήτου του Τελ-Αβίβ στο Ισραήλ, συγγραφέας του έργου «The alphabet: A Key to the History of Mankind » και εκ των συντακτών του άρθρου Alphabet της Britannica.

David R. Olson, Καθηγητής στο Ontario Institute for Studies in Education, Toronto. Συγγραφέας του «The World on Paper: The Conceptual and Cognitive Implications of Writing and Reading».
Εκ των συντακτών του άρθρου Alphabet και συντάκτης τoy άρθρου Chinese Writing και του σημερινού άρθρου Writing της Britannica. (2019)

Barry B. Powell, επίτιμος καθηγητής κλασσικών σπουδών στο Πανεπιστήμιο του Wisconsin-Madison, και συγγραφέας των έργων «Homer and the Origin of the Greek Alphabet», «Writing: Theory and History of the Technology of Civilization», «Classical Myth».

Roger Woodard, Καθηγητής Κλασσικής Φιλολογίας και Γλωσσολογίας του Πανεπιστημίου του Μπούφαλο (Κρατικό Πανεπιστήμιο της Νέας Υόρκης). Είναι συγγραφέας του «Greek Writing from Knossos to Homer» και συγγραφέας του κεφαλαίου
«Συστήματα Γραφής» του συλλογικού έργου των
Bernard Comrie, Stephen Matthews, Maria Polinsky, Roger Woodard, «Οι γλώσσες του Κόσμου»
 
Robert Henry Robins, ομότιμος καθηγητής Γλωσσολογίας, στο Πανεπιστήμιο του Λονδίνου. Συγγραφέας του «General Linguistics» και συντάκτης του άρθρου Language της Britannica.

Geoffrey Sampson, Βρεταννός γλωσσολόγος, συγγραφέας των έργων «Writing Systems» και «Corpus Linguistics»

Henriette Walter, Επίτιμος Καθηγήτρια της Γλωσσολογίας στο Πανεπιστήμιο της Άνω Βρετάνης (Γαλλία) και συγγραφέας των έργων «Η Περιπέτεια των Γλωσσών της Δύσης» και «De la musaraigne etrusque a la baleine bleue».

Francisco Adrados, επίτιμος καθηγητής του πανεπιστημίου Complutense της Μαδρίτης και μέλος της Ισπανικής Βασιλικής Ακαδημίας. Είναι ειδικός σε θέματα ελληνικής γλώσσας και σε θέματα ινδοευρωπαϊκής και γενικής γλωσσολογίας. Μεταξύ των πολυάριθμων βιβλίων του και δημοσιεύσεών του περιλαμβάνεται και το «Hιstoria de la Lengua Griega»

Γεώργιος Μπαμπινώτης, καθηγητής της Γλωσσολογίας στο Πανεπιστήμιο της Αθήνας και εμπνευστής  επικεφαλής και καθοδηγητής της ομάδας σύνταξης των γνωστών λεξικών.

Μανόλης Ανδρόνικος (1919-1992), γνωστός σε όλους αρχαιολόγος και καθηγητής αρχαιολογίας στο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης.

Απόστολος Αρβανιτόπουλος (1874-1942), διαπρεπής αρχαιολόγος και φιλόλογος. Εκ των πρώτων που υποστήριξαν με επιχειρήματα τον συλλαβικό χαρακτήρα της φοινικικής γραφής. 

Αδαμάντιος Σάμψων, αρχαιολόγος ερευνητής, καθηγητής  της προϊστορικής αρχαιολογίας στο Πανεπιστήμιο του Αιγαίου. Μεταξύ των πολυάριθμων δημοσιεύσεών του τα έργα του "Προϊστορία του Αγαίου" και "Προϊστορική αρχαιολογία ανά τη Μεσόγειο"

Θεόδωρος Γ. Γιαννόπουλος, δρ Προϊστορικής Αρχαιολογίας του Πανεπιστημίου Ruprecht-Karl της Χαϊδελβέργης, συγγραφέας του "Πόθεν και πότε οι Έλληνες;" (βραβείο Ακαδημίας Αθηνών 2013).

29 Απρ 2012

Οι άρρητοι αριθμοί: Η ανακάλυψη των αρρήτων αριθμών




ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΙΣΤΟΛΟΓΙΟΥ
Κάνετε αριστερό κλικ εδώ








Περιεχόμενα



1.  Μεγέθη σύμμετρα μεταξύ τους και μεγέθη μη σύμμετρα μεταξύ τους - Ύπαρξη μη ρητών αριθμών
2.  Ιστορική αναδρομή
3.  Το μέγιστο κοινό μέτρο δύο μεγεθών σύμμετρων μεταξύ τους 
4.  Μεγέθη μη σύμμετρα μεταξύ τους (ασύμμετρα μεγέθη)
5.  Παραδείγματα μεγεθών ασυμμέτρων μεταξύ τους  
6.  Οι συνέπειες της ανακάλυψης





1. Μεγέθη σύμμετρα μεταξύ τους και μεγέθη μη σύμμετρα μεταξύ τους - Ύπαρξη μη ρητών αριθμών

Θα ξεκινήσουμε με την έννοια των συμμέτρων μεταξύ τους ομοειδών μεγεθών1. Θα αναφερθούμε σε σύμμετρα μεταξύ τους ευθύγραμμα τμήματα. Θα μπορούσαμε να αναφερθούμε σε επιφάνειες ή σε όγκους, ή σε βάρη ή σε χρονικά διαστήματα ή ακόμη σε σύμμετρα μεταξύ τους ομοειδή μεγέθη (οι αρχαίοι τα έλεγαν και ομογενή),  χωρίς να προσδιορίσουμε σε ποιο συγκεκριμένο είδος ομοειδών  μεγεθών αναφερόμαστε. Μετά την ανακάλυψη των αρρήτων (ασυμμέτρων)  αριθμών μπορεί να γίνεται αναφορά και σε σύμμετρους μεταξύ τους αριθμούς. Νωρίτερα όλοι οι αριθμοί που ήξεραν ήταν σύμμετροι προς τον αριθμό 1 και σύμμετροι μεταξύ τους.

Ας θεωρήσουμε δύο ευθύγραμμα τμήματα το α και το β. Λέμε ότι το α είναι σύμμετρο προς το β αν υπάρχει ένα ευθύγραμμο τμήμα έστω το ε του οποίου και το α και το β είναι ακέραια πολλαπλάσια.
Στην περίπτωση αυτή υπάρχουν δύο (θετικοί) ακέραιοι, έστω οι μ και ν για τους οποίους ισχύει

α = μ.ε  και  β = ν.ε

Το ε λέγεται κοινό μέτρο των α και β. Τα α, β μπορεί να μετρηθούν σε αυτήν την  περίπτωση με ακέραιους αριθμούς αν το ε ληφθεί ως μονάδα μετρήσεως των μηκών. Το ε μετρά, δηλαδή διαιρεί ακριβώς και τα δύο τμήματα.  Για αυτόν το λόγο λέμε  ότι τα δύο τμήματα έχουν κοινό μέτρο ή συμμετρούνται και τα καλούμε σύμμετρα μεταξύ τους.

Αν τα α, β είναι σύμμετρα μεταξύ τους, δηλαδή αν  α = μ.ε    και    β = ν.ε   με  μ και ν θετικούς ακέραιους όπου ε ευθύγραμμο τμήμα, τότε:

1. Το ε είναι μικρότερο ή ίσο του α και μικρότερο ή ίσο του β.

2.  α/μ = β/ν = ε

3. α/β = μ/ν
και ο λόγος των δύο τμημάτων α και β είναι ρητός ή αλλιώς σύμμετρος αριθμός  Ρητός  αριθμός  σημαίνει αριθμός που μπορεί αποδοθεί ως λόγος ακεραίων αριθμών, δηλαδή ως κλάσμα. Οι ρητοί αριθμοί ονομάζονται και σύμμετροι ως αριθμοί σύμμετροι προς τον αριθμό 1 ή ακόμη ως λόγος μεγεθών σύμμετρων μεταξύ τους επειδή ισχύει όπως είδαμε ότι οι λόγοι σύμμετρων μεγεθών είναι ρητοί αριθμοί και επειδή ακόμη ισχύει ότι
4. Αν  ο λόγος δύο μεγεθών είναι  ρητός αριθμός τότε τα δύο τμήματα είναι σύμμετρα μεταξύ τους.
 Πράγματι.
Αν  α/β = μ/ν  τότε  α/μ = β/ν  (μ, ν είναι θετικοί ακέραιοι)
και αν ονομάσουμε ε τα ίσα τμήματα α/μ και β/ν θα έχουμε
α = μ.ε  και  β = ν.ε  με  μ και ν θετικούς ακέραιους.

Αυτό όμως σημαίνει ότι αν ύπάρχουν τμήματα μη σύμμετρα ή αλλιώς ασύμμετρα μεταξύ τους, τότε ο λόγος τους δεν είναι σύμμετρος  ή αλλιώς ρητός αριθμός. Θα είναι αριθμός άρρητος (μη ρητός) ή άλλιώς ασύμμετρος (μη σύμμετρος). Ισοδύναμα αν το ένα από τα δύο αυτά τμήματα ληφθεί ως μονάδα μέτρησης των μηκών τότε το μήκος του άλλου τμήματος μετρημένο με αυτήν τη μονάδα δεν θα ισούται με κάποιον  ρητό ή αλλιώς σύμμετρο αριθμό αλλά θα είναι αριθμός ασύμμετρος ή αλλιώς άρρητος.

2. Ιστορική αναδρομή

1. Κατά τον sir Thomas Heath,  ο αριθμός «ρίζα 2» ενδιέφερε τους Πυθαγόρειους γιατί ήταν το μήκος της διαγωνίου του τετραγώνου που το  μήκος της πλευράς του ήταν ίσο προς ένα. Αυτό ήταν εύκολο να διαπιστωθεί και χωρίς να αποδειχθεί το πυθαγόρειο θεώρημα, αφού απλά σημαίνει ότι  το τετράγωνο με πλευρά ίση προς τη διαγώνιο  ενός τετραγώνου έχει διπλάσιο εμβαδό από το αρχικό τετράγωνο. Έτσι  μεταξύ των  πρώτων αριθμών  που ελέγχθηκαν αν ήταν άρρητοι ήταν ο αριθμός τετραγωνική ρίζα του 2  και κατά τον  sir Thomas Heath η απόδειξη ότι ο αριθμός αυτός είναι άρρητος έγινε από τους Πυθαγόρειους  με τη μέθοδο της εις άτοπον απαγωγής με τη βοήθεια θεωρημάτων της στοιχειώδους αριθμητικής σχετικών με τη διαιρετότητα.   

Αν ο «ρίζα 2» ήταν ρητός θα ήταν ίσος με ένα ανάγωγο κλάσμα αφού κάθε ρητός αριθμός γράφεται σαν  κλάσμα και κάθε κλάσμα ισούται με ένα ανάγωγο κλάσμα θα είχαμε
  «ρίζα 2» = μ /ν  και επομένως  2 =μ2 /ν2     ή       μ2  =2.ν2  .     (1)
 Άρα ο 2 θα είναι διαιρέτης του μ και μ=2λ      
Αντικαθιστούμε στην (1) και βρίσκουμε
2 λ2  = ν2
και άρα ο 2 είναι διαιρέτης και του ν και επομένως κοινός διαιρέτης του μ και του ν  και αυτό αντίκειται στις υποθέσεις μας. 
Πρόκειται αναφέρει ο sir Thomas Heath, για την απόδειξη που  παραθέτει ο Αριστοτέλης και προσθέτει οτι έχει επίσης περιληφθεί στο τέλος του δεκάτου βιβλίου των «Στοιχείων» του Ευκλείδη . 

 Εξ άλλου, σύμφωνα με μία από τις τρεις εκδοχές ενός θρύλου, ένας από τους παλαιότερους μαθητές του Πυθαγόρα ο Ίππασος ο Κροτωνιάτης που αναφερόταν  όμως ως ο Μεταπόντιος, έφυγε στη θάλασσα και πνίγηκε σε ένα ναυάγιο επειδή έκανε γνωστή έξω από τους κύκλους των Πυθαγορείων την ανακάλυψη άρρητων και επομένως ασύμμετρων προς τη μονάδα αριθμών.
Οι συχνές αναφορές για τη μυστικότητα γύρω από τις γνώσεις και τις δοξασίες των Πυθαγορείων πρέπει να αντανακλούν το γεγονός ότι τουλάχιστον αρχικά η διδασκαλία και η επικοινωνία στις σχολές τους ήταν αποκλειστικά προφορική.

Υπάρχει όμως και  άλλη εκδοχή για το πώς διαπιστώθηκε για πρώτη φορά το άρρητο ενός αριθμού. Σύμφωνα με αυτήν την εκδοχή, παρατηρήθηκε αρχικά το ότι η διαγώνιος και  η πλευρά τετραγώνου είναι μεταξύ τους ασύμμετρες και περίπου ταυτόχρονα το ίδιο παρατηρήθηκε για τη διαγώνιο και την πλευρά κανονικού πενταγώνου. Αν έτσι είναι, τότε οι άρρητοι αριθμοί ανακαλύφθηκαν κατά την αναζήτηση κοινού μέτρου αυτών των μηκών με τον τρόπο που στο κυρίως κείμενο περιγράφουμε. Προσωπικά θεωρώ πιθανότερο το να έγινε η ανακάλυψη με αυτόν τον τρόπο. Η αριθμητική απόδειξη φαίνεται απλή είναι όμως εξαιρετικά αφηρημένη. Αντιθέτως η προσπάθεια να βρεθεί κοινό μέτρο της πλευράς και της διαγωνίου τετραγώνου ή κανονικού πενταγώνου οδηγούσε  και μέσω συλλογισμών και μέσω της εποπτείας του σχήματος, στην πεποίθηση ότι κοινό μέτρο αυτών των τμημάτων δεν υπάρχει, και μάλιστα είχε οδηγήσει σε αυτήν την πεποίθηση πριν αυτό αποδειχθεί πλήρως θεωρητικά. Και αυτό παρακινούσε σε προσπάθεια θεωρητικής κατανόησης.

Όπως και να έχει, η συστηματική θεωρία των ασύμμετρων  ή αρρήτων αριθμών  βασίστηκε στη δυνατότητα να υπάρχουν μεγέθη «ασύμμετρα»  μεταξύ τους με την έννοια που περιγράφεται σε αυτήν εδώ την ανάρτηση.

Την ανακάλυψη των ασυμμέτρων (αρρήτων) ακολούθησε η θεωρία αναλογιών διατυπωμένη κατά τρόπο που να καλύπτει και την περίπτωση ρητών και την περίπτωση άρρητων λόγων, θεωρία που αναπτύχθηκε από τον Εύδοξο τον Κνίδιο (περίπου 395 -340 π.Χ.) έναν από τους πιο καινοτόμους Έλληνες μαθηματικούς.
Η συστηματική θεωρία των ασυμμέτρων ξεκίνησε με τον Εύδοξο και ολοκληρώθηκε από τον Έλληνα μαθηματικό Θεαίτητο τον Αθηναίο (415 – 370 π.Χ.) μαθητή και συνεχιστή του Θεοδώρου του Κυρηναίου.  Ο Θεαίτητος ανέπτυξε και την πλήρη θεωρία των κανονικών πολυέδρων. Ήταν ιδιαίτερα προσφιλής  στον Πλάτωνα που του αφιέρωσε διάλογο που φέρει το όνομα του. Πέθανε πολύ νέος.  Ο Θεόδωρος ο Κυρηναίος υπήρξε μαθητής του Πρωταγόρα και δάσκαλος του Πλάτωνα (στα μαθηματικά). Δανείζομαι από σημείωμα του Δημήτρη Καλογερά ηλεκτρολόγου μηχανικού Ε.Μ.Π., μια φράση που αφορά ένα από από τα κανονικά πολύεδρα (πλατωνικά στερεά ονομάζονται επίσης, μου επησημαίνει). Ιδού λοιπόν η φράση.
 "Το κανονικό εικοσάεδρο δεν εμφανίζεται στην φύση, π.χ. ως κρύσταλλος κάποιου ορυκτού, συνεπώς αποτελεί γνήσια ανακάλυψη του ανθρώπινου νου"
Ο Εύδοξος  ανέπτυξε επίσης τη μέθοδο της εξάντλησης, αυστηρή μαθηματικά μέθοδο με την οποία χωρίς χρήση ορίων είναι δυνατόν να βρίσκεται και να αποδεικνύεται ότι  εμβαδά και όγκοι σύνθετων γεωμετρικών σχημάτων έχουν συγκεκριμένη αριθμητική τιμή. Το ζητούμενο εμβαδό αν επρόκειτο για εμβαδό επιπέδων σχημάτων, αναγόταν σε άθροισμα εμβαδών ευθυγράμμων σχημάτων (τριγώνων για παράδειγμα), όλο και μικρότερων που κάλυπταν  (εξαντλούσαν) το αρχικό σχήμα χωρίς να άλληλοεπικαλύπτονται και αυτό καθιστά τη μέθοδο της εξάντλησης, μέθοδο λογισμού απειροστών προδρομική του απειροστικού λογισμού. Η απόδειξη για την ορθότητα της ευρισκομένης τιμής του  αθροίσματος γινόταν με τη χρήση διπλής εις άτοπον απαγωγής και ήταν αυστηρότατη. Η μέθοδος χρησιμοποιήθηκε ευρηματικά και συστηματικά από τον Αρχιμήδη και γι αυτό θεωρείται ότι τα έργα του Αρχιμήδη εισήγαγαν μεθόδους που οδήγησαν στην ανάπτυξη του απειροστικού ή αλλιώς ολοκληρωτικού λογισμού. 
Επίσης ο Εύδοξος εισήγαγε τα μαθηματικά στη μελέτη της αστρονομίας και υπήρξε νομοθέτης στην πατρίδα του την Κνίδο. Συνδέθηκε  και με τον Πλάτωνα. Υπήρξε μαθητής και δάσκαλος στη σχολή του.
Το δέκατο βιβλίο των «Στοιχείων»  του Ευκλείδη περιέχει τη θεωρία των ασυμμέτρων  και είναι το τελειότερο σε μορφή. Η θεωρία των κανονικών πολυέδρων περιλαμβάνεται στο δέκατο τρίτο βιβλίο. Η θεωρία των αναλογιών αποτελεί το περιεχόμενο του πέμπτου βιβλίου και ο ορισμός της ισότητας λόγων που περιλαμβάνεται σε αυτήν, θεωρείται ως ένα από τα αριστουργήματα της μαθηματικής γραμματείας. "Η μέθοδος της εξάντλησης" περιλαμβάνεται στο δωδέκατο βιβλίο των «Στοιχείων».

Πρέπει να παρατηρηθεί ότι ο Θεόδωρος ο Κυρηναίος, ο Θεαίτητος, ο Εύδοξος, ο Ευκλείδης, και ο  Αρχιμήδης δεν ήταν Πυθαγόρειοι. 

3. Το μέγιστο κοινό μέτρο δύο μεγεθών σύμμετρων μεταξύ τους

Οι αρχαίοι είχαν αρχικά την αντίληψη ότι δύο οποιαδήποτε ομοειδή μεγέθη, όπως δύο ευθύγραμμα τμήματα για παράδειγμα, είναι πάντα σύμμετρα μεταξύ τους και επομένως δεδομένων δύο τμημάτων  α, β μπορεί πάντοτε να βρεθεί ένα τμήμα ε που μετρά ακριβώς και το α και το β. Έτσι αναζήτησαν τρόπο να βρίσκουν σε κάθε περίπτωση ένα κοινό μέτρο δύο οποιωνδήποτε τμημάτων. Και επειδή αν τα α, β είναι ακέραια πολλαπλάσια ενός τμήματος ε είναι και ακέραια πολλαπλάσια και του ε/2, του ε/3, του ε/4 ... και ούτω καθεξής, αναζήτησαν τρόπο να προσδιορίσουν το μέγιστο κοινό μέτρο δύο οποιωνδήποτε τμημάτων.

Η μέθοδος που ανέπτυξαν μοιάζει με τον αλγόριθμο που χρησιμοποιούσαν για να βρουν τον μέγιστο κοινό διαιρέτη δύο ακεραίων.  
Αν ήταν  α > β και το β μετρούσε ακριβώς το α τότε το β ήταν το μέγιστο κοινό μέτρο των α και β.  
Αν ήταν  α > β και το β δεν μετρούσε ακριβώς το α τότε  "διαιρούσαν" το α δια β και εύρισκαν το υπόλοιπο γ. Αυτό σημαίνει ότι εύρισκαν το μέγιστο ακέραιο κ με τον οποίο αν πολλαπλασιάσουν το τμήμα β δεν θα υπερβούν το τμήμα α και αφαιρούσαν από το α το τμήμα κβ. Το  υπόλοιπο ήταν το γ. Οι αρχαίοι αυτήν τη διαδικασία την ονόμαζαν ανθυφαίρεση.

Το αξίωμα του Ευδόξου εξασφαλίζει ότι παίρνοντας  διαδοχικά τα τμήματα β, 2β, 3β, 4β,  ....  θα βρούμε τμήμα  λ.β > α με ρβ < α  για κάθε θετικό ακέραιο ρ < λ . Το τμήμα (λ-1)β είναι το μέγιστο πολλαπλάσιο του β που δεν υπερβαίνει το α1

Ανθυφαιρώντας το β από το α θα είχαμε:

1. α = κ.β + γ  με κ θετικό ακέραιο, γ < β  και γ < α/2
    [ Το γ είναι μικρότερο του κ.β    και     (κ.β + γ )=α ]

2. Αν επιπλέον τα α, β είναι σύμμετρα μεταξύ τους δηλαδή  αν

    α= μ.ε   και    β = ν.ε    με μ, ν ακέραιους ε ευθύγραμμο τμήμα τότε
   
    γ = (μ - κν).ε ,     ε ≤ γ<β ,       ε ≤ γ<α/2

Δηλαδή  αν το ε είναι κοινό μέτρο των α και  β τότε μετρά ακριβώς και το υπόλοιπο γ και είναι επομένως κοινό μέτρο των β, γ και είναι   ε ≤ γ<β    και    ε<α/2

Ισχύει προφανώς και ότι:
Αν κάποιο τμήμα ε είναι κοινό μέτρο των β, γ τότε είναι  και κοινό μέτρο των α, β.

Φυσικά αυτή η διαδικασία μπορεί να συνεχισθεί εξετάζοντας αν το γ μετρά το β. Αν το μετρά είναι το μέγιστο κοινό μέτρο των β, γ  και επομένως το μέγιστο κοινό μέτρο των α, β. Αν δεν το μετρά, τότε ανθυφαιρούμε το γ από το β και βρίσκουμε ένα τμήμα δ και συνεχίζουμε εργαζόμενοι με τα γ, δ. Το μέγιστο κοινό μέτρο των  γ, δ έστω το ε  θα  είναι και μέγιστο κοινό μέτρο των α, β και θα είναι

ε ≤ δ<γ/2<β/2     και   ε ≤ δ <γ/2<α/22 .

Αν αυτή η διαδικασία των ανθυφαιρέσεων συνεχιζόταν άκαρπα 2Ν φορές και μόνον κατά την επόμενη ανθυφαίρεση βρίσκαμε τμήμα έστω το ε΄ που μετρούσε ακριβώς το αμέσως προηγούμενό του, τότε το ε΄  θα ήταν το μέγιστο κοινό μέτρο των α, β και θα ήταν  

ε΄ <β/2N  και    ε΄<α/2N+1  .

Εδώ ας σταθούμε λίγο. Πόσο μακρυά μπορεί να πάει αυτή η διαδικασία;
Ας υποθέσουμε ότι τα α, β είναι σύμμετρα μεταξύ τους και είναι

α = μ.ε   και    β = ν.ε    με μ, ν ακέραιους ε ευθύγραμμο τμήμα  και  μ>ν.

Στην περίπτωση αυτή:
Αν ο ν διαιρεί τον μ,  τότε ο ν είναι ο Μ.Κ.Δ.(μέγιστος κοινός διαιρέτης)  των μ, ν  και το   β = νε είναι το μέγιστο κοινό μέτρο των α, β.
Αν ο ν δεν διαιρεί τον μ τότε η ανθυφαίρεση του β από το α θα μας δώσει όπως έχει ήδη αναφερθεί το

γ = (μ - κν)ε    

όπου ο κ είναι το πηλίκο της διαίρεσης του μ δια ν και ο (μ-κ.ν) είναι το υπόλοιπο  της ίδιας διαίρεσης.
Κάθε κοινός διαιρέτης των μ, ν διαιρεί και τον (μ - κ.ν) και κάθε κοινός διαιρέτης των ν, (μ - κ.ν) διαιρεί και τον μ. Οι  αριθμοί του ζεύγους [μ , ν] και οι αριθμοί του ζεύγους [ν , (μ -κ.ν)] έχουν τους ίδιους κοινούς διαιρέτες και επομένως τον ίδιο Μ.Κ.Δ.

Συνεχίζοντας, θα βρίσκουμε με  τις διαδοχικές ανθυφαιρέσεις ευθύγραμμα τμήματα της μορφής

υ.ε ,

όπου το πρώτο  υπόλοιπο υ1= (μ - κ.ν) είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης μ διά ν,
το δεύτερο υπόλοιπο υ2 είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του ν  διά  υ1 ,  
το τρίτο  υπόλοιπο υ3  θα είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης  του  υ1 διά   υ2 και ούτω καθεξής.

Οι αριθμοί  κάθε ζεύγους  διαδοχικών υπολοίπων έχουν τους ίδιους κοινούς διαιρέτες και επομένως τον ίδιο Μ.Κ.Δ.  με τους αριθμούς μ και ν. 
Η διαδικασία θα τελειώσει όταν βρούμε κάποιο υπόλοιπο, έστω το δ, που θα διαιρεί το αμέσως προηγούμενό του και θα είναι επομένως ο  Μ.Κ.Δ. των δύο τελευταίων υπολοίπων. 

Σύμφωνα όμως με όσα έχουμε πει ο δ θα είναι επίσης ο Μ.Κ.Δ. των μ, ν  και το τμήμα 

ε΄ = δ.ε

θα είναι το μέγιστο κοινό μέτρο των αρχικών  τμημάτων α και β.

Η όλη διαδικασία είναι πεπερασμένη αφού το πρώτο υπόλοιπο είναι μικρότερο του ν και κάθε υπόλοιπο είναι θετικό και μικρότερο κατά ακέραιο θετικό αριθμό από το αμέσως προηγούμενό του. Για αυτό, σε ν το πολύ διαιρέσεις θα έχουμε φτάσει σε υπόλοιπο 1 ή θα έχουμε φτάσει προηγουμένως σε υπόλοιπο που διαιρεί το αμέσως προηγούμενό του. Στην πράξη αυτή η διαδικασία θα ολοκληρωθεί με πολύ λιγότερες διαιρέσεις. Ο αριθμός των απαιτουμένων διαιρέσεων δεν υπερβαίνει τον ελάχιστο ακέραιο εκθέτη του 2, έστω τον ρ, για τον οποίο ισχύει  2ρ > ν .( 2)


Σημειώσεις

1. Η επίκληση  του αξιώματος του Ευδόξου είναι απαραίτητη για τη γενική περίπτωση δύο αυθαίρετων, δύο τυχαίων τμημάτων. Σε συγκεκριμένες περιπτώσεις, σαν αυτές που είχαν πρωτοαπασχολήσει τους μαθηματικούς (διαγώνιος και πλευρά τετραγώνου ή κανονικού πενταγώνου),  ήταν προφανές και το "πηλίκο" και το "υπόλοιπο" της ανθυφαίρεσης.

2. Εχοντας βρει το μέγιστο κοινό μέτρο ε δύο ευθυγράμμων τμημάτων α και β θα έχουμε


 α = με                β = νε,          α/ β = μ/ ν       (1)    

με μ,ν  θετικούς ακέραιους σχετικώς πρώτους μεταξύ τους .


Τώρα τα τμήματα   ε,  ε/2,  ε/3,  ........ ε/Ν,   ε/Ν+1,  ......

είναι προφανώς κοινά μέτρα των  τμημάτων α, β.  
Μάλιστα αυτά είναι όλα τα κοινά μέτρα των α,β. 
Γιατί αν χ είναι ένα κοινό μέτρο των α και β μικρότερο του ε , θα έχουμε

α = μ΄.χ        και        β = ν΄.χ  

Και αν  ο  θετικός ακέραιος δ  είναι ο Μ.Κ.Δ των μ΄, ν΄  θα ισχύει 
μ΄= δ.κ     και    ν΄= δ.λ με  τους   κ,λ    σχετικώς πρώτους,   και θα ισχύει ακόμη

α  = (κ.δ).χ  = κ.(δ.χ)         β = (λ.δ).χ = λ.(δ.χ)     α/ β = κ/ λ    (2)  


με  κ, λ     σχετικώς πρώτους μεταξύ τους.

Από τις (1) και (2) προκύπτει    (κ / λ)  =  (μ /ν )
Και επειδή τα δυό κλάσματα έχουν θετικούς όρους και είναι ανάγωγα, προκύπτει ότι
κ = μ,   λ = ν,   και     ε = δ.χ  ή ισοδύναμα

χ = ε /δ        με δ θετικό ακέραιο




4. Μεγέθη μη σύμμετρα μεταξύ τους (ασύμμετρα μεταξύ τους μεγέθη)

Σύμφωνα με τα παραπάνω,
αν δύο τμήματα είναι σύμμετρα μεταξύ τους, τότε  η διαδικασία εύρεσης του μέγιστου κοινού τους μέτρου περατώνεται με  πεπερασμένο αριθμό ανθυφαιρέσεων. 

Συμπέρασμα
"Δύο ευθύγραμμα τμήματα  δεν έχουν μεταξύ τους κοινό μέτρο και επομένως είναι μεταξύ τους ασύμμετρα, αν η διαδικασία  των διαδοχικών ανθυφαιρέσεων που ακολουθούμε για την εύρεση του μέγιστου κοινού τους μέτρου δίνει πάντοτε υπόλοιπο που δεν μετρά (δεν διαιρεί ακριβώς) το αμέσως προηγούμενό του υπόλοιπο".

Το  Συμπέρασμα αποτελεί τη δεύτερη πρόταση του δέκατου βιβλίου των "Στοιχείων" του Ευκλείδη
Η πρώτη πρόταση του δεκάτου βιβλίου  χρησιμοποείται για να αποδειχθεί η δεύτερη και μπορεί να διατυπωθεί ως εξής.
Αν από ένα μέγεθος αφαιρεθεί τμήμα μεγαλύτερο από το μισό του και το ίδιο γίνει και στο υπόλοιπο και η διαδικασία επαναληφθεί κατά τον ίδιο τρόπο κατάλληλα μεγάλο αριθμό φορών, το απομένον μέρος  μπορεί να γίνει μικρότερο από οποιοδήποτε (ομοειδές) μέγεθος.
Πρόκειται για πρόταση ισοδύναμη με το αξίωμα του Ευδόξου.
Στον Ευκλείδη η εύρεση του μέγιστου κοινού μέτρου δύο σύμμετρων μεταξύ τους μεγεθών δεν συνδέεται ρητά με τη διαδικασία εύρεσης του μέγιστου κοινού διαιρέτη δύο ακεραίων και η πρόταση
"η διαδικασία εύρεσης του μέγιστου κοινού μέτρου δύο σύμμετρων μεταξύ τους μεγεθών ολοκληρώνεται με πεπερασμένο αριθμό ανθυφαιρέσεων"
παρατίθεται τρίτη και  αποδεικνύεται με βάση την παραπάνω δεύτερη πρόταση με τη μέθοδο της εις άτοπον απαγωγής με χρήση και του αξιώματος του Ευδόξου. Παραθέτω μια παράφραση αυτής της απόδειξης
[Μετά από Ν+1 ανθυφαιρέσεις θα έφθαναν σε δύο τμήματα έστω τα α΄, β΄  (α΄>β΄) εκ των οποίων το μικρότερο θα είναι μικρότερο του β/2N (α, β είναι τα αρχικά τμήματα και α>β).
Και αν τα αρχικά τμήματα α, β είχαν κοινό μέτρο έστω το ε, τότε αυτό το ε θα ήταν κοινό μέτρο και των α΄, β΄ και θα είχαμε

ε <β΄<β/2N.

Και επειδή στην περίπτωσή που οι ενθυφαιρέσεις  συνεχίζονται ατελεύτητα χωρίς να βρίσκουμε υπόλοιπο που να διαιρεί το αμέσως προηγούμενό του ο θετικός ακέραιος Ν μπορεί  να γίνεται οσοδήποτε μεγάλος θα είχαμε

ε <β/2N  για κάθε ακέραιο θετικό Ν ή αλλιώς   2N.ε<β    για κάθε ακέραιο θετικό Ν  

Είναι όμως   Ν<2N   και για αυτό θα ήταν  Ν.ε< 2N.ε <β  για κάθε Ν όπερ άτοπον αφού 

κατά το αξίωμα του Ευδόξου το Ν.ε υπερβαίνει οποιοδήποτε ευθύγραμμο τμήμα για κατάλληλα μεγάλο Ν.]


 

5. Παραδείγματα μεγεθών ασυμμέτρων μεταξύ τους 

Ο Ευκλείδης είχεοδηγηθεί στη διατύπωση της δεύτερης πρότασης του 10ου βιβλίου των στοιχείων του  επειδή στην περίπτωση που αναζητούσαν  το μέγιστο κοινό μέτρο της διαγωνίου και της πλευράς ενός τετραγώνου ή της διαγωνίου και της πλευράς ενός κανονικού πενταγώνου αλλά και σε άλλες περιπτώσεις είχε ήδη διαπιστωθεί, ότι οι διαδοχικές ανθυφαιρέσεις έδιναν πάντοτε υπόλοιπο που δεν διαιρούσε το πρηγούμενο υπόλοιπο. 

Το πώς είχε διαπιστωθεί θα το δούμε σε μερικά παραδείγματα.


Ι. Στο τετράγωνο του σχήματος είναι: 

1. ΑΒ = ΒΓ = β  η πλευρά του τετραγώνου  
2. ΑΓ =  δ  η διαγώνιος του. 
3. Το Η  επί της ΒΓ και το Ζ επί της διαγωνίου ΑΓ. 
4. Η ΑΗ  διχοτόμος της γωνίας ΒΑΓ και η ΖΗ  κάθετος επί την ΑΓ.
5. AZ = AB = β
6. ΓΖ = (ΑΓ - ΑΖ)  = (δ - β) 
7. ΓΖ = ΖΗ = ΒΗ = (δ - β)



Επίσης:

1.  Από το τρίγωνο ΑΓΒ  έχω β<δ<2.β και επομένως η πλευρά β δεν διαιρεί ακριβώς τη διαγώνιο δ.

2. Αν οι δ, β έχουν κοινό μέτρο έστώ ε και είναι    δ = μ.ε    
    και    β = ν.ε     με   μ > ν,  
    θα είναι  ΖΓ = (δ - β) = (μ - ν).ε   
    Το ε διαιρεί επομένως  ακριβώς και το ΖΓ   και συνεπώς ισχύει   
    ε < ΖΓ < β/2 

3. Θα είναι επίσης    ΓΗ = (ΓΒ - ΗΒ) = [ ν - (μ-ν)].ε   και επομένως  το ε διαιρεί ακριβώς και το ΓΗ
Το  ε  θα είναι επομένως  κοινό μέτρο της διαγωνίου και της πλευράς ενός νέου τετραγώνου ΓΖΗΘ     του οποίου η πλευρά είναι μικρότερη του β/2

Μέχρι εδώ είδαμε ότι αν η διαγώνιος και η πλευρά του τετραγώνου είχαν κοινό μέτρο, αυτό το κοινό μέτρο θα ήταν επίσης κοινό μέτρο της διαγωνίου και της πλευράς ενός  άλλου τετραγώνου πλευράς μικρότερης του μισού της πλευράς του πρώτου τετραγώνου και η διαδικασία αυτή μπορεί να  συνεχίζεται απαράλλαχτα. Δεν μπορεί επομένως να βρεθεί σε κάποια ανθυφαίρεση υπόλοιπο ίσο με μηδέν.  

Επομένως  η διαγώνιος και η πλευρά τετραγώνου είναι τμήματα ασύμμετρα μεταξύ τους και ο λόγος τους είναι ασύμμετρος ή αλλιώς άρρητος αριθμός.

ΙΙ. Ας πάμε τώρα στο κανονικό πεντάγωνο  ΑΒΓΔΕ. Είναι

1. ΑΒ = ΑΕ = α, πλευρές του πενταγώνου.
2. ΕΒ =δ, διαγώνιος του πενταγώνου 
3. ΒΖ = ΑΒ =α  και  ΕΖ = (δ - α) .
4. γωνία ΕΑΒ = 108 μοίρες, γωνία ΑΒΖ =36 μοίρες, γωνία ΑΖΕ = 108 μοίρες
    γωνία ΕΑΖ = 36 μοίρες,  γωνία ΖΕΑ =36 μοίρες
5. ΑΗ = ΑΖ = ΕΖ = (δ - α)  και  (δ-α)=ΑΖ<ΑΕ=α   
6. Γωνία ΕΗΖ = γωνία ΕΖΑ = 108 μοίρες
7. Γωνία ΒΕΑ  = γωνία ΕΑΖ = γωνία ΕΖΗ =36 μοίρες
8. Γωνία ΒΖΑ = γωνία ΖΑΒ = γωνία ΑΖΗ = 72 μοίρες



Έχουμε:

1. Τρίγωνο ΑΕΒ: Η ΑΒ =α δεν διαιρεί ακριβώς την διαγώνιο ΕΒ = δ αφου είναι
    α<δ<2.α

2. Αν οι δ, α έχουν κοινό μέτρο έστώ ε και είναι    δ = μ.ε    
    και    β = ν.ε     με   μ > ν,  
    θα είναι  ΖΕ = (δ - α) = (μ - ν).ε   
    Το ε  διαιρεί επομένως  ακριβώς και το ΖΕ   και το  ε  θα είναι
    επομένως κοινό μέτρο της της πλευράς ΑΕ =α και της (δ-α)=ΖΕ=ΖΑ
   Τρίγωνο ΖΕΑ: Η ΖΕ δεν διαιρεί την ΑΕ αφού είναι ΖΕ < ΑΕ < 2.ΖΕ

3. Το ε θα είναι επίσης κοινό μέτρο και των ΕΖ , ΕΗ=(ΕΑ-ΕΖ)
    και ΕΗ δεν διαιρεί ακριβώς την ΕΖ.

4. Η διαδικασία μπορεί να συνεχισθεί απεριόριστα. 
    Τα υπόλοιπα των ανθυφαιρέσεων θα είναι πάντοτε
    πλευρές τριγώνων που έχουν ίσες γωνίες με το αρχικό
    και ποτέ ένα υπόλοιπο δεν θα διαιρεί το προηγούμενο
    του αφού τα διαδοχικά υπόλοιπα είναι οι άνισες πλευρές 
    ενός τριγώνου ισογώνιου με το ΑΕΒ.

Αυτό σημαίνει ότι
η διαγώνιος και η πλευρά ενός κανονικού πενταγώνου είναι μεταξύ τους ασύμμετρα μεγέθη και ο λόγος τους είναι αριθμός ασύμμετρος ή αλλιώς άρρητος.


ΙΙΙ. Στην  περίπτωση κανονικού δεκαγώνου, αν Α΄Β΄ είναι μια πλευρά του και Ο το κέντρο του περιγεγραμμένου του κύκλου, τότε το τρίγωνο ΟΑ΄Β΄ έχει ίσες γωνίες με το τρίγωνο ΒΑΖ του
παραπάνω σχήματος
και επομένως
η πλευρά Α΄Β΄ =α  του όποιου κανονικού δεκαγώνου και η ακτίνα  ΟΑ΄= R του περιγεγραμμένου του κύκλου είναι μεταξύ τους ασύμμετρες και ο λόγος τους είναι άρρητος αριθμός και ίσος προς τον  λόγο πλευράς και διαγωνίου κανονικού πενταγώνου.

IV. Η πλευρά κανονικού δεκαγώνου και η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου, έχουν τον μεταξύ τους λόγο ίσο προς τον λόγο της χρυσής τομής. Επομένως ο λόγος αυτός είναι αριθμός ασύμμετρος. 
Συνεπώς
αν ένα ευθύγραμμο τμήμα  διαιρεθεί σε δύο μέρη ούτως ώστε το μεγαλύτερο από τα δύο μέρη να είναι μέσο ανάλογο του όλου και του υπολοίπου, τότε καθένα από τα δύο μέρη είναι ασύμμετρο προς το άλλο και ασύμμετρο προς το αρχικό τμήμα . 

Αν α το ευθύγραμμο τμήμα, και β μέρος του ούτως ώστε β/α =(α-β)/β τότε

α/2<β<α και β2 +α.β- α2 = 0.

Επομένως ο λόγος β/α είναι ρίζα της εξίσωσης χ2 + χ -1 = 0 ενώ ο λόγος α/β ρίζα της εξίσωσης  χ2 - χ -1 = 0. Οι λόγοι (α-β)/β και β/(α-β) είναι αντιστοίχως ίσοι προς αυτούς τους λόγους.   
Οι ρίζες των δύο εξισώσεων δεν είναι ρητοί αριθμοί και αυτό μας δίνει έναν ακόμη τρόπο (σημερινό τρόπο) να συμπεράνουμε την τελευταία υπογραμμισμένη πρόταση1.

V. Θα αναφερθούμε αμέσως σε δύο από τους πιο σημαντικούς για τα μαθηματικά αριθμούς,  για τον e και τον π. Είναι και οι δύο άρρητοι. Οι αρχαίοι τον e που ορίζεται ως όριο ακολουθίας ή ως όριο αθρoίσματος σειράς δεν τον είχαν ανακαλύψει και δεν τον ήξεραν. Με χρήση σημερινών μέσων η απόδειξη ότι είναι άρρητος είναι στοιχειώδης και απλή. Τον π, το λόγο της περιφέρειας κάθε κύκλου προς τη διάμετρο του, τον είχαν ανακαλύψει και τον είχαν καθορίσει αυστηρά. Δεν είχαν όμως αποδείξει ότι είναι άρρητος. Αυτό αποδείχθηκε για πρώτη φορά το 1761 από τον Ελβετό μαθηματικό, φυσικό και φιλόσοφο Johann Lambert. Η απόδειξή στηρίχτηκε στην ανάπτυξη της εφ(χ) σε συνεχές κλάσμα με άπειρους όρους. Ο  Lambert απέδειξε ότι το συγκεκριμένο συνεχές κλάσμα παριστάνει άρρητο αριθμό για κάθε ρητή τιμή του χ (χ σε ακτίνια), και παρατήρησε ότι εφ(π/4) = 1. Μια στοιχειώδης και σχετικά απλή απόδειξη του ότι ο π  είναι άρρητος δόθηκε το 1946 από τον Καναδοαμερικανό μαθηματικό Ivan  Niven. Ο Niven πέθανε το 1999. Η απόδειξη όμως αυτή΄, όπως και οι άλλες αποδείξεις που έχουν δοθεί,  δεν στηρίζεται  στον ορισμό του π και βασίζεται στη χρήση προχωρημένων μαθηματικών σχέσεων και εργαλείων. Επιπλέον είναι δύσκολο να δεί κάποιος το πώς μπορεί να οδηγηθεί σε αυτόν τον συγκεκριμένο  δρόμο που οδηγεί στην απόδειξη. Η απόδειξη του Niven παρατίθεται στην ανάρτηση για τα είδη και τις ιδιότητες των αρρήτων αριθμών.

VI. Στην αρχή του δέκατου βιβλίου των "Στοιχείων" του Ευκλείδη, αφού παρατεθούν οι ορισμοί των  "σύμμετρων" και των "ασύμμετρων" μεταξύ τους ευθυγράμμων τμημάτων, αναφέρεται ότι αποδεικνύεται ότι αν δοθεί ένα ευθύγραμμο τμήμα α, υπάρχουν άπειρα ευθύγραμμα τμήματα διαφορετικού μήκους το κάθε ένα, τα οποία είναι σύμμετρα προς το α, και επίσης άπειρα ευθύγραμμα τμήματα που το κάθε ένα από αυτά είναι ασύμμετρο προς το α. Η απόδειξη παρατίθεται στην πρόταση 10  του ίδιου βιβλίου. 
Ο λόγος τώρα του κάθε ενός από τα τελευταία ευθύγραμμα τμήματα προς το α είναι ένας διαφορετικός κάθε φορά ασύμμετρος ή αλλιώς άρρητος αριθμός. Ήξεραν επομένως οι αρχαίοι ότι υπάρχουν άπειροι άρρητοι αριθμοί και επομένως ένοιωθαν υποχρεωμένοι να αναπτύξουν τρόπους χειρισμού των αρρήτων. Το σχετικό ζητήμα αναφέρεται στην ανάρτηση "Ο ορισμός της ισότητας λόγων στον Ευκλείδη". Με τον ορισμό επιτεύχθηκε άριστος χειρισμόςτων ασυμμέτρων μεταξύ τους ομοειδών μεγεθών και των ασυμμέτρων ή αλλιώς αρρήτων αριθμών. Η διατύπωση του ορισμού αυτού αποτελεί μια μεγάλη στιγμή των μαθηματικών. 
Στην ανάρτηση για τα είδη και τις ιδιότητες των αρρήτων αριθμών αποδεικνύεται με περισσότερους από έναν τρόπους ότι υπάρχουν άπειροι άρρητοι αριθμοί και στην ανάρτηση που αναφέρεται στο πλήθος τους αποδεικνύεται ότι όλοι σχεδόν οι (πραγματικοί) αριθμοί είναι άρρητοι και εξηγείται και το τι σημαίνει το "όλοι σχεδόν" αυτής της πρότασης

Σημειώσεις

1. Αν το ανάγωγο κλάσμα μ/ν είναι ρίζα μιας πολυωνυμικής εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές τότε ο αριθμός ν είναι διαιρέτης του συντελεστή του μεγιστοβάθμιου πολυωνυμικού όρου και ο αριθμός μ διαιρέτης του σταθερού όρου. Οι μοναδικοί ρητοί που θα ήταν επομένως κατ' αρχήν δυνατό να είναι ρίζες της εξίσωσης   χ2 + χ -1 = 0  ή  της εξίσωσης  χ2 - χ -1 = 0 είναι ο 1 και ο -1. Εύκολα όμως διαπιστώνουμε ότι για χ=1 και για χ= -1, τα πρώτα μέλη των δύο εξισώσεων δεν μηδενίζονται. Συμπεραίνουμε έτσι ότι οι δύο εξισώσεις δεν έχουν ρητές λύσεις ή αλλιώς ότι οι λύσεις των δύο εξισώσεων είναι αριθμοί άρρητοι.



6. Οι συνέπειες της ανακάλυψης
    
Όταν οι αρχαίοι μαθηματικοί κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι υπάρχουν ευθύγραμμα τμήματα μη σύμμετρα μεταξύ τους αναστατώθηκαν.
Αν η διαγώνιος δ ενός τετραγώνου  δεν είναι σύμμετρη προς την πλευρά  α του ίδιου τετραγώνου, τότε ο λόγος δ/α δεν  είναι ρητός αριθμός, και αν ως μονάδα μετρήσεως των μηκών πάρουμε το μήκος της πλευράς του τετραγώνου τότε ο λόγος δ/α ισούται αριθμητικά με αριθμό προς τον οποίο  δεν είναι ίσος κανείς ρητός αριθμός. Αν όμως είναι α=1 ο αριθμός  αυτός που δεν είναι ρητός θα είναι ο ίσος με το  μέτρο της διαγωνίου. Οι αριθμοί που ήξεραν, οι ρητοί αριθμοί, δεν  ήταν αρκετοί για να μετρηθούν όλα τα μήκη. 
Αυτό αναστάτωσε περισσότερο τους Πυθαγόρειους που πίστευαν ότι τα πάντα εκφράζονται με αριθμούς. Και όταν έλεγαν αριθμούς εννοούσαν ακέραιους θετικούς αριθμούς μιας και οι ρητοί αριθμοί εκφράζονται μέσω των ακεραίων.
Και δεν ήταν μόνο αυτό. Για πολλά θεωρήματα είχαν δώσει αποδείξεις που στηρίζονταν στην εσφαλμένη υπόθεση ότι δύο ομοειδή μεγέθη, δύο ευθύγραμμα τμήματα για παράδειγμα, ήταν πάντοτε σύμμετρα μεταξύ τους. 
Για παράδειγμα για να αποδείξουν ότι τα εμβαδά δύο τριγώνων με  ένα ύψος του ενός ίσο με ένα ύψος του άλλου έχουν λόγο εμβαδών ίσο με το λόγο των πλευρών α και  α΄ που είναι κάθετες προς τα ίσα ύψη, υπέθεταν ότι οι δύο αυτές πλευρές είναι σύμμετρες μεταξύ τους δηλαδή ότι

α = μ.ε   και    α΄= μ΄.ε  για κάποιους ακέραιους θετικούς μ και μ΄    και επομένως ότι

α / μ   =  α΄/μ΄  = ε   και

α/α΄= μ/μ΄.

Έτσι διαιρούσαν την α σε μ ίσα τμήματα και ένωναν την απέναντι κορυφή με τα σημεία που διαιρούσαν την α στα μ ίσα τμήματα. Σχημάτιζαν έτσι μ τρίγωνα, καθένα με βάση  ίση προς α/μ= ε και κοινό ύψος  και επομένως ισοεμβαδικά. Αν Ε το εμβαδό κάθε ενός από τα μ αυτά τρίγωνα τότε το εμβαδό του πρώτου αρχικού τριγώνου είναι ίσο με μ.Ε .
Αναλόγως έβρισκαν ότι  το εμβαδό του δευτέρου αρχικού τριγώνου είναι μ΄.Ε  και επομένως ο λόγος των εμβαδών των αρχικών τριγώνων είναι ίσος προς μ.Ε/μ΄.Ε = μ/μ΄ = α/α΄
Η  "απόδειξη" αυτή αποδεικνυόταν τώρα λάθος ή ελλιπής αφού οι πλευρές α και α΄ μπορούσε να μην είναι σύμμετρες μεταξύ τους και έτσι  τα μαθηματικά έμεναν μετέωρα.
Και εδημιουργούντο ερωτήματα. Ίσχυαν γενικά τα θεωρήματα που πίστευαν  ότι είχαν "αποδείξει"  και τώρα ανακάλυπταν ότι η "απόδειξη" που είχαν δώσει στηριζόταν  σε λάθος υπόθεση ; Και αν ίσχυαν πώς θα το αποδείκνυαν;

Μπορεί να δημιουργήθηκε αναστάτωση με την ανακάλυψη ότι υπάρχουν και αριθμοί που δεν είναι ρητοί. Όμως με την ανακάλυψη και των αρρήτων αριθμών  το αριθμητικό σύστημα συμπληρώθηκε και δημιουργήθηκε πλήρες σύστημα αριθμών κατάλληλο για τη μέτρηση κάθε μεγέθους.  "Η θεμελιακή διαίσθηση για τους πραγματικούς αριθμούς", γράφει ο επί χρόνια καθηγητής στο πανεπιστήμιο της Καλιφόρνιας (UCLA) Γιάννης Μοσχοβάκης, "είναι ότι αφ' ενός η αριθμητική τους έχει  τους ίδιους νόμους με την αριθμητική των ρητών αριθμών, αφ' ετέρου οι πραγματικοί αριθμοί (ρητοί και άρρητοι αριθμοί ως ένα σύνολο), βρίσκονται σε ένα προς ένα αντιστοιχία με τα σημεία της "πλήρους" γεωμετρικής ευθείας έτσι που να μην υπάρχουν "κενά" ή "χάσματα" ανάμεσά τους". Επομένως με τους πραγματικούς αριθμούς μπορεί πλέον να μετρηθεί κάθε μήκος και κάθε μέγεθος.
Αυτό επιτεύχθηκε με την ανακάλυψη των αρρήτων και εκπληρώθηκε έτσι μια απολύτως αναγκαία προϋπόθεση για την περαιτέρω ανάπτυξη των μαθηματικών. Περαιτέρω η ανακάλυψη των αρρήτων ήταν αναγκαία και για την ανάπτυξη των  καθαρών μαθηματικών. Αν υπήρχαν μόνο οι ρητοί αριθμοί ο  (χ2- 2) θα ήταν διάφορος του μηδέν για κάθε χ και επομένως η συνάρτηση

φ(χ) =  1/(χ2- 2)    

θα έπρεπε να είναι συνεχής. Δεν συμπεριφέρεται όμως ως συνεχής ακόμη και αν ο χ παίρνει μόνο ρητές τιμές. Και αυτό είναι ένα μόνο παράδειγμα.
Μετά την ανακάλυψη των αρρήτων τα ελληνικά μαθηματικά είχαν περαιτέρω ανάπτυξη εκπληκτική. 
Βρέθηκε τρόπος χειρισμού των αρρήτων αλλά βρέθηκαν και τρόποι υπολογισμού ρητών προσεγγίσεών τους.  Σε ότι αφορά τον τρόπο χειρισμού τους, η λύση δόθηκε με κατάλληλο και ιδιοφυή ορισμό της ισότητας λόγων που η ορθότητά του επιβεβαιώνεται με την κατανόηση του τι σημαίνει αυτός ο ορισμός, και αποδεικνύεται με χρήση του αξιώματος του Ευδόξου, του ίδιου αξιώματος  που διευκόλυνε τη διαμόρφωση της γενικής θεωρίας για σύμμετρα και ασύμμετρα μεταξύ τους μεγέθη και για τους άρρητους  αριθμούς. Ο αναγνώστης μπορεί επισκεφθεί και να διαβάσει τη σχετική με το θέμα ανάρτηση αυτού  του ιστολογίου, κάνοντας κλικ στην υπογραμμισμένη φράση που βρίσκεται  λίγες σειρές παραπάνω. 
Πέρα από αυτό αναπτύχθηκαν θεωρίες και μέθοδοι που οδήγησαν στον προχωρημένο λογισμό. 
Και ο τρόπος απόδειξης με τη μέθοδο της εις άτοπον απαγωγής που χρησιμοποίησαν τους οδήγησε σε συμπέρασμα κατ' αρχήν αδιανόητο. Έφτασαν στο συμπέρασμα ότι υπάρχουν και άλλοι αριθμοί πέρα από τους αριθμούς που ήξεραν. Συμπέραναν ότι το αριθμητικό τους σύμπαν ήταν λειψό και το συμπλήρωσαν μεθοδικά και με πληρότητα. Τα μαθηματικά έφτασαν πολύ πέρα από την εμπειρία. Και η θεωρία βεβαίωσε απολύτως τους Έλληνες μαθηματικούς για κάτι για το οποίο η απλή εμπειρία δεν μπορούσε να δώσει ενδείξεις. Και στην ακρίβεια και την ορθότητα της θεωρίας έδωσαν ιδιαίτερη βαρύτητα.Έτσι τα ελληνικά μαθηματικά έγιναν εξαιρετικά αυστηρά και φαίνονται ακόμη και σήμερα εξαιρετικά προηγμένα και εξαιρετικά αυστηρά θεμελιωμένα και διατυπωμένα. Οι σημερινοί μαθηματικοί διερωτώνται: Πώς είναι δυνατόν να είχαν φθάσει τα ελληνικά μαθηματικά τόσο νωρίς σε τέτοια επίπεδα αυστηρότητας; Τα νεώτερα μαθηματικά έχουν σήμερα ξεπεράσει την αυστηρότητα των ελληνικών μαθηματικών  αλλά μέχρι τις αρχές του  δέκατου ένατου αιώνα δεν την είχαν φτάσει.

Αυτή η εξέλιξη των ελληνικών μαθηματικών οφείλεται στην συνήθεια των αρχαίων Ελλήνων να συσχετίζουν λογικά μεταξύ τους επί μέρους προτάσεις και να συμπεραίνουν καινούργιες προτάσεις κατά τρόπο ασφαλή, συνήθεια που είχαν καλλιεργήσει επί μακρόν (είχαν ήδη αρχίσει από την εποχή του Θαλή). 
Οφείλεται ειδικότερα και σε σημαντικό βαθμό η εξέλιξη αυτή και στις δύο ανακαλύψεις που σχετίζονται με τους άρρητους αριθμούς. Τις ανακαλύψεις αυτές τις έφερε η θεωρία. Η θεωρία διεύρυνε το μαθηματικό σύμπαν των αρχαίων Ελλήνων και η θεωρία έδωσε τρόπους να χειριστούν αυτό το διευρυμένο μαθηματικό σύμπαν. Και εξειδικεύτηκε βελτιώθηκε και εκλεπτύνθηκε η θεωρία  σε αυτήν την διαδικασία και απόκτησε ιδιαίτερο κύρος μεταξύ των απασχολουμένων με τις επιστήμες. 
Έτσι φτάσαμε στα "Στοιχεία" του Ευκλείδη, στις "Κωνικές Τομές" του Απολλώνιου, στους τριγωνομετρικούς πίνακες του Ίππαρχου του Μενέλαου και του Πτολεμαίου, στους υπολογισμούς του Αρχιμήδη. Έτσι έγινε δυνατό τα μαθηματικά να ξεφύγουν από υπολογισμούς επί της γης και να χρησιμοποιηθούν για να καθορισθεί η  θέση, το μέγεθος και η απόσταση, ακόμη και η κίνηση ουρανίων σωμάτων.  
Χωρίς τα ελληνικά μαθηματικά η ανάπτυξη της δυτικής επιστήμης θα ήταν αδιανόητη, γράφει ο Ράσσελ. Χωρίς καλή γνώση των ιδιοτήτων της έλλειψης, γνώση που προερχόταν από τη μελέτη των κωνικών τομών του Απολλώνιου, ο Κέπλερ δεν θα μπορούσε να ανακαλύψει τους νόμους κίνησης των πλανητών. Αν δεν είχαν ξεκινήσει ο Ίππαρχος και ο Πτολεμαίος την καταγραφή της θέσης του φαινομένου μεγέθους και της κίνησης των ουρανίων σωμάτων, δεν θα υπήρχαν ούτε οι πίνακές τους ούτε οι πίνακες του Τύχο Μπράχε που τα στοιχεία τους χρησιμοποίησε ο Κέπλερ.

Έχουμε ήδη πει ότι η  ανακάλυψη τρόπου χειρισμού των αρρήτων αριθμών που επιτεύχθηκε με κατάλληλο ορισμό της ισότητας λόγων είναι μια πολύ  μεγάλη στιγμή των μαθηματικών. Το ίδιο ακριβώς συμβαίνει  και με την ανακάλυψη των ασυμμέτρων μεγεθών και των άρρητων ή ασύμμετρων αριθμών. Αποτελεί μόνη της  μια πολύ μεγάλη στιγμή των μαθηματικών.




Βιβλιογραφία

1. Ευκλείδη: "Στοιχεία" Μετάφραση Ευάγγελου Σταμάτη

2. Thomas Heath: "Euclid, The Elements"

3. Σπύρου Κανέλλου:
    "Άλγεβρα για τα Λύκεια"
    "Επιπεδομετρία"

4. Χαουαρντ Ηβς: "Μεγάλες Στιγμές των Μαθηματικών"

5. Tom Apostol: "Mathematical Analysis"